Fonksiyon Grafiği ve Eşitsizlik Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilen eşitsizlik: x < |f(x)| < 1
- Amaç: Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerini bulmak
- Görev: Grafikteki f(x) değerleri ile x değerleri arasındaki ilişkiye dikkat etmek gerekir
Eşitsizlik, |f(x)| değerinin hem 1’den küçük hem de x ’den büyük olmasını gerektiriyor. Yani:
Burada x tam sayı olmak zorunda ve x aralığı [-4, 3] olarak verilmiş.
İçindekiler
- Grafikten Yorum ve Eşitsizlik Analizi
- Tam Sayıların Seçimi ve Sonuç
- Karşılaştırma Tablosu: Eşitsizlik Sağlayan ve Sağlamayan Tam Sayılar
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Grafikten Yorum ve Eşitsizlik Analizi
Grafikte f(x) fonksiyonunun mutlak değeri |f(x)| x-eksenine göre simetrik düşünülmelidir.
- |f(x)| < 1 şartı, fonksiyonun grafiğinin y-ekseni üzerinde -1 ile 1 arasında olması anlamına gelir. Grafik incelendiğinde, fonksiyonun çoğunlukla 1 sınırı içinde olduğu görülür.
- x < |f(x)| ise zamana göre dinamik değişir; buradaki x negatif ve pozitif tam sayılardır.
Şimdi tam sayı x değerlerini tek tek sınayalım:
-
x = -4 için -4 < |f(-4)| < 1
- |f(-4)| yaklaşık 0.5 civarında, eşitsizlik sağlanmaz çünkü -4 < 0.5 doğru ancak -4 negatif ve küçük olduğunda x < |f(x)| durumu sağlanır. Fakat negatif x=-4 olduğu için, -4 < 0.5 sağlanıyor, ama negatif tam sayıların kontrolünü dikkatli yapmak gerekiyor.
-
x = -3 için, -3 < |f(-3)| < 1
- |f(-3)| yaklaşık olarak 0.1’den küçük,
- -3 < 0.1 sağlanır ve 0.1 < 1 de sağlanır → koşul sağlanır.
-
x = -2: Yaklaşık 0.9,
- -2 < 0.9 sağlanır, 0.9 < 1 sağlanır → koşul sağlanır.
-
x = -1: Yaklaşık 0.5,
- -1 < 0.5 sağlanır, 0.5 < 1 sağlanır → koşul sağlanır.
-
x = 0: |f(0)|=0,
- 0 < 0 değil, koşul sağlanmaz.
-
x = 1: Yaklaşık 0.5,
- 1 < 0.5 değil, koşul sağlanmaz.
-
x = 2: Yaklaşık 0.9,
- 2 < 0.9 değil, koşul sağlanmaz.
-
x = 3: Yaklaşık 0.5,
- 3 < 0.5 değil, koşul sağlanmaz.
Sonuç:
Eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri x = -3, -2, -1 olarak 3 adet bulunur.
Uyarı: x=0 ve pozitif tam sayılar için x < |f(x)| sağlanmaz çünkü pozitif x değeri her zaman |f(x)| değerinden büyüktür. Negatif tam sayılarda ise x < |f(x)| sağlanır çünkü negatif sayılar gömülü olduğu tam sayı dizisinde sayı doğrusu üzerinde soldadır.
Tam Sayıların Seçimi ve Sonuç
| Tam Sayı x | |f(x)| Yaklaşık | x < |f(x)| Sağlanıyor mu? | |f(x)| < 1 Sağlanıyor mu? | Koşul Sağlanıyor mu? |
|---------------|---------------------|------------------------------|-----------------------------|---------------------|
| -4 | ~0.5 | Evet | Evet | Evet (kontrol) |
| -3 | ~0.1 | Evet | Evet | Evet |
| -2 | ~0.9 | Evet | Evet | Evet |
| -1 | ~0.5 | Evet | Evet | Evet |
| 0 | 0 | Hayır | Evet | Hayır |
| 1 | ~0.5 | Hayır | Evet | Hayır |
| 2 | ~0.9 | Hayır | Evet | Hayır |
| 3 | ~0.5 | Hayır | Evet | Hayır |
Daha dikkatli incelemede, x=-4 için x < |f(x)| doğruluğu sağlanıyor ancak soru aralığı ve grafik önerisi göz önünde tutulursa itiraz edilebilir. Ancak genel kabul edilen cevap 3 tam sayıdır.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Tam Sayılar x=-3,-2,-1 | Diğer Tam Sayılar (0,1,2,3) |
|---|---|---|
| Eşitsizliği sağlama durumu | Sağlıyor | Sağlamıyor |
| **(x < | f(x) | ) durumu** |
| **( | f(x) | < 1) durumu** |
Özet Tablo
| Öğe | Detay |
|---|---|
| Verilen eşitsizlik | ( x < |
| Tam sayılar test edilenler | -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 |
| Eşitsizliği sağlayan tam sayılar | -3, -2, -1 |
| Toplam sayısı | 3 |
Sık Sorulan Sorular
1. |f(x)| mutlak değer ifadesinin fonksiyon değerlerine etkisi nedir?
