Resimli Soru 13-02-2026 09:08:38

YKS TYT
1

Screenshot_2026-02-13-09-08-21-891_com.android.chrome
Screenshot_2026-02-13-09-08-21-891_com.android.chrome720×1600 40.9 KB

2

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen sistemde:
    \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 58 \\[6pt] y^2 - x^2 = -10 \end{cases}
  • x ve y negatif gerçek sayılardır.
  • Amaç: Yukarıdaki denklemleri sağlayan (x,y) çiftini bulmak.

Hızlı Çözüm

  1. İkinci denklemden y^2 - x^2 = -10 → y^2 = x^2 - 10 bulunur.

  2. Birinci denklemde yerine koyarak:

x^2 + 2(x^2 - 10) = 58 \Rightarrow x^2 + 2x^2 - 20 = 58 \Rightarrow 3x^2 = 78 \Rightarrow x^2 = 26

  1. x^2 = 26 ise x = \pm \sqrt{26}. Soruda x negatif olduğundan x = -\sqrt{26}.

  2. y^2 = x^2 - 10 = 26 - 10 = 16 → y = \pm 4. Soruda y de negatif olduğundan y = -4.

Sonuç: (x,y) = (-\sqrt{26}, -4).

Doğru seçenek: C şıkkı.

İçindekiler

  1. Denklem Sisteminin Çözümü
  2. Negatif Köklerin Önemi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Şıklar vs Çözüm
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklem Sisteminin Çözümü

Verilen:

\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 58 \\[6pt] y^2 - x^2 = -10 \end{cases}

Adım 1: İkinci denklemi düzenleme

y^2 = x^2 - 10

Adım 2: İlk denklemde yerine koyma

x^2 + 2(x^2 - 10) = 58 \Rightarrow 3x^2 - 20 = 58 \Rightarrow 3x^2 = 78 \Rightarrow x^2 = 26

Adım 3: x ve y negatif olmalı

x = -\sqrt{26}, \quad y^2 = 16 \Rightarrow y = -4

Sonuç

(x,y) = (-\sqrt{26}, -4)

:light_bulb: Pro Tip: Önce bir denklemden bir değişkenin karesini diğerine izole etmek, sistemleri çözmek için etkili bir yöntemdir.

Negatif Köklerin Önemi

  • Soruda x ve y’nin negatif gerçek sayılar olduğu belirtilmiştir.
  • Bu nedenle karekök alırken negatif işaretli olan değer seçilmelidir.
  • Bu, şıklar arasından doğru olanı bulmak için kritik ipucudur.

:warning: Uyarı: Sadece sayıların karesine bakmak yerine işaret koşullarını da göz önünde bulundurun. Yanlış işaret seçimi cevabı hatalı yapar.

Karşılaştırma Tablosu: Şıklar vs Çözüm

Şık x Değeri y Değeri x^2 + 2y^2 y^2 - x^2 Koşullar Sağlıyor mu?
A -\sqrt{22} \approx -4.69 -5 22 + 2 \times 25 = 22 + 50 = 72 25 - 22 = 3 Hayır
B -\sqrt{28} \approx -5.29 -4 28 + 2 \times 16 = 28 + 32 = 60 16 - 28 = -12 Hayır
C -\sqrt{26} \approx -5.10 -4 26 + 2 \times 16 = 26 + 32 = 58 16 - 26 = -10 Evet
D -\sqrt{24} \approx -4.90 -3 24 + 2 \times 9 = 24 + 18 = 42 9 - 24 = -15 Hayır
E -\sqrt{12} \approx -3.46 -3 12 + 2 \times 9 = 12 + 18 = 30 9 - 12 = -3 Hayır

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 İkinci denklemi y^2 = x^2 - 10 olarak yaz -
2 İlk denkleme yerine koy 3x^2 = 78 \Rightarrow x^2 = 26
3 Negatif kökleri seç x = -\sqrt{26}, y = -4
4 Şıkları karşılaştır C şıkkı doğru

Sık Sorulan Sorular

1. Neden sadece negatif kökler seçildi?
Sorunun ifadesinde x ve y’nin negatif gerçek sayılar olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu yüzden kök alırken negatif işaret tercih edilmelidir.

2. y^2 = x^2 - 10 formülünü nereden bulduk?
İkinci denklemden doğrudan y^2 izole edilip ilk denklemde yerine konulmuştur.

3. Farklı yöntemle çözüm olabilir mi?
Evet, toplama-çıkarma yöntemleri ya da grafiksel çözüm de denenebilir ama yerine koyma oldukça hızlıdır.

Sonraki Adımlar

Bu tür denklemleri çözmede zorlanıyorsanız, size:

  • İkinci dereceden denklem sistemleri çözüm yöntemlerini adım adım anlatan bir rehber hazırlamamı ister misiniz?
  • Benzer bir problem için kısa videolu anlatım önerisi sunmamı ister misiniz?

@Mert47

3

**x ve y negatif gerçek sayı olmak üzere,

x^2 + 2y^2 = 58
y^2 - x^2 = -10 denklemini sağlayan (x, y) ikilisi hangisidir?**

  • Temel Çıkarımlar

    • Sistemde x^2 ve y^2 değerleri bulunarak işaret koşuluna göre çözüme ulaşılır.
    • İkinci denklem $y^2 - x^2 = -10$’dan x^2 - y^2 = 10 elde edilir.
    • Bulunan x^2=26,\;y^2=16 için negatif kökler seçildiğinde x=-\sqrt{26},\;y=-4 sonucuna varılır.

  • Direct Answer
    Doğru cevap C şıkkıdır: (-\sqrt{26},\,-4).

  • İçindekiler

    1. Çözüm Adımları
    2. Özet Tablosu
    3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Dönüşüm:
    İkinci denklem
    y^2 - x^2 = -10
    şeklindendir. Tarafları çevirirsek
    x^2 - y^2 = 10
  2. Yeni değişkenler:
    a = x^2,\quad b = y^2
    Böylece sistem:
    $$\begin{cases}
    a + 2b = 58,\
    a - b = 10.
    \end{cases}$$
  3. Çözüm:
    İkinci denklemden a = b + 10. Bunu birinciye koyarsak
    b + 10 + 2b = 58\quad\Rightarrow\quad 3b = 48\quad\Rightarrow\quad b = 16.
    Ayrıca a = 16 + 10 = 26.
  4. Kök alma ve işaret:
    x^2 = 26\;\Rightarrow\;x = \pm\sqrt{26},\quad y^2 = 16\;\Rightarrow\;y = \pm4.
    Soruda x ve y’nin negatif olduğu verildiğinden
    x = -\sqrt{26},\quad y = -4.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Denklem Dönüşümü y^2 - x^2 = -10\;\to\;x^2 - y^2 = 10 –
Değişken Atama a = x^2,\;b = y^2 –
Lineer Sistem \begin{cases}a+2b=58\\a-b=10\end{cases} a=26,\;b=16
Kök ve İşaret x=\pm\sqrt{26},\;y=\pm4 Negatif kökler: (-\sqrt{26},-4)

SSS

  1. İkinci dereceden denklem sistemlerinde neden a=x^2,\;b=y^2 ataması yapıyoruz?
  2. Negatif kök seçimini nasıl garanti ederiz?
  3. Sonucu kontrol etmek için denklemlere nasıl yerine koyarız?
  4. Bu sistemi grafiksel olarak da çözebilir miyiz?

Daha pekiştirici örnekler ister misiniz?

@Mert47