Resimli Soru 13-02-2026 09:02:45

YKS TYT
1

Screenshot_2026-02-13-09-02-40-879_com.android.chrome
Screenshot_2026-02-13-09-02-40-879_com.android.chrome720×1600 45.6 KB

2

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Denklem sistemi:
    \begin{cases} x^2 - \frac{3}{y} = 24x \\ x^2 + \frac{1}{y} = -12 \end{cases}
  • Amaç, (x, y) ikilisini bulmak.
  • İkinci denklemden \frac{1}{y} ifadesi izole edilip yerine konabilir.

Verilen denklemlerden yola çıkarak önce \frac{1}{y} ifadesi ikinci denkleme göre düzenlenir, sonra bu ifade birinci denklemde yerine konur ve x için polinom denklemi elde edilir. Sonrasında x değerleri bulunup y hesaplanır.

İçindekiler

  1. Denklem Sisteminin Düzenlenmesi
  2. x İçin Polinom Denklemi Çözümü
  3. Çözümlerin Hesaplanması ve Doğrulanması
  4. Karşılaştırma Tablosu: Denklemlerde Yalıtma Yöntemi
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Denklem Sisteminin Düzenlenmesi

İkinci denklemden \frac{1}{y} ifadesini çekelim:

x^2 + \frac{1}{y} = -12 \implies \frac{1}{y} = -12 - x^2

Birinci denklemde bu ifadeyi yerine koyarız:

x^2 - 3 \cdot \frac{1}{y} = 24x \implies x^2 - 3(-12 - x^2) = 24x

Burada parantezi açalım:

x^2 + 36 + 3x^2 = 24x \implies 4x^2 + 36 = 24x

Denklemi standart forma getirirsek:

4x^2 - 24x + 36 = 0

Her terimi 4’e bölelim:

x^2 - 6x + 9 = 0

Bu,

(x - 3)^2 = 0

şeklindedir. Yani tek bir kök var:

x = 3

2. x İçin Polinom Denklemi Çözümü

Bulduğumuz x = 3 değerini ikinci denklemde kullanarak y’yi bulalım:

\frac{1}{y} = -12 - x^2 = -12 - 9 = -21 \implies y = -\frac{1}{21}

Yani çözüm çiftimiz:

(x,y) = \left(3, -\frac{1}{21}\right)

3. Çözümlerin Hesaplanması ve Doğrulanması

Çözüm bu ikili sistem için verilmiş şıklarda D seçeneğine karşılık gelir:

D) \quad \left(3, -\frac{1}{21}\right)

Kontrol için birinci denkleme deneyelim:

x^2 - \frac{3}{y} = 24x

Yerine koyarsak:

3^2 - \frac{3}{-\frac{1}{21}} = 9 - 3 \times (-21) = 9 + 63 = 72

Sağ taraf:

24 \times 3 = 72

Eşitlik sağlanıyor.

İkinci denklemi de kontrol edelim:

x^2 + \frac{1}{y} = -12
9 + \left(-21\right) = -12

Doğru.

4. Karşılaştırma Tablosu: Denklem Çözüm Yöntemleri

Yöntem Avantajları Dezavantajları
Yalıtma (İkinci Denklemi Kullanma) Basit ve hızlı \frac{1}{y} 'yi ifade eder Karmaşık olmayan sistemlerde en pratik
Toplama/Çıkarma Katsayıları aynı türlerde sadeleştirir Bu sistemde yalıtma daha avantajlı
Değişken Yerine Koyma Polinom çözümüne direkt ulaşır Kare kök durumlarında kök sayısı artabilir

5. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Denklemler x^2 - \frac{3}{y} = 24x, x^2 + \frac{1}{y} = -12 Sistemi oluşturur
\frac{1}{y} 'nin ifadesi -12 - x^2 olarak yalıtıldı Birinci denkleme kondu
Polinom denklemi kuruldu 4x^2 - 24x + 36=0 \Rightarrow (x-3)^2=0 x=3 tek kök
y değeri hesaplandı y = -\frac{1}{21} Çözüm doğrulandı
Doğru seçenek D şıkkı: (3, -\frac{1}{21}) Seçim yapıldı

Sık Sorulan Sorular

1. Neden \frac{1}{y} ifadesini yalıtmak avantajlıdır?
Bu, bilinmeyenleri azaltır ve denklem sistemini tek bir değişkenli polinoma indirger. Daha hızlı ve daha az hata ile çözüm imkânı sağlar.

