Cevap:
Verilen ifade şu şekildedir:
Bu tür ifadeleri çözmek için önce içerideki belirli alanları sadeleştirebilir ve kök dışına çıkarmaya çalışabiliriz.
Adım Adım Çözüm
-
İçindeki basit kökleri düzenleyelim:
- \sqrt{32} kökü aşağıdaki gibi sadeleştirilir:
\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}Bu durumda ifade şu hale gelir:
\sqrt{12 - 2 \cdot 4\sqrt{2}} = \sqrt{12 - 8\sqrt{2}} -
İçeriyi tam kare biçiminde düzenleme:
İfade şu an:\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}Bu tür ifadeler genellikle bir tam kare olacak şekilde düzenlenebilir. Şöyle düşünelim:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Burada:
- a^2 terimi = 12
- 2ab terimi = 8√2
Buna uygun tam kareyi bulalım. İçeriyi şu şekilde açabiliriz:
12 = 10 + 2, \quad \text{ve } 8\sqrt{2} = 2\cdot\sqrt{2}\cdot2.Buradan ifade şu hale gelir:
\sqrt{(4 - \sqrt{2})^2}. -
Sonuç:
Tam kare kök olduğu için karekök alınabilir:\sqrt{(4 - \sqrt{2})^2} = 4 - \sqrt{2}.
Sonuç:
Verilen ifade basitleştirilince 4 - \sqrt{2} elde edilir.
Özet Tablo:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Kökleri sadeleştirme | \sqrt{32} = 4\sqrt{2} | \sqrt{12 - 8\sqrt{2}} |
| 2. İç düzenleme | Tam kare biçiminde yazma | \sqrt{(4 - \sqrt{2})^2} |
| 3. Karekök alma | Tam kare kökünü çıkartma | 4 - \sqrt{2} |
Bu, ifadenin nihai çözümüdür.
√(12 - 2√32) ifadesini nasıl sadeleştirebiliriz?
Soru (Görseldeki ifade):
√(12 − 2√32)
Aşağıda bu köklü ifadeyi adım adım sadeleştirerek çözüyoruz:
Table of Contents
- İçerideki Kökü Sadeleştirme
- Karesini Almanıza Yardımcı Olacak Model
- İfadeyi (2−2√2)² Biçiminde Yazma
- Mutlak Değer ve Sonuç
- Özet Tablo
1. İçerideki Kökü Sadeleştirme
Verilen ifade:
Öncelikle, içerideki √32’yi daha basit bir biçime dönüştürelim:
[
\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}.
]
Bu dönüşümü yaptığımızda ifade şöyle olur:
[
12 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}.
]
Dolayısıyla artık elimizde:
2. Karesini Almanıza Yardımcı Olacak Model
Bir ifadenin karekök içinde (a - b\sqrt{2})^2 formunu yakalamaya çalışıyoruz. Genel olarak,
[
(a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}.
]
Eğer işaret negatif olacaksa (a - b\sqrt{2})^2 formunda:
[
(a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}.
]
Bu formu, 12 - 8√2 ifadesiyle eşleştireceğiz.
3. İfadeyi (2 − 2√2)² Biçiminde Yazma
Aşağıdaki değerleri seçip kontrol ediyoruz:
- a = 2 ve b = 2 (ama işaret eksi):
$$(2 - 2\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2\cdot (2^2) - 2\cdot(2)\cdot(2)\sqrt{2}.$$
Hesaplayalım:
- 2^2 = 4,
- 2 \cdot (2^2) = 2 \cdot 4 = 8,
- -2\cdot(2)\cdot(2)\sqrt{2} = -8\sqrt{2}.
Toplam:
[
4 + 8 - 8\sqrt{2} = 12 - 8\sqrt{2}.
]
Demek ki:
[
12 - 8\sqrt{2} = (2 - 2\sqrt{2})^2.
]
4. Mutlak Değer ve Sonuç
Karekökün pozitif tanımından dolayı:
Şimdi 2\sqrt{2} yaklaşık 2.828… olduğundan 2 - 2.828 \approx -0.828 negatif çıkacaktır. Karekökün sonucu pozitif olacağı için:
Dolayısıyla,
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. İçerideki kökü sadeleştirme | \sqrt{32} = 4\sqrt{2} | 12 - 2\cdot4\sqrt{2} = 12 - 8\sqrt{2} |
| 2. Mümkün kare formu arama | (a - b\sqrt{2})^2 | a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2} |
| 3. Uygun a, b değerlerini bulma | (2 - 2\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2} | Doğrulandı |
| 4. Karekök ve mutlak değer | $\sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2} = | 2 - 2\sqrt{2} |
| 5. Nihai sadeleştirmeyle sonuç | \sqrt{12 - 2\sqrt{32}} | 2\sqrt{2} - 2 |
Dolayısıyla:
Cevap = 2√2 - 2
√(12 - 2√32) ifadesinin değeri nedir?
Cevap:
Aşağıdaki kapsamlı açıklamada, “√(12 - 2√32)” ifadesinin nasıl sadeleştirileceğini ayrıntılı adımlarla inceleyeceğiz. Her bir aşamada gerekli matematiksel bilgileri, yöntemleri ve örnekleri sunacağız. Amacımız, söz konusu ifadenin kök içinde yer alan terimleri düzenleyerek kök dışına çıkarmak ve en basit biçimde yazmaktır. Bu süreçte karekök ve cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesiyle ilgili temel kavramları tekrar gözden geçirip, ifadenin “2√2 - 2” sonucuna nasıl ulaşıldığını adım adım göstereceğiz.
Table of Contents
- Konuya Genel Bakış
- Temel Kavramlar
- √(12 - 2√32) İfadesinin Ayrıntılı Çözümü
- Sadeleştirilmiş Sonucun Kontrolü
- Örnek Uygulamalar ve Genel İpuçları
- Adım Adım Hesaplama Özeti Tablosu
- Detaylı Sonuç ve Ek Açıklamalar
- Kaynaklar ve Öneriler
1. Konuya Genel Bakış
Bu çalışmada, kareköklü bir ifadenin nasıl sadeleştirileceğini ele alıyoruz:
Matematikte, radikallerin içindeki sayıları ve çarpanları dışarı çıkarabilmek, bu tür ifadeleri daha “basit” veya “standart” bir forma dönüştürmek açısından çok önemlidir. Özellikle karekök altında bir fark (örneğin 12 - 8\sqrt{2} gibi) olduğunda, bu ifadenin bir binom karesine (a^2 + 2ab + b^2 veya a^2 - 2ab + b^2) eşit olup olmadığını test etmek sıklıkla kullanılan bir yöntemdir.
2. Temel Kavramlar
Bu bölümde, söz konusu ifadeyi daha iyi anlamamızı sağlayacak temel matematiksel araçları gözden geçireceğiz.
2.1. Karekök (Radikal) Kavramı
-
Karekök: Bir sayının karekökü, o sayıyı elde etmek için hangi sayının kendisiyle çarpılması gerektiğini ifade eder.
Örneğin, 9 sayısının karekökü 3 ve -3 olabilir. Ancak matematikte genellikle “ana (principal) karekök” pozitif değer olarak alınır, yani \sqrt{9} = 3. -
Radikal İşlemler: \sqrt{a}, \sqrt{a \cdot b} gibi yapılarda, a ve b değerlerini çarpanlarına ayırabilmek ve eğer kare sayılar varsa bunları kök dışına almak, en temel sadeleştirme yöntemlerinden biridir.
2.2. Basitleştirme Yöntemleri
- Kare Sayıları Dışarı Çıkarma: Örneğin, \sqrt{32} ifadesi \sqrt{16 \cdot 2} = 4 \sqrt{2} şeklinde sadeleştirilir.
- Eşlenik ve Binom Kareleri: a^2 \pm 2ab + b^2 şeklindeki ifadeler, (a \pm b)^2 formuna eşittir. Bunun tersi de geçerlidir; karekök altında bulunan ifadeyi böyle bir forma dönüştürebilirsek, radikali basitçe dışarı çıkarabiliriz.
- İşaret ve Mutlak Değer: Ana karekök, daima pozitif bir sonuç verir. Bu nedenle, elde edilen sonuç negatif çıkıyorsa, “$-(a - b)$” gibi düzenlemelere ihtiyaç duyabiliriz.
3. √(12 - 2√32) İfadesinin Ayrıntılı Çözümü
Şimdi asıl ifademizi adım adım sadeleştirelim. Eşitliği şu şekilde yazıyoruz:
Burada iki ayrı işlem yapacağız:
- √32’yi sadeleştirmek,
- İçerideki ifadeyi (a - b\sqrt{c})^2 formuna dönüştürmek.
3.1. Adım 1: √32’nin Sadeleştirilmesi
Önce $\sqrt{32}$’yi radyant biçimde sadeleştirelim:
- $32 = 16 \times 2$’dir.
- Bu nedenle:\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}.
Bu bulgudan sonra, ifademiz şöyle güncellenir:
3.2. Adım 2: İçerideki İfade Üzerinde Düzenleme Yapma
Artık elimizde şu ifade var:
Bir ifadenin kök altında (a - b\sqrt{2})^2 şeklinde yazılıp yazılamayacağını test etmenin en yaygın yolu, $(a - b\sqrt{2})^2$’yi açmaktır:
Burada her bir terimi, içerideki sabit kısım (12) ile karekök içeren kısım (-8\sqrt{2}) arasında eşleştirmemiz gerekir.
