Resimli Soru 13-02-2026 08:53:31

[Mert47]

[Geometri_Danismani (Geometri ve Sayısal Danışmanı)]

Verilen sistemin gerçek x değerlerinin toplamı kaçtır?

Önemli Noktalar

• İkili denklem sisteminde x^2 ve y^2 ifadeleri ve xy terimi birlikte yer alıyor.
• Bir denklemden y^2’yi izole edip diğerine yerine koyarak tek değişkenli bir denklem elde ediyoruz.
• Elde edilen dördüncü dereceden denklemden sadece pozitif t=x^2 kökü gerçek çözüme yol açar.

Gerçek x değerlerinin toplamı 0’dır; verilen şıklarda bu sonuç yer almadığı için soruda bir tutarsızlık görünüyor.

İçindekiler

1. Çözüm Adımları
2. Özet Tablo
3. SSS

Çözüm Adımları

1. İkinci denklemden
   2x^2 - y^2 = 3 \quad\implies\quad y^2 = 2x^2 - 3.
2. Birinci denklemde yerine koyma:
   x^2 - 2(2x^2 - 3) + 3xy = 10 \quad\implies\quad -3x^2 + 6 + 3xy = 10 \quad\implies\quad x(y - x) = \tfrac{4}{3} \quad\implies\quad y = x + \frac{4}{3x}.
3. y ifadesini karesine alıp y^2=2x^2-3’e eşitleme ve sadeleştirme:
   9x^4 - 51x^2 - 16 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = x^2 = \frac{51 \pm \sqrt{3177}}{18}.
   \sqrt{3177}\approx 56{,}4 olduğundan
   t_1 = \frac{51+56{,}4}{18}>0,\quad t_2 = \frac{51-56{,}4}{18}<0.
4. Sadece t_1 pozitif olduğu için
   x = \pm \sqrt{t_1} \quad\Longrightarrow\quad x_1 + x_2 = \sqrt{t_1} + \bigl(-\sqrt{t_1}\bigr) = 0.

Özet Tablo

Denklem	İşlem	Sonuç
2x^2 - y^2 = 3	\;y^2 = 2x^2 - 3	İfade elde edildi
Yerine koyma	x(y - x) = \tfrac{4}{3}\;\Rightarrow\;y = x + \tfrac{4}{3x}	Tek değişkene indirgeme
Dördüncü dereceden denklem	9x^4 - 51x^2 -16=0\;\Rightarrow\;t = x^2 = \tfrac{51\pm\sqrt{3177}}{18}	Pozitif t seçildi
Gerçek x’ler	x = \pm \sqrt{t_1}	Toplam = 0

SSS

S1: Denklemden neden sadece bir t kökü alındı?
C1: t = x^2 olarak tanımlı, negatif t gerçek x vermez.

S2: Gerçek çözümler kaç adet?
C2: İki adet, birbirinin tersi işaretinde.

S3: Toplam neden 0?
C3: +a ve -a şeklindeki köklerin toplamı sıfırdır.

Daha fazla pekiştirme problemi ister misiniz? @Mert47

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

Denklem Sistemini Sağlayan x Gerçek Sayılarının Toplamı Kaçtır?

Önemli Noktalar

• Verilen denklem sistemi:
  \begin{cases} x^2 - 2y^2 + 3xy = 10 \\ 2x^2 - y^2 = 3 \end{cases}
• Amaç, bu sistemi sağlayan x değerlerinin toplamını bulmaktır.
• Sistemde gerçek sayı çözümleri aranıyor.

İçindekiler

1. Denklem Sisteminin Analizi
2. Çözüm Adımları ve Sonuç
3. Karşılaştırma Tablosu: Benzetim Yöntemleri
4. Özet Tablo
5. Sık Sorulan Sorular

---

Denklem Sisteminin Analizi

İki bilinmeyenli ve ikinci dereceden denklemlerden oluşan sistem:

\begin{cases} x^2 - 2y^2 + 3xy = 10 \\ 2x^2 - y^2 = 3 \end{cases}

İlk adım, denklemleri birbirine bağlayacak şekilde değişkenlerden birini izole edip yerine koymaktır.

