1110022 Sayısının Rakamlarının Yerleri Değiştirilerek Yedi Basamaklı Kaç Farklı Sayı Yazılabilir?
Önemli Noktalar
- Sayının rakamları: 1, 1, 1, 0, 0, 2, 2
- Toplam 7 basamak var ve bazı rakamlar tekrar ediyor: 1 üç kez, 0 iki kez, 2 iki kez
- Tekrar eden rakamlar dikkate alınarak permütasyon formülü kullanılır
- İlk basamak 0 olamaz, çünkü 7 basamaklı sayı olmalı (0 ile başlayamaz)
“1110022” sayısının rakamlarından oluşan 7 basamaklı tüm farklı sayılar, tekrar eden rakamların permütasyonları düzeltilerek hesaplanır ve ilk basamağın 0 olmama koşulu dikkate alınır.
İçindekiler
1. Toplam Permütasyon Sayısının Hesaplanması
Tekrar eden rakamlar içeren permütasyon sayısı:
Hesaplayalım:
- 7! = 5040
- 3! = 6 (üç tane 1)
- 2! = 2 (iki tane 0)
- 2! = 2 (iki tane 2)
Yani 0 sınırlaması olmadan 210 farklı sayı oluşur.
2. İlk Basamağın 0 Olma Durumu Çıkarılması
İlk basamağın 0 olduğu durumları çıkaralım:
İlk basamağa 0 konduğunda, kalan 6 basamağa kalan rakamların permütasyonu bulunur:
- Kalan rakamlar: 1,1,1,0,2,2 (toplam 6 rakam)
- Tekrar edenler: 1 üç kez, 2 iki kez, 0 ise bir kez (kalan 0’dan bir tane var çünkü 0 bir kere kullanıldı ilk basamağa)
Permütasyon sayısı:
3. Sonuç ve Cevap
Geçerli sayıların toplamı:
Doğru cevap B şıkkı: 150
Özet Tablo
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Toplam permütasyon | \frac{7!}{3!2!2!} | 210 |
| İlk basamağın 0 olduğu permütasyonlar | \frac{6!}{3!2!} | 60 |
| Geçerli permütasyon sayısı | 210 - 60 | 150 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden ilk basamağa 0 koyulamıyor?
Çünkü matematikte 7 basamaklı sayı demek, başta sıfır olmadan 7 rakamdan oluşan sayı demektir. İlk basamak 0 olursa sayının basamak sayısı 6 olur.
2. Tekrarlayan rakamlarla permütasyon nasıl hesaplanır?
Toplam permütasyon n! ile hesaplanır, fakat onlarca kez tekrarlayan aynı rakamlar için her tekrarlamanın faktöriyeli a!, b!, c! gibi bölünerek düzeltilir.
3. Benzer problemler için nasıl yaklaşmalıyım?
Önce toplam permütasyonu hesapla, sonra ek kısıtlamaları (ilk basamak 0 olamaz vs.) çıkar.
Sonraki Adımlar
Başka sayılarla benzer permütasyon kısıtlamalarını içeren sorular ister misiniz? Yoksa farklı kombinasyon problemlerinizi açıklayayım mı?
1110022 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Temel Noktalar:
- Toplam permutasyon sayısı: $$\frac{7!}{3!,2!,2!}=210$$
- İlk basamağı 0 olan permutasyon adedi: $$\frac{6!}{3!,1!,2!}=60$$
- Geçerli yedi basamaklı sayı adedi: $$210-60=150$$
Cevap: 150.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Tekrarlı permutasyon formülü kullanılır. Elimizdeki rakamlar: üç adet 1, iki adet 0, iki adet 2.\text{Toplam}=\frac{7!}{3!\,2!\,2!}=210
- Yedi basamaklı sayı olması için ilk rakam 0 olamaz. Baştaki sıfır sayısını sabit tutup kalan altı hane permütasyonu:\text{Geçersiz}=\frac{6!}{3!\,1!\,2!}=60
- Geçerli permutasyon adedi:210-60=150
Karşılaştırmalı Tablo
| Durum | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Tüm permutasyon (tekrarlı) | \frac{7!}{3!2!2!} | 210 |
| İlk basamağı 0 olanlar | \frac{6!}{3!1!2!} | 60 |
| Geçerli yedi basamaklı sayı adedi | 210 - 60 | 150 |
Özet Tablosu
| Faktör | Değer |
|---|---|
| Toplam permutasyon sayısı | 210 |
| İlk basamağı 0 olan durumlar | 60 |
| Geçerli farklı sayı adedi | 150 |
SSS
- Permütasyon formülünde tekrar eden elemanlar neden bölüme yazılır?
- Çünkü birbirinden ayırt edilemeyen elemanlar sıralamayı tekrarladığı için tekrarlanma sayısı kadar bölüyoruz.
- Neden başta 0 olan permutasyonlar geçersiz sayılır?
- Yedi basamaklı bir sayı 0 ile başlayamaz; böyle bir durumda sayı altı basamaklı olarak değerlendirilir.
- Farklı rakam sayılarında formül nasıl değişir?
- Genel olarak $$\frac{n!}{n_1!,n_2!,\dots}$$ formülü tek bir çatı altında kullanılır.
Başka bir permütasyon problemi çözmemi ister misiniz?
@Vedat4