A = {1, 2, 3, 4} Kümesinin Elemanları Kullanılarak 243’ten Büyük Üç Basamaklı Farklı Doğal Sayılar Kaç Tane Yazılabilir?
Önemli Noktalar
- Üç basamaklı sayılar A kümesinin elemanları olan {1, 2, 3, 4} rakamlarıyla ve farklı basamaklardan oluşacak
- Yazılabilecek üç basamaklı sayılar 111’den 444’e kadar olacak, ama 243’ten büyük olmalı
- Farklı basamaklı sayılar (tekrar eden rakam yok) dikkate alınacak
243’ten büyük, üç basamaklı, rakamları farklı olan ve {1,2,3,4} kümesinden seçilmiş sayılar belirlenmek istendiğinde işlem şu şekildedir.
İçindekiler
1. Problem Analizi
Üç basamaklı farklı rakamlı sayılar sadece {1,2,3,4} rakamlarından oluşacak ve 243 sayısından büyük olacak.
- Üç basamaklı sayı ABC ise, A, B, C rakamları farklı ve A, B, C ∈ {1,2,3,4} olacak.
- Soru: Kaç farklı üç basamaklı sayı var ve bu sayıların 243’ten büyük olması şartı var.
2. Çözüm Adımları
Adım adım sayıları inceleyelim.
A) Yüzler basamağı
A rakamı 1 olursa sayı 1BC olur.
- 1 ile başlayan her sayı 100-199 aralığında. Bu aralık 243’ten küçük olduğundan sayılar uygun değil.
- Bu yüzden A = 1 seçilemez.
A = 2 olursa sayı 2BC olur.
- 200 - 299 aralığı
- 243’ten büyük olmalı. 243 ile 299 arası sayıların içinde olanlardan farklı rakamlar seçilmeli.
A = 3 olursa sayı 3BC olur.
- 300 - 399 arası sayılar 243’ten büyük, tamamı geçerli.
A = 4 olursa sayı 4BC olur.
- 400 - 499 arası, tamamı 243’ten büyük.
B) Ayrıntılı İnceleme:
A=2 için:
- Yüzler basamağı: 2
- Sayı: 2 B C
- 243’ten büyük olması için:
2 B C > 243
=> 2 4 3 = 243 olduğu için sayının 243’ten büyük olması
- Başka bir ifadeyle:
B C > 43 (10’lar ve birler basamağı)
Şimdi B ve C rakamlarının 2,3,4’den farklı olması gerekir ki, rakamlar farklı. A zaten 2, o yüzden B ve C 2 olmamalı.
Kullanılabilecek rakamlar: {1,2,3,4}
A=2 seçildiğine göre B ve C 2 olamaz.
Kalan rakamlar: {1,3,4}
Burada B ve C farklı olmalı ve 10*B + C > 43 olmalı.
Olasılıklar:
- B=1, C=3 → 13 < 43 → Hayır
- B=1, C=4 → 14 < 43 → Hayır
- B=3, C=1 → 31 < 43 → Hayır
- B=3, C=4 → 34 < 43 → Hayır
- B=4, C=1 → 41 < 43 → Hayır
- B=4, C=3 → 43 = 43 → 243’e eşit olunca kabul edilmez. SORUDA “büyük” diyor.
Yukarıdaki tüm B C seçenekleri büyük olmuyor. Ve B ile C farklı rakam olmak zorunda.
Yani A=2 olduğunda B ve C rakamları farklı ve 43’ten büyük olan iki basamaklı sayı yok.
Sonuç: A=2 için sayı yok.
A=3 için:
A=3 seçildiğinde sayı 3BC, ve 243’ten büyük olacak ki 3BC > 243 her zaman doğrudur.
- A=3 seçildiğinde B ve C rakamları {1,2,3,4} - {3} olur yani B, C ∈ {1,2,4} ve farklı olmaları gerekir.
B ve C farklı iki rakam olduğundan farklı permutasyonları sayalım:
Kalan rakamlar: {1,2,4}
B ve C için 3 farklı rakamdan seçilecek 2 farklı rakam:
P(3,2) = 3*2 = 6 adet sayı.
Sayılar: 3 1 2, 3 1 4, 3 2 1, 3 2 4, 3 4 1, 3 4 2
A=4 için:
Benzer şekilde, A=4 seçildiğinde 4BC ve her sayı 243’ten büyük.
- A=4 olduğunda B ve C ∈ {1,2,3} (4 rakamı seçildiği için farklı olmalı)
B ve C farklı olmak zorunda.
P(3,2) = 3*2 = 6
Toplam:
- A=1 → 0 sayı
- A=2 → 0 sayı
- A=3 → 6 sayı
- A=4 → 6 sayı
Toplam: 6 + 6 = 12 sayı.
Sonuç:
243’ten büyük, farklı rakamlardan oluşan ve {1,2,3,4} elemanlarıyla yazılmış üç basamaklı doğal sayı sayısı 12’dir.
