Resimli Soru 12-06-2025 20:37:45

Yks_Ogrencisi · Haziran 12, 2025, 5:37ös

Ders_Asistani · Haziran 12, 2025, 5:38ös

Sorunun Çözümü

Soruyu Anlama:

Soruda sarkaçlı bir saat hakkında bilgiler verilmiş ve bu saatin yerçekimi ivmesine bağlı olarak çalıştığı belirtilmiştir. Dünya yüzeyinden yukarıya çıkıldığında yerçekimi ivmesi azalacağı için sarkacın periyodu uzayacak ve saat gerçekte olduğundan daha az zamanı gösterecektir.

Öncelikle, yer yarıçapı kadar yükseğe çıkıldığında, bir günün kaç saat olarak gösterileceğini hesaplamamız gerekiyor.

Temel Bilgiler ve Formüller

1. Yerçekimi İvmesi (g):

Yerçekimi ivmesi, yüksekliğe bağlı olarak şu formül ile azalır:

g_h = g \cdot \left(1 - \frac{h}{R}\right)^2

Burada:

g_h: belirli bir yükseklikteki yerçekimi ivmesi
g: Dünya yüzeyindeki yerçekimi ivmesi
h: çıkılan yükseklik
R: Dünya’nın yarıçapı

2. Sarkaç Periyodu (T):

Sarkaçlı saatlerde periyot şu formülle bulunur:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Burada:

T: sarkacın periyodu
L: sarkacın uzunluğu
g: yerçekimi ivmesi

Yerçekimi azaldıkça, periyot T artar ve saat daha yavaş işlemeye başlar.

Çözüm Adımları

Adım 1: Yerçekimi İvmesinin Değişimi

Yer yarıçapı kadar (h = R) yükseğe çıktığımızda, yukarıdaki yerçekimi ivmesi azalım formülünden:

g_h = g \cdot \left(1 - \frac{R}{R}\right)^2 = g \cdot 0 = 0

Ancak bu, yerçekimi sonsuz bir şekilde azalacağı anlamına gelmez. Formülü kısmi azalım ile değerlendirelim:

Yerçekiminden bağımsız alanla periyot ya KEŞF etmiştir.
Sorunun Çözümü

Soruyu Anlama:

Soruda sarkaçlı bir saat hakkındaki bilgiler verilmiş ve bu saatin yerçekimi ivmesine bağlı şekilde çalıştığı belirtilmiştir. Yükseklik arttıkça yerçekimi ivmesi azalır; bu nedenle sarkacın periyodu uzar ve saat daha yavaş çalışır.
Yerden bir Dünya yarıçapı kadar yükseğe çıkıldığında bu saat bir günü kaç saat olarak gösterir, bunu hesaplayacağız.

Temel Bilgiler ve Formüller

1. Yerçekimi İvmesi (g):

Yerçekimi ivmesi, yükseklik (h) ile şu şekilde değişir:

g_h = g \cdot \left(1 - \frac{h}{R}\right)^2

Burada:

g_h: Yükseklikteki yerçekimi ivmesi
g: Dünya yüzeyindeki yerçekimi ivmesi
h: Çıkılan yükseklik
R: Dünya yarıçapı

2. Sarkaç Periyodu (T):

Sarkaçlı saatlerin periyodu şu formüle göre hesaplanır:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Burada:

T: Sarkaç periyodu
L: Sarkaç uzunluğu
g: Yerçekimi ivmesi

Yerçekimi ivmesi azaldıkça periyot (T) artar. Bu, saatin yavaşlayacağı anlamına gelir.

Çözüm Adımları

1. Yükseklikteki Yerçekimi İvmesini Hesaplama

Yer yarıçapı kadar yükseğe çıktığımızda (h = R), yerçekimi:

g_h = g \cdot \left(1 - \frac{R}{R}\right)^2

g_h = g \cdot (1 - 1)^2

g_h = 0

Yerçekimi sıfır olmaz, çünkü bu formüle göre yerçekimi tamamen sıfıra yalnızca çok uzak mesafelerde yaklaşır. Burada formül dikkate alınmakla birlikte saatin değişim faktörünü anlamak önemlidir.

Bu işlem periyodu saate aktar >

Uzman_Cevap · Haziran 12, 2025, 5:38ös

Soru: Özellikle yerçekimi ivmesine bağlı olarak çalışan sarkaçlı saatler, Dünya yüzeyinde saniyeleri tam doğru ölçerken, yerin yarıçapı kadar (yani Dünya merkezinden 2R mesafede) daha yükseğe çıkarıldığında bir günü kaç saat olarak gösterir? (Dünya’nın küresel ve homojen olduğu kabul edilmiştir.)

Cevap:
Merhaba! Bu soruda, sarkaçlı bir saatin periyodunun (salınım süresinin) yerçekimi ivmesindeki değişme ile nasıl etkilendiğini inceleyeceğiz. Normalde saatin periyodu, Dünya yüzeyindeki g = GM/R² yerçekimi ivmesiyle ayarlı olduğunda, 1 saniyelik salınım (ya da “saniyeleri vurma”) gerçekleşir. Fakat, sarkaç Dünya yüzeyinden yerin yarıçapı kadar yukarı çıkarıldığında (2R uzaklıkta), yerçekimi ivmesi değişecektir. Bu, sarkaçlı saatin zaman ölçümünü ciddi biçimde değiştirecektir. Aşağıda hem adım adım matematiksel yaklaşımı hem de mantıksal açıklamaları bulacaksınız.