İkinci denklemeden y² değerini bulabiliriz:

y^2 = 2x^2 - 3

Bunu birinci denkleme yerleştirip açmalıyız.

---

Çözüm Adımları ve Sonuç

1. İkinci denklemeden:

y^2 = 2x^2 - 3

2. Birinci denklem:

x^2 - 2y^2 + 3xy = 10

3. y^2 yerine sıcaklık:

x^2 - 2(2x^2 - 3) + 3xy = 10 \implies x^2 - 4x^2 + 6 + 3xy = 10

4. Sadeleştirme:

-3x^2 + 3xy + 6 = 10 \implies -3x^2 + 3xy = 4 \implies 3xy = 4 + 3x^2

5. Buradan y’yi ifade edelim:

y = \frac{4 + 3x^2}{3x} \quad (x \neq 0)

6. Ayrıca, y^2 = 2x^2 - 3 olduğu için:

y^2 = \left(\frac{4 + 3x^2}{3x}\right)^2 = 2x^2 - 3

7. Karesini alalım:

\frac{(4 + 3x^2)^2}{9x^2} = 2x^2 - 3

8. Her iki tarafı da 9x^2 ile çarpalım:

(4 + 3x^2)^2 = 9x^2(2x^2 - 3) = 18x^4 - 27x^2

9. Sol tarafı açalım:

(4 + 3x^2)^2 = 16 + 24x^2 + 9x^4

10. Denklemi verelim:

16 + 24x^2 + 9x^4 = 18x^4 - 27x^2

11. Tüm terimleri bir tarafa alalım:

16 + 24x^2 + 9x^4 - 18x^4 + 27x^2 = 0

16 + (24x^2 + 27x^2) + (9x^4 - 18x^4) = 0

16 + 51x^2 - 9x^4 = 0

12. Denklemi standart hale getirelim:

-9x^4 + 51x^2 + 16 = 0

9x^4 - 51x^2 - 16 = 0

13. t = x^2 diyerek:

9t^2 - 51t - 16 = 0

14. t için ikinci dereceden denklemi çözelim:

t = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 + 4 \times 9 \times 16}}{2 \times 9} = \frac{51 \pm \sqrt{2601 + 576}}{18} = \frac{51 \pm \sqrt{3177}}{18}

\sqrt{3177} \approx 56.38

15. İki kök bulunur:

t_1 = \frac{51 + 56.38}{18} = \frac{107.38}{18} \approx 5.965

t_2 = \frac{51 - 56.38}{18} = \frac{-5.38}{18} \approx -0.299

16. t = x^2 negatif olamayacağı için t_2 elenir.

17. Yalnızca x^2 = 5.965 gerçek mümkündür.

18. x = \pm \sqrt{5.965} \approx \pm 2.442

19. Soruda “systemi sağlayan x gerçek sayılarının toplamı” istendiği için:

S = 2.442 + (-2.442) = 0

Ancak seçenekler içinde 0 yok.

---

Burada önemli bir nokta var: Sadece bu kök değil, aynı zamanda x=0 mümkün olabilir mi diye kontrol edelim.

• Eğer x=0 ise, ikinci denkleme bakarsak:

2*0^2 - y^2 = 3 \implies -y^2 = 3 \implies y^2 = -3

Gerçek çözüme uymuyor, çünkü y^2 negatif olamaz.

---

Diğer seçenek: İlk denklemde x=0 dışında başka çözümler var mı?

Alternatif olarak, ikinci dereceden denklemsel ifadeleri kullanmadan denklemi parametre veya başka yollarla araştırmak gerekebilir.

---

Denklemlerden çıkarılabilecek başka bir ipucu:

Sistem ikinci dereceden denklemler olduğundan, genellikle dört kök çifti vardır.

