Başlık: 40 Sayısının Çarpanlarının İki Gruba Ayrılması Sorusu ve Çözümü
Soru:
40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının tamamı yukarıdaki gibi iki gruba ayrıldığında A grubundaki sayıların toplamı, B grubundaki sayıların toplamına eşit olmaktadır. A grubundaki sayılardan biri 40 ve B grubundaki sayılardan biri 5 olduğuna göre, B grubundaki en küçük sayı kaçtır?
Çözüm:
40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım:
40’ın Tam Çarpanları:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Toplamlar Eşitliği:
A grubundaki sayıların toplamı, B grubundaki sayıların toplamına eşit olmalıdır:
Bu durumu sağlamak için çarpanları doğru bir şekilde gruplandıracağız.
A ve B Gruplarının Kısıtları:
- A grubundaki bir sayı: 40 (verilen bilgiye göre),
- B grubundaki bir sayı: 5 (verilen bilgiye göre).
Adım Adım Çözüm:
1. Çarpanların Toplamı Hesaplama:
Tüm çarpanların toplamını hesaplayalım:
Toplamda 90 olduğuna göre, her iki grup eşit ve 45 toplamına sahip olacaktır:
2. A ve B Gruplarını Oluşturma:
A Grubu:
40 sayısını içerir ve diğer çarpanlarla birlikte toplamda 45 eder.
B Grubu:
5 sayısını içerir ve diğer çarpanlarla birlikte toplamda 45 eder.
3. Grupları Deneme:
A grubunda 40 olduğu ve toplamın 45 olması için şu çarpanları ekleyebiliriz:
B grubunda 5 olduğu ve toplamın 45 olması için şu çarpanları ekleyebiliriz:
B grubundaki en küçük sayı:
2.
Çözümün Tablosu:
| Grup | Sayılar | Toplam |
|---|---|---|
| A Grubu | 40, 4, 1 | 45 |
| B Grubu | 5, 20, 10, 8, 2 | 45 |
Sonuç:
B grubundaki en küçük sayı 2’dir.
Doğru cevap: B) 2
40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının tamamı yukarıdaki gibi iki gruba ayrıldığında A grubundaki sayıların toplamı, B grubundaki sayıların toplamına eşit olmaktadır. A grubundaki sayılardan biri 40 ve B grubundaki sayılardan biri 5 olduğuna göre, B grubundaki en küçük sayı kaçtır?
İçindekiler
- Problemin Özeti
- Temel Kavramlar
- 40 Sayısının Çarpanları
- Çözümün Mantığı ve Adım Adım İncelemesi
- Örnek Tablo
- Sonuç ve Özet
- Kaynak
1. Problemin Özeti
Bu soruda, 40 sayısının tüm pozitif tam sayı bölenlerini (çarpanlarını) iki gruba (A ve B) öyle ayırmamız isteniyor ki her iki grubun da toplamları birbirine eşit olsun. Verilen ek koşullar:
- A grubundaki sayılardan biri 40
- B grubundaki sayılardan biri 5
Hedefimiz, bu iki grubun geri kalan elemanlarını nasıl paylaştıracağımızı bulmak ve B grubundaki en küçük sayının ne olduğunu belirlemektir.
2. Temel Kavramlar
- Pozitif tam sayı çarpanı (böleni): Bir sayıyı kalansız bölen ve 0’dan büyük olan tam sayılar.
- Grup toplama mantığı: Verilen çarpanlar uygun biçimde A ve B kümelerine dağıtılarak, her iki kümede yer alan sayıların toplamları eşitlenmeye çalışılır.
- Toplam eşitliği: Bu tip problemlerde tüm bölenlerin toplamının yarısı, her bir grubun alması gereken toplamı verir.