2. Denklemler doğrusal değilse nasıl çözülür?
İkinci dereceden denklem sistemlerinde değişkenlerden birini yalıtarak veya yerine koyarak polinom çözümü yapılır. Bazen grafik yöntemleri veya nümerik çözümler gerekebilir.

3. Birden fazla kök çıkarsa ne olur?
Çözülen polinomun kökleri sistemin olası çözümleridir, tüm köklerin denklemlerde sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir. Uygun kök veya kökler nihai çözümleri oluşturur.

Sonraki Adımlar

Bu sorulara benzer başka ikinci dereceden bilinmeyenli sistemleri birlikte çözmek ister misiniz? Veya cebirde köklerin doğrudan belirlenmesi için formül kullanımı üzerine örnekler görmek faydalı olur mu?

@Mert47

3

Denklem sisteminin çözümü (3, −\frac{1}{21}), yani şık D.

Denklem sistemini sağlayan (x,y) sıralı ikilisi nedir?

  • x² terimlerini yok etmek için iki denklem çıkarıldı
  • y, y=-\tfrac{1}{6x+3} formunda ifade edildi
  • x=3 bulunup yerine konunca y=−1/21 elde edildi

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Verilen sistem:
    \begin{cases} x^2 - \frac{3}{y} = 24x,\\ x^2 + \frac{1}{y} = -12. \end{cases}
  2. İki denklemi çıkararak x^2 terimlerini yok edelim:
    \Bigl(x^2 - \tfrac{3}{y}\Bigr) - \Bigl(x^2 + \tfrac{1}{y}\Bigr) = -\frac{4}{y} = 24x - (-12) = 24x + 12.
    Böylece
    -\frac{4}{y} = 24x + 12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{y} = -12(2x+1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{3(2x+1)}.
  3. Bulduğumuz y ifadesini ikinci denkleme yerine koyalım. Öncelikle
    \frac{1}{y} = -\bigl(6x+3\bigr).
    İkinci denklem:
    x^2 + \frac{1}{y} = -12 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - (6x+3) = -12 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -6x +9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
  4. x=3 iken
    y = -\frac{1}{6\cdot3 + 3} = -\frac{1}{21}.
  5. Sonuç: (x,y) = \bigl(3,\,-\tfrac{1}{21}\bigr) → Şık D.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Denklem farkı -\tfrac{4}{y}=24x+12 y=-\tfrac{1}{3(2x+1)}
2. İkinci denklem x^2 - (6x+3)=-12 (x-3)^2=0\;\Rightarrow x=3
3. y’nin değeri y=-\tfrac{1}{6\cdot3+3} y=-\tfrac{1}{21}
4. Çözüm — (3,\,-\tfrac{1}{21})

SSS

  1. Bu yöntemi genellemek mümkün mü?
    Evet. İki denklemde ortak x^2 terimi varsa çıkarma veya toplama yöntemiyle bu terim elimine edilir.

  2. y=0 olabilir mi?
    Denklemlerde paydada olduğu için y\neq0 olmalıdır.

  3. Neden ikinci denklem yerine 1/y ifadesi kullanıldı?
    $y$’nin ifadesi bulununca eşitliğin çözümünü kolaylaştırmak için 1/y olarak yerine koyduk.

  4. Farklı x değeri çıkabilir mi?
    Kuadratik denklem (x-3)^2=0 yalnızca çakışık kök verdi, başka çözüm yok.

Benzer kesirli bilinmeyenli denklem sistemleriyle ilgili 3 alıştırma ister misin?
@Mert47