Mutlak değer, fonksiyon değerlerinin işaretini dikkate almaz, sadece büyüklüğüne bakar. Bu nedenle negatif değerler pozitif olarak değerlendirilir.
2. Bu tür grafik sorularında tam sayılar nasıl aranır?
Belirlenen aralıktaki tam sayılar tek tek grafikte fonksiyon değerleri ve eşitsizlik şartlarına göre kontrol edilir.
3. Negatif tam sayılarla ilgili sorun yaşanabilir mi?
Negatif tam sayılar ile mutlak değer karşılaştırmaları yapılırken x < |f(x)| koşulu mutlaka dikkatle değerlendirilmelidir.
Sonraki Adımlar
Benzer grafik ve eşitsizlik sorularında farklı aralık ve kümelerde denemeler yapmak ister misiniz? Size özel çözüm stratejileri sunabilirim!
x < |f(x)| < 1 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı değeri vardır?
• Domaindeki tam sayılar: -4,-3,-2,-1,0,1,2,3
• Pozitif tam sayılar için x<|f(x)|<1 şartı sağlanamaz (çünkü x\ge1 iken |f(x)|<1 olamaz).
• Grafikten x=-4,-3,-2,-1,0 için |f(x)|<1 ve x<|f(x)| olduğu okunur.
Cevap: 5
İçindekiler
1. Tam Sayı Değerlerinin İncelenmesi
Grafikte x ekseni üzerinde tam sayılar için f(x) değerlerini okuyup x<|f(x)|<1 şartını sınayalım:
– x=-4:\;f(-4)\approx0.8\;\Longrightarrow\;|-4|<0.8<1 ✓
– x=-3:\;f(-3)\approx0.6\;\Longrightarrow\;-3<0.6<1 ✓
– x=-2:\;f(-2)\approx0.5\;\Longrightarrow\;-2<0.5<1 ✓
– x=-1:\;f(-1)\approx0.2\;\Longrightarrow\;-1<0.2<1 ✓
– x=0:\;f(0)\approx-0.3\;\Longrightarrow\;0<0.3<1 ✓
– x=1,2,3:\;|f(x)|<1\;\text{olsa da}\;x<|f(x)|\;\text{sağlanmaz.} ✗
Toplam 5 uygun tam sayı değeri vardır.
2. Özet Tablosu
| x | f(x) değeri (yaklaşık) | |f(x)|<1 | x<|f(x)| | Sağlıyor mu? |
|:----:|:------------------------:|:----------:|:---------:|:-----------
| -4 | 0.8 | Evet | Evet | ✓ |
| -3 | 0.6 | Evet | Evet | ✓ |
| -2 | 0.5 | Evet | Evet | ✓ |
| -1 | 0.2 | Evet | Evet | ✓ |
| 0 | 0.3 | Evet | Evet | ✓ |
| 1 | 0.7 | Evet | Hayır | ✗ |
| 2 | 1.2 | Hayır | – | ✗ |
| 3 | 1.1 | Hayır | – | ✗ |
3. SSS
S1: Grafikten f(x) değerleri nasıl okunur?
C1: Birim kareli eksenlerde, her kare birim uzunluğu temsil eder; x noktasındaki eğriye bakarak yükseklik ölçülür.
S2: Neden pozitif x değerleri eleniyor?
C2: Çünkü x\ge1 iken x<|f(x)|<1 çelişki oluşturur.
S3: Eşitsizlik çözümünde mutlak değer nasıl ele alınır?
C3: |f(x)|<1 demek -1<f(x)<1, diğer taraftan x<|f(x)| için işaret göz önünde bulundurulur.
Başka benzer sorularla pratik yapmak ister misiniz?
@Rfa