Önce kökleri x_i, y_i hesaplayıp ardından tüm x_i toplamak gerekir.

Ama çözümü kolaylaştırmak için kullanabileceğimiz bir yöntem:

y = kx varsayımı (linear substitusyon)

y = kx

Denklemleri yerine koy:

x^2 - 2(kx)^2 + 3x(kx) = 10

x^2 - 2k^2 x^2 + 3k x^2 = 10

x^2 (1 - 2k^2 + 3k) = 10

İkinci denklem:

2x^2 - (kx)^2 = 3 \implies 2x^2 - k^2 x^2 = 3 \implies x^2 (2 - k^2) = 3

Burada x^2 ikisinden ayrı iki şey olarak hesaplanabilir:

x^2 = \frac{10}{1 - 2k^2 + 3k}

ve

x^2 = \frac{3}{2 - k^2}

Eşitlersek:

\frac{10}{1 - 2k^2 + 3k} = \frac{3}{2 - k^2}

Kesişim için çapraz çarpma yapalım:

10 (2 - k^2) = 3 (1 - 2k^2 + 3k)

20 - 10k^2 = 3 - 6k^2 + 9k

Tüm terimleri bir tarafa topla:

20 - 10k^2 - 3 + 6k^2 - 9k = 0

17 - 4k^2 - 9k = 0

Birinci dereceden ve ikinci dereceden terimler:

-4k^2 - 9k + 17 = 0

Ters yönde:

4k^2 + 9k - 17 = 0

k için ikinci dereceden denklemi çözelim:

k = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4*4*(-17)}}{2*4} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 272}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{353}}{8}

Yaklaşık:

\sqrt{353} \approx 18.79

k_1 = \frac{-9 + 18.79}{8} = \frac{9.79}{8} \approx 1.223

k_2 = \frac{-9 - 18.79}{8} = \frac{-27.79}{8} \approx -3.474

Şimdi x^2 değerlerini hesaplayalım.

Örneğin, k=1.223:

x^2 = \frac{3}{2 - k^2} = \frac{3}{2 - (1.223)^2} = \frac{3}{2 - 1.495} = \frac{3}{0.505} \approx 5.94

x = \pm \sqrt{5.94} \approx \pm 2.438

y = kx = 1.223 * (\pm 2.438) = \pm 2.982

---

k = -3.474:

x^2 = \frac{3}{2 - (-3.474)^2} = \frac{3}{2 - 12.07} = \frac{3}{-10.07} = -0.298

Olmaz, negatif çıkıyor. Bu çözüm gerçek değil.

---

Sonuç:

Gerçek çözümler k=1.223 için geçerli, x \approx \pm 2.438.

x değerlerinin toplamı:

2.438 + (-2.438) = 0

---

Ancak orijinal soruda “toplam x sayılarının toplamı” denmiş, yani tüm çözümler x_1 + x_2.

Biz sadece bir çift x bulduk.

---

Şimdi diğer kökleri gözden geçirelim:

Başka çözüm yok, çünkü k_2 negatif ve gerçek çözüm sağlamıyor.

Yani çözüm çiftimiz:

x_1 = 2.438, \quad x_2 = -2.438

Toplamları:

0

Ama seçeneklerde 0 yok.

---

Sorunun tipik çözümü olarak, genellikle gerçek çözümlerin toplamı 14 veya 15 gibi verilmiş.

Yukarıdaki çözüm analizlerinde hata yapılabilir.

---

Alternatif yöntem:

Denklem sistemini şu şekilde değerlendirelim:

Birinci denklemden:

x^2 - 2y^2 + 3xy = 10

İkinci:

2x^2 - y^2 = 3

Sonuca varmak için A = x^2, B = y^2, C = xy olarak tanımlayıp yazalım.

İki denklem:

A - 2B + 3C = 10

2A - B = 3

İkinci denklemi B cinsinden çözelim:

B = 2A - 3

İlk denklem:

A - 2(2A - 3) + 3C = 10 \implies A - 4A + 6 + 3C = 10 \implies -3A + 3C = 4

3C = 4 + 3A \implies C = \frac{4 + 3A}{3}

Ancak C = xy ve A = x^2, B=y^2.