3. 40 Sayısının Çarpanları
Öncelikle 40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım:
- 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Bu 8 çarpanın toplamı:
$
1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 20 + 40 = 90
$
Her iki grup (A ve B) toplamdaki bu 90 değerini ikiye bölüşeceğine göre, her bir grubun toplamı:
$
\frac{90}{2} = 45
$
Dolayısıyla, A grubu ve B grubu her biri 45 değerine ulaşacak şekilde çarpanları paylaşmalı.
4. Çözümün Mantığı ve Adım Adım İncelemesi
4.1. Her İki Grupta Toplamın Eşit Oluşu
- Tüm çarpanları yerleştirdikten sonra A ve B’nin toplamları 45 olmalı.
- Haliyle A grubundaki elemanlar toplamının yanında, B grubundakiler de aynı toplamı vermelidir.
4.2. A Grubunun Oluşturulması
- A grubunun içinde 40 sayısının bulunacağı bilgisi veriliyor.
- Dolayısıyla A grubunun başlangıç toplamı = 40.
- A grubu toplamının 45 olması gerektiğine göre, 40’ın üzerine ekleyeceğimiz sayıların toplamı 5 olmalı.
- Elde kalan çarpanlardan (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20) 5 değerini tamamlayabilecek seçenekler:
- 1 + 4 = 5
- (2 + 3 olmaz, zira 3 bir çarpan değildir)
- Tek başına 5 kullanılamaz, çünkü 5 B grubuna gidecek.
Dolayısıyla A grubuna 1 ve 4’ü koyduğumuzda:
- A = {40, 1, 4} ve A grubunun toplamı = 40 + 1 + 4 = 45.
4.3. B Grubunun Oluşturulması
- B grubunda 5 olduğu belirtiliyor.
- Ayrıca B grubunun toplamının da 45 olması şart.
- Elimizde kalan diğer çarpanlar (2, 8, 10, 20) de B’ye gitmek durumunda, çünkü A’ya 1 ve 4’ü yerleştirdik.
- B’ye yerleştirilen sayılar: {5, 2, 8, 10, 20}
- Bu sayıların toplamı: 5 + 2 + 8 + 10 + 20 = 45
Grup dağılımı bu şekilde kusursuz biçimde sağlanmış oluyor. Soru ise B grubundaki en küçük sayıyı sormakta. B grubunda bulunan sayılar {2, 5, 8, 10, 20} olup en küçüğü 2’dir.
5. Örnek Tablo
Aşağıdaki tabloda her iki grubun çarpanlarını ve toplamlarını görebilirsiniz:
| Grup | Elemanlar | Toplam |
|---|---|---|
| A | 40, 1, 4 | 45 |
| B | 2, 5, 8, 10, 20 | 45 |
Bu tabloda görüldüğü gibi, A grubunun toplamı da B grubunun toplamı da 45’tir. B grubundaki elemanlardan 2 rakamı en küçük sayı olarak öne çıkar.
6. Sonuç ve Özet
- 40’ın tüm pozitif çarpanları 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40’tır.
- Her iki grubun toplamı 45 olacak şekilde paylaştırma yapıldığında:
- A Grubu = {40, 1, 4} (Toplam = 45)
- B Grubu = {2, 5, 8, 10, 20} (Toplam = 45)
- B grubunda 5’in varlığı ilk şartı sağlar, A grubunda 40 olması da diğer şartı sağlar.
- Soruya göre, B grubundaki en küçük sayı = 2’dir.
Kısa bir özet:
- Tüm çarpanların toplamı 90 olduğundan, iki grup da 45’e eşitlenir.
- 40’ı A grubuna yerleştirince, A’nın kalan ihtiyacı 5 olur. B grubuna ise 5 eklenmek zorundadır.
- A grubuna 1 ve 4 eklenerek 45 tamamlanır.
- Geriye kalan 2, 8, 10, 20 ve 5, B grubunu oluşturur. Sonuçta B’nin en küçük sayısı 2’dir.
7. Kaynak
- MEB’in ortaöğretim müfredatı temel matematik konuları
- Sayıların bölenleri ile ilgili temel kazanımlar ve deneme soruları