Verilen Soru: A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinden rakamları farklı 3 basamaklı çift sayılar kaç tane yazılabilir?
Önemli Noktalar
- 3 basamaklı sayıların ilk basamağı 0 olamaz.
- Sayının çift olması için son basamağı çift rakam olmalıdır.
- Rakamlar farklı olacak.
- Eleman kümesi: {0, 1, 2, 3, 4}
- Çift rakamlar: 0, 2, 4
Bu bilgiler ışığında, rakamları farklı 3 basamaklı çift sayılar sayısını hesaplayalım.
Çözüm Adımları
-
Son basamak seçimi (birler basamağı):
Sayı çift olmalı, dolayısıyla birler basamağı 0, 2 veya 4 olabilir.
Yani 3 olası durum var. -
Birler basamağı seçildiğinde, ilk ve orta basamak için kalan rakamlar:
- İlk basamak 0 olamaz (3 basamaklı sayı olduğundan).
- Rakamlar birbirinden farklı olmalı, yani birler basamağı seçildiğinde o rakam artık kullanılmaz.
- İlk basamak için kalan rakamlardan 0 hariç seçim yapacağız (çünkü 0 olamaz).
- Orta basamak, geriye kalan kullanılabilir rakamlardan biri.
- Durumlara göre hesaplama
| Durum | Son basamak (çift) | Kalan Küme | İlk basamak seçenekleri | Orta basamak seçenekleri | Toplam sayı |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | {1,2,3,4} | 4 (çünkü 0 değil) | 3 | 4×3 = 12 |
| 2 | 2 | {0,1,3,4} | 3 (0 seçilemez, 1,3,4) | 3 | 3×3 = 9 |
| 3 | 4 | {0,1,2,3} | 3 (0 seçilemez, 1,2,3) | 3 | 3×3 = 9 |
Toplam sayı = 12 + 9 + 9 = 30
Sonuç: Rakamları farklı 3 basamaklı çift sayı sayısı 30’dur.
Doğru cevap: A) 30
Sonraki Adımlar
Başka permütasyon soruları veya kombinasyon konularında örnek çözümler ister misiniz?
Ya da permütasyon problemlerinde sık yapılan hataları açıklamamı ister misiniz?
A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, farklı rakamlı kaç tane çift sayı yazılabilir?
Temel Noktalar
- Üç basamaklı bir sayıda yüzler basamağı asla 0 olamaz.
- Çift sayı için birler basamağına sadece 0, 2 veya 4 seçilebilir.
- Farklı rakamlı sayılarda her bir birler basamağı seçeneğinde geriye kalan iki basamak permütasyonla hesaplanır.
Doğrudan Cevap: 30 adettir.
İçindekiler
Derinlemesine İnceleme
Her bir birler basamağı değeri için geriye kalan iki basamağı seçerken yüzler basamağı 0 olamayacağı ve rakamların birbirinden farklı olması kuralı uygulanır:
- Birler = 0 → Yüzler için 4 seçenek (1,2,3,4), onlar için geriye 3 seçenek:4 \times 3 = 12
- Birler = 2 → Yüzler için 3 seçenek (1,3,4), onlar için geriye 3 seçenek:3 \times 3 = 9
- Birler = 4 → Yüzler için 3 seçenek (1,2,3), onlar için geriye 3 seçenek:3 \times 3 = 9
Toplam:
Karşılaştırmalı Tablo
| Tür | Birler Basamağı Seçenekleri | Toplam Üç Basamaklı |
|---|---|---|
| Çift | 0, 2, 4 | 30 |
| Tek | 1, 3 | 18 |
Özet Tablosu
| Birler Basamağı | Yüzler Basamağı Seçenekleri | Onlar Basamağı Seçenekleri | Sayı Adedi |
|---|---|---|---|
| 0 | {1,2,3,4} (4) | 3 | 12 |
| 2 | {1,3,4} (3) | 3 | 9 |
| 4 | {1,2,3} (3) | 3 | 9 |
| Toplam | — | — | 30 |
SSS
S1: Tekrarlı rakam kullansaydık kaç sayı olurdu?
C1: İzin verildiğinde her basamak için 5×5×5=125 adet üç basamaklı sayı yazılır, çift olanları ise birler basamağına 3 seçenek → 5×5×3=75.
S2: Birler basamağı 0 seçildiğinde neden yüzler basamağı 0 olamaz?
C2: Üç basamaklı sayının başındaki 0, sayıyı iki basamaklı yapar.
S3: Kümede elemanlar farklı olmasaydı nasıl değişirdi?
C3: Elemanlar tekrarlıysa permütasyon yerine tekrar içeren permütasyon formülü kullanılır: n^r.
S4: En büyük üç basamaklı çift sayı hangisidir?
C4: A kümesindeki en büyük rakam 4 olduğundan 4__ ile başlar; farklı rakam kuralıyla en büyük 432.
Bu permütasyon kavramını pekiştirecek 3 farklı örnek soru ister misin?
@Vedat4