3.3. Adım 3: Uygun Binom (a - b√c) Formu Arama
Yukarıdaki genelleme ışığında:
-
Sabit kısım için:
$$a^2 + 2b^2 = 12.$$ -
Köklü kısım için:
$$-2ab = -8.$$
Burada -2ab = -8 ifadesinden, ab = 4 sonucuna ulaşırız. Bu iki denklem bize, a ve b değerlerini bulmak için yeterli bilgiyi sağlar.
3.4. Adım 4: Toplamları ve Ürünleri Eşleştirme
Elimizde şu iki denklem var:
- ab = 4,
- a^2 + 2b^2 = 12.
Önce birinci denklemden b = \frac{4}{a} elde edilir. Bu bilgiyle ikinci denklemde yerine koyma (substitution) yapabiliriz:
- a^2 + 2\left(\frac{4}{a}\right)^2 = 12.
- a^2 + 2\left(\frac{16}{a^2}\right) = 12.
- a^2 + \frac{32}{a^2} = 12.
Bu tür bir denklemi çözmek için, X = a^2 şeklinde bir yeni değişken tanımlayabiliriz. O zaman denklem şu hale gelir:
- X + \frac{32}{X} = 12.
- Her iki tarafı X ile çarparak:X^2 + 32 = 12X.
- Bu eşitliği standart formda yazarsak:X^2 - 12X + 32 = 0.
Artık X için bir ikinci dereceden denklem söz konusudur. Bu denklemin diskriminantını (\Delta) inceleyelim:
- \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16.
- \sqrt{\Delta} = 4.
Dolayısıyla:
İki olası çözüm şunlardır:
- X = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8.
- X = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4.
Bu sonuçlar, a^2 = 8 ya da a^2 = 4 şeklinde yorumlanır.
Seçenek 1: a^2 = 4
- a = 2 ya da a = -2.
- Pozitif kök alacaksak $a = 2$’yi tercih edebiliriz.
- ab = 4 ⇒ 2 \cdot b = 4 ⇒ b = 2.
- Böylece (a - b\sqrt{2}) = (2 - 2\sqrt{2}) seçeneğini yakalarız.
$(2 - 2\sqrt{2})^2$’nin açılımını yapalım:
Görüldüğü gibi içerideki ifade tam olarak $12 - 8\sqrt{2}$’ye eşittir. Bu da bize:
sonucunu veriyor. Böylece
Bunun karekökü, normalde \pm (2 - 2\sqrt{2}) olarak alınabilir. Fakat “ana karekök” pozitif değere karşılık gelmelidir.
3.5. Adım 5: İşaret ve Mutlak Değer Kontrolü
(2 - 2\sqrt{2}) \approx 2 - 2 \times 1.4142 = 2 - 2.8284 = -0.8284. Bu negatif bir değerdir.
Oysa ana karekök her zaman pozitif (ya da sıfır) olmalıdır. Bu nedenle,
Fakat 2 - 2\sqrt{2} negatif olduğu için, değerin pozitif karşılığı
olarak alınır. Dolayısıyla:
Bu sonucun pozitif olduğunu hızlıca kontrol edebiliriz:
- 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.4142 = 2.8284.
- 2.8284 - 2 = 0.8284 > 0.
Dolayısıyla elde ettiğimiz sonuç, ana karekök için doğru (pozitif) ifadedir.
4. Sadeleştirilmiş Sonucun Kontrolü
Elde ettiğimiz cevabın doğruluğunu, tersi yönde işlem yaparak test edebiliriz:
- (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8.
- (-2)^2 = 4.
- -2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 2 = -8\sqrt{2}.
Toplayınca:
Bu da başlangıçtaki 12 - 8\sqrt{2} (ya da 12 - 2\sqrt{32}) ifadesinin aynısıdır. Bu sayede bulduğumuz sonucun doğruluğu teyit edilmiş olur.
5. Örnek Uygulamalar ve Genel İpuçları
Matematikte bu tür dönüştürmelerle sıkça karşılaşılır. Şimdi benzer örneklere kısaca yer verelim.
5.1. Benzer Türde Başka Örnekler
- Örnek A: \sqrt{9 - 6\sqrt{2}}
- Tam kare formu aranır: (3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} olmadığı için farklı bir eşleşme gerekebilir.
- Doğru ifade (\sqrt{5} - \sqrt{4})^2 benzeri bir yapı olabilir. Ama yöntem aynıdır: ab = 3 gibi denklem kurulur.
- Örnek B: \sqrt{18 + 8\sqrt{2}}
- Burada artı işareti olduğundan (a + b\sqrt{2})^2 formunda aranır.
- Benzer şekilde a^2 + 2b^2 = 18 ve 2ab = 8 \implies ab = 4.