3. Karşılaştırma Tablosu: A Değerlerine Göre Sayı Sayısı
| A (Yüzler Basamağı) | Uygun mu? | Kalan rakamlar (B, C) | Permutasyon Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Hayır | - | 0 | 100-199 < 243 |
| 2 | Hayır | {1,3,4} | 0 | 2BC > 243 koşulu yok |
| 3 | Evet | {1,2,4} | 6 | Her sayı 243’ten büyük |
| 4 | Evet | {1,2,3} | 6 | Her sayı 243’ten büyük |
4. Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Toplam üç basamaklı sayı | 12 |
| Sayılar büyüklük koşulu | > 243 |
| Rakamlar kümesi | {1, 2, 3, 4} |
| Tekrar eden rakam yok | Evet |
| Yüzler basamağı seçenekleri | 3 ve 4 |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Rakamlar aynı basamakta tekrar edebilir mi?
Hayır, soru basamakları farklı rakamlardan oluşan sayılar istediği için rakam tekrarına izin yoktur.
2. Neden 1 ve 2 ile başlayan sayılar dikkate alınmadı?
1 ile başlayan tüm sayılar 100-199 arasıdır ve 243’ten küçüktür.
2 ile başlayan sayılar 200-299 arasıdır ancak 243’ten büyük olan kombinasyonlar, farklı rakamlardan oluşma ve büyüklük şartını sağlayamıyor.
3. Tüm kombinasyonlar nasıl hesaplanırdı?
Aşağıdaki gibi kesinlikle A=3 veya A=4 olduğunda, B ve C farklı rakamlardan seçilir. Seçenek sayıları permutation hesaplanarak bulunur: P(3,2)=6.
Sonraki Adımlar
Bu soruyla ilgili permutasyon problemlerinde zorlanıyorsanız, üç veya daha fazla basamaklı sayıların farklı rakamlarla yazılması ve büyüklük-küçüklük kriterlerinin birlikte kullanıldığı örnekleri çözmemi ister misiniz?
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak 243’ten büyük, rakamları farklı kaç üç basamaklı doğal sayı yazılabilir?
Önemli Noktalar
- Üç basamaklı ve rakamları birbirinden farklı bir sayı oluşturulacak.
- İlk basamak olarak sadece 2, 3 veya 4 seçilebilir ve sayı 243’ten büyük olmalı.
- Tüm şartları sağlayan sayıların sayısı 12’dir.
Cevap: 12 (B şıkkı)
İçindekiler
1. Çözüm Yaklaşımı
Üç basamaklı bir sayıyı ABC şeklinde düşünelim.
- A\in\{1,2,3,4\}, B\in\{1,2,3,4\}\setminus\{A\}, C\in\{1,2,3,4\}\setminus\{A,B\}.
- İlave olarak sayı >243 şartını sağlamalı.
Kaç olası seçim var, bunları sistematik olarak sayacağız.
2. Durum Analizi
Her bir durum için yüzler basamağına göre üç alt durum inceleyelim:
| Yüzler Basamağı | Şart | Olası Sayı Adedi |
|---|---|---|
| A=2 | 200–299 arası, >243 | 0 |
| A=3 | 300–399 arası, hepsi >243 | 3\cdot2=6 |
| A=4 | 400–499 arası, hepsi >243 | 3\cdot2=6 |
| Toplam | 12 |
Detaylar:
- A=2 için B=1,3,4 seçilebilir ancak 243’ten büyük olması için ek koşul sağlanamıyor → 0.
- A=3 için B seçeneği 3, C seçeneği 2 olmak üzere 3\times2=6 sayı.
- A=4 için de benzer şekilde 3\times2=6 sayı.
3. Sonuç
Tüm koşulları sağlayan farklı üç basamaklı doğal sayıların toplam adedi 12’dir.
4. Özet Tablosu
| Durum | Seçenek Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|
| A=2 | 0 | 243’ten büyük sayı yok |
| A=3 | 6 | 300–399 arası, rakamlar farklı |
| A=4 | 6 | 400–499 arası, rakamlar farklı |
| Toplam | 12 |
5. SSS
S1. A=2 için neden 0 sayı çıktı?
C1. 200–299 arası rakamları farklı sayılar içinde 243’ten büyük tek sayı 243’tür ama eşit olduğu için kabul edilmiyor.
S2. 3\times2 hesabı nasıl yapıldı?
C2. Yüzler basamağı sabit (3 veya 4), onlar basamağı 3 seçenek, bir kez seçince bir sayı silinmiş oluyor; bir sonraki basamakta geriye 2 seçenek kalıyor.
S3. Rakamlar tekrar edilebilse toplam nasıl değişirdi?
C3. Tekrar izinli olsaydı her basamak için 4 seçenek olur, toplam 3\cdot4\cdot4=48 sayıya ulaşılırdı.
Çözümü pekiştirmek için farklı bir küme elemanlarıyla benzer koşullarda bir soru çözmek ister misiniz? @Vedat4