Bu yerleşim sayısı $240$’tır.
Çözüm Adımları:
- Sinem–Fırat bloğu olarak düşünürsek, toplam kişi sayısı 7 yerine 6 “birim” olur (5 kişi + 1 blok).
- Yuvarlak masada n birimin oturma düzeni (n-1)! formülüyle hesaplanır:(6-1)! = 5! = 120
- Bloğun içindeki Sinem ile Fırat kendi aralarında yer değiştirebilir: 2 ihtimal.
- Toplam:120 \times 2 = 240
Sinem ile Fırat Yan Yana Oturmak Şartıyla Kaç Farklı Biçimde Oturulur?
Önemli Noktalar
- Yuvarlak masada oturma problemlerinde toplam kişi sayısının faktöriyelinden 1 eksik faktöriyel alınır: (n-1)!
- Sinem ve Fırat yan yana oturmalı, bu yüzden onları bir blok olarak düşünüyoruz
- Blok olarak 2 kişi olduğu için kendi içlerinde 2! düzenleme yapılabilir
- Toplam kişi sayısı 7 kişidir
Yuvarlak masada n=7 kişi oturuyor. Sinem ve Fırat’ın yan yana olması için onları bir blok gibi kabul ederiz. Böylece blok + diğer 5 kişi toplam 6 birim olur. Bu 6 birimin yuvarlak masa düzeni sayısı (6-1)! = 5! olur. Blok içindeki 2 kişi kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirebilir.
Toplam farklı düzen:
Cevap: C) 240
İçindekiler
- Yuvarlak Masada Oturma Düzeni
- Sinem ve Fırat’ın Yan Yana Olma Şartı
- Karşılaştırma Tablosu: Doğrusal vs Yuvarlak Oturma
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Yuvarlak Masada Oturma Düzeni
Yuvarlak masada n kişinin oturma düzen sayısı (n-1)! şeklindedir. Çünkü masanın dönme simetrisi sıralamaları eşitler, bu nedenle biri sabitlenir, diğerleri ise sıra ile dizilir.
Pro Tip: Doğrusal (sıralı) oturumda n! düzen varken, yuvarlak masada bu sayı (n-1)!'dır.
Sinem ve Fırat’ın Yan Yana Olma Şartı
Sinem ve Fırat’ı bir blok olarak düşünürsek:
- Bu blok 2 kişi içerir, blok içi yerleşim 2!
- Bu bloğu bir kişi gibi sayarsak toplam kişi sayısı 6 olur
- Yuvarlak masada 6 kişinin oturma düzeni (6-1)! = 5! olur
- Toplam düzen sayısı 5! \times 2! = 240
Uyarı: Sinem ve Fırat’ı blok yapmadan tüm düzeni sayarsanız yan yana olma şartını kaçırmış olursunuz.
Karşılaştırma Tablosu: Doğrusal vs Yuvarlak Oturma
| Özellik | Doğrusal Oturma | Yuvarlak Oturma |
|---|---|---|
| Toplam kişi sayısı | n | n |
| Toplam düzen sayısı | n! | (n-1)! |
| Yan yana 2 kişi şartı | (n - 1) \times 2! \times (n-2)! | (n - 1)! \times 2! (blok yöntemi) |
| Simetri | Yok | Dönme simetrisi var |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Toplam kişi | 7 |
| Sinem ve Fırat blok sayısı | 2! = 2 |
| Blok dahil kişi sayısı | 6 |
| Yuvarlak masada oturma sayısı | (6-1)! = 5! = 120 |
| Toplam farklı oturma düzeni | 120 \times 2 = 240 |
Sık Sorulan Sorular
1. Yan yana oturma şartı başka kaç kişi için uygulanabilir?
Yan yana oturma şartı istenen her durum için blokları ayrı düşünüp toplam kişi sayısını ona göre azaltabilirsiniz.
2. Yan yana koşulunda blokta kişilerin sıralaması önemli midir?
Evet, blok içindeki kişilerin sırası da farklı oturma düzenleri olarak sayılır. Bu nedenle blok içi permutasyon da hesaba katılır.
3. Yuvarlak masa ile doğrusal masa arasında ne fark vardır?
Yuvarlak masada sıra dönme simetrisi nedeniyle bir kişi sabitlenerek diğerlerinin permutasyonu hesaplanır. Doğrusal masada ise tüm n! düzen mümkündür.
4. 7 kişinin yan yana olmadan toplam oturma sayısı nedir?
Yuvarlak masa için (7-1)! = 6! = 720 farklı oturma vardır. Yan yana şartı bu sayıdan azdır.
5. Neden Sinem ve Fırat blok olarak düşünülür?
Yan yana oturma şartı operasyonel olarak 2 kişinin tek blok gibi düşünülmesi ve bu bloğun diğerlerinden ayrı permutasyonunun hesaplanması anlamına gelir.
Sonraki Adımlar
Bu tür permutasyon problemlerinde diğer koşulları içeren sorulara da bakmak ister misiniz? Örneğin, “Sinem ve Fırat yan yana oturmayacaksa kaç farklı oturma düzeni olur?” şeklinde bir örnek çözüm ister misiniz?