Bunlar için şu eşitlik vardır:

C^2 \leq AB

Çünkü C = xy, A = x^2, B = y^2, o halde:

(xy)^2 \leq x^2 y^2 \implies C^2 \leq AB

Şimdi C^2 \leq AB:

\left(\frac{4+3A}{3}\right)^2 \leq A \cdot (2A - 3)

Bunu çözelim:

\left( \frac{4+3A}{3} \right)^2 \leq 2A^2 - 3A

\frac{(4+3A)^2}{9} \leq 2A^2 - 3A

(4 + 3A)^2 \leq 9 (2A^2 - 3A)

16 + 24A + 9A^2 \leq 18A^2 - 27A

0 \leq 18A^2 - 27A - 9A^2 - 24A - 16

0 \leq 9A^2 - 51A - 16

Bu da:

9A^2 - 51A - 16 \geq 0

Burada A = x^2 ve A \geq 0.

9A^2 - 51A - 16 = 0 denkleminin kökleri daha önce hesaplandı:

A_1 \approx 5.965, \quad A_2 \approx -0.299

Noktasal çözüm olarak A \geq 5.965 veya A küçük değerlerde mi?

Parabolün açık ucu pozitiftir.

• Parabol A eksenini iki kökte keser.

• Büyük kök 5.965, küçük kök negatif, A \geq 5.965 için ifade pozitiftir.

Yani, A = x^2 \geq 5.965.

Bu demektir ki:

x = \pm \sqrt{5.965} = \pm 2.442

Bu saha çalışan iki gerçek kök vardır.

---

Sonuç:

Denklem sistemi ancak x = \pm 2.442 için gerçek çözüme sahiptir.

Toplamları:

2.442 + (-2.442) = 0

Seçenekler arasında 0 yoksa, soruyu tam netleştirmek veya alternatif çözümler aramak gerekir.

---

Karşılaştırma Tablosu

Metot	Avantajları	Dezavantajları
Direkt Denklem Yerine Koyma	Basit, doğrudan	Karmaşık ifadelerde zorlayıcı
Parametre ile Yerine Koyma (y=kx)	Oran analizi sağlar	Yanlış k’lar çıkabilir
Kuvvet ve Eşitsizlik İncelemesi	Mantıklı kısıtlama	Detaylı kök şartları gerektirir
Grafik Çizimi	Görsel kontrol	Tam sayısal sonuç veren değil

---

Özet Tablo

Adım	İşlem	Sonuç
1	İkinci denklemden y^2 çıkarıldı	y^2 = 2x^2 - 3
2	Birinci denklemde yerine kondu	3xy = 4 + 3x^2
3	y ifadesi bulundu ve y^2 denklemiyle karşılaştırıldı	x^2 \approx 5.965
4	x kökleri \pm 2.442 olarak bulundu	Gerçek ve geçerli
5	Köklerin toplamı	0

---

Sık Sorulan Sorular

1. Neden sadece iki gerçek kök var?
Çünkü ikinci dereceden denklemlerde bazen bazı kökler kompleks olabilir. İfade koşullarına göre sadece gerçek ve sistem şartlarını sağlayan kökler geçerlidir.

2. Köklerin toplamı neden 0?
Kökler simetrik olarak \pm şeklindedir, bu nedenle toplamları her zaman 0 olur.

3. Diğer seçeneklerde neden 0 yok?
Soru girdisinde bir hata veya seçeneklerde hata olabilir. Matematiksel çözüm bu sonucu verir.

---

Sonraki Adımlar

Bu tür sistemlerde denklem çözerken daha hızlı ve pratik yöntemler istersen, denklem çözümünde parametre kullanımı veya polinom eşitlik manipülasyonları hakkında detaylı bir çalışma isteyen misin?

@Mert47