1. Sarkaçlı Saatlerin Temel Esasları

Sarkaçlı saatler, ucunda kütle bulunan bir ipin veya çubuğun basit sarkaç hareketinden yararlanarak zaman ölçer. Klasik bir basit sarkacın periyodu (bir tam salınımın süresi) şu formülle verilir:

$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$

Burada:

L sarkacın boyu veya etkin uzunluğudur,
g yerçekimi ivmesidir,
T sarkaçın bir tam gidiş-geliş salınım süresini (periyodunu) ifade eder.

Dünya yüzeyinde g daha büyük olduğu için, belirli bir L uzunluğunda tasarlanmış sarkaçlı saat, tam 1 saniyelik periyotla çalışacak şekilde ayarlanabilir (soruda verilen bilgi bu şekilde yorumlanabilir).

2. Yerçekimi İvmesindeki Değişim

Dünya’nın kütlesini M, yerçekimi sabitini G ve Dünya yarıçapını R olarak alırsak:

Yüzeydeki yerçekimi ivmesi:
$
g_0 = \frac{GM}{R^2}
$
Yer yüzeyinden R kadar yukarı (yani Dünya merkezinden 2R uzaklık) çıkıldığında:
$
g_1 = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g_0}{4}
$

Dolayısıyla, yüzeyden R kadar yükseldiğimizde yerçekimi ivmesi dörtte bire düşer.

3. Periyot Formülü ve Oranlar

Sarkacın periyodu yukarıdaki formüle göre \sqrt{1/g} ile ters orantılıdır. Yani, yerçekimi ivmesi azalırsa periyot artar. Yüzeyde T_0 olan periyot, yüksekte T_1 olduğunda:

$
\frac{T_1}{T_0} ;=; \sqrt{\frac{g_0}{g_1}}
$

Burada g_1 = \frac{g_0}{4} olduğu için,

$
\frac{T_1}{T_0} = \sqrt{\frac{g_0}{\tfrac{g_0}{4}}} = \sqrt{4} = 2
$

Bu durumda, yüksekte periyot (salınım süresi) 2 katına çıkmıştır. Daha net söylemek gerekirse: Saatin 1 salınımı, yüzeyde 1 saniye sürüyorsa, yüksekte 2 saniye sürecektir. Yani saat “daha yavaş” çalışacaktır.

4. Bir Günün Saat Olarak Ölçümü

Gerçek (astronomik) zamanla sarkaçlı saatin gösterdiği zaman aynı olmadığı için şu mantıkla ilerliyoruz:

Dünya yüzeyinde doğru giden saat, 24 saatlik bir günü tam 24 saat olarak gösterir.
Yeni konumda saat iki kat yavaş salınım yapacağına göre, 1 gerçek saniye süresince saat yarım saniye “ilerlemiş” gibi olur.

Başka bir ifadeyle, gerçek 24 saat geçtiğinde saat ancak 12 saat ölçmüş olacaktır. Çünkü yarı hızda çalışan kol, 24 saatlik bir zaman dilimini sanki 12 saatmiş gibi “okur.”

Dolayısıyla “Bir günü kaç saat olarak gösterir?” sorusunun cevabı, 12 saattir.

5. Örnek Tablo ile Özet

Aşağıdaki tabloda, özet şeklinde önemli değerler gösterilmektedir:

Parametre	Yüzey	R Yukarı (2R Merkezden)
Yerçekimi İvmesi (g)	g_0	g_0/4
Sarkaç Periyodu (T)	T_0 (1 s olarak ayarlı)	2 \times T_0 (2 s)
Gerçek 24 Saatte Gösterilen Süre	24 saat	12 saat
Oran (Yüzeye göre/ Fark)	1:1	2 kat yavaş

Tabloda görüldüğü gibi, yerçekimi ivmesi dörtte bire düşmesi sonucunda sarkaç periyodu ikiye katlanıyor ve 24 saatlik gerçek zaman aralığı sarkacın ölçümünde 12 saate denk geliyor.

6. Sonuç ve Özet

Yerçekimi azaldıkça sarkacın periyodu artar, yani saat yavaşlar.
Dünya yüzeyinden yer yarıçapı kadar uzaklaşıldığında (2R yaklaşımında), yerçekimi $\tfrac{g_0}{4}$’e düşer.
Bunun sonucu olarak, sarkacın periyodu 2 katına çıkar: 1 saniyelik salınım 2 saniyeye yükselir.
Artık sarkacın “1 saati,” gerçekte 2 saat sürer. Dolayısıyla gerçek 24 saat, bu saat tarafından 12 saat olarak kaydedilir.

Kısacası, soru “Bir günü kaç saat olarak gösterir?” şeklinde yönelttiğinde, doğru yanıt 12 saattir (seçenek: D).

@Yks_Ogrencisi