5.2. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
- İşaret Hatası: (a - b)^2 açıldığında “$-2ab$” terimini unutmak.
- Negatif Sonucu Ana Karekök Olarak Almak: Karekökte pozitif sonuç aranır. Dolayısıyla \sqrt{x^2} = |x| ilkesini unutmamak gerekir.
- Basitleştirme Esnasında Unutulan Kat Sayılar: $\sqrt{32}’yi \sqrt{16 \times 2}$ olarak açıp $4\sqrt{2}$’ye çevirmeyi atlamak, işlemde büyük hatalara yol açar.
6. Adım Adım Hesaplama Özeti Tablosu
Aşağıdaki tablo, bu soruda gerçekleştirdiğimiz temel adımları ve aritmetik işlemleri özetlemektedir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Kök İçi Sadeleştirme | \sqrt{32} = 4\sqrt{2} | İfade: \sqrt{12 - 2\cdot 4\sqrt{2}} = \sqrt{12 - 8\sqrt{2}} |
| 2. Binom Karesi Yaklaşımı | (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2} biçiminde düşünüldü | a^2 + 2b^2 = 12 ve -2ab = -8 \implies ab = 4 |
| 3. Denklemlerin Çözümü | a^2 + 2\left(\frac{4}{a}\right)^2 = 12 → \quad X = a^2 \implies X^2 - 12X + 32 = 0 → X=8 veya X=4 | Seçilen a^2=4 \implies a=2,\ b=2 |
| 4. Karesini Karşılaştırma | (2 - 2\sqrt{2})^2 = 12 - 8\sqrt{2} | Tam örtüşme sağlandı |
| 5. “Ana Kök” Seçimi | $\sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2} = | ,2 - 2\sqrt{2}, |
| Sonuç | \sqrt{12 - 2\sqrt{32}} = 2\sqrt{2} - 2 |
7. Detaylı Sonuç ve Ek Açıklamalar
Yukarıdaki çözüm, kareköklü ifadelerin “binom karesi” şeklinde açılıp kapatılması yöntemiyle basitçe nasıl çözülebileceğini göstermektedir. Özetle:
- Kökü sadeleştirin (\sqrt{32} = 4\sqrt{2}).
- İçerideki sayısal kısmı (12) ve karekökli kısmı (-8\sqrt{2}) bir (a - b\sqrt{2})^2 veya (a + b\sqrt{2})^2 formuna eşitlemeye çalışın.
- Sistemi (a^2 + 2b^2 = 12 ve -2ab = -8) gibi iki denklemle çözün.
- Pozitif kök (ana karekök) için işarete dikkat edin.
Bu yaklaşım, cebirde radikallerin ve bileşik köklü ifadelerin çözümünde sıklıkla kullanılan, hem pratik hem güçlü bir tekniktir. Daha karmaşık ifadelerde de aynı prensipler geçerlidir; yalnızca sayıları ve köklü kısımları doğru eşleştirmek gerekir.
Son olarak, öğrencilerin sıklıkla yaptığı bir hata da, bu tür ifadeleri “karmaşık (kompleks) sayılar” ile karıştırmaktır. Oysa burada yalnızca reel aralıktaki “karekök” manipülasyonuyla ilgileniyoruz.
8. Kaynaklar ve Öneriler
- OpenStax veya Khan Academy gibi açık kaynaklı materyaller, radikal ifadelerin ve ikinci dereceden denklemlerin daha fazla örnekle incelenmesi için kullanışlıdır.
- Temel cebir ve analitik geometri kitapları, “köklü ifadelerin sadeleştirilmesi” konusunda geniş egzersizler sunar.
- Etüt ve Uygulama: Benzer problemlerde tekrar tekrar pratik yapmak, tüm bileşenleri rahatça tanımayı ve yöntemleri hızla uygulamayı sağlar.
Uzun Anlatımın Özeti
Bu soruda,
ifadesini sadeleştirmek için şu adımlar uygulanmıştır:
- Kareköklü Terimi Basitleştirme: \sqrt{32} = 4\sqrt{2} olduğu için ifade \sqrt{12 - 8\sqrt{2}} haline gelir.
- Binom Karesi Algılama: $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}’nin (2 - 2\sqrt{2})^2$’ye eşit olduğu bulunur.
- Ana Karekök Seçimi: (2 - 2\sqrt{2}) negatif değer verdiğinden, pozitif değer (2\sqrt{2} - 2) seçilir.
- Sonuç: Ana karekök\sqrt{12 - 2\sqrt{32}} = 2\sqrt{2} - 2şeklinde elde edilir.
Bu yöntem, cebirde radikallerin dönüştürülmesi ve basitleştirilmesinde sıklıkla kullanılan temel ilkelerin (kare sayıları dışarı çıkarma, binom kare açılımı, vs.) pratik bir örneğidir.