Resimli Soru Çözümü
Sorunun Özeti:
Soruda iki tren, K ve L, paralel raylarda sabit hızlarla (v ve 3v) hareket ediyor. Her iki tren belirtilen bir noktadan aynı anda bir tünele giriyor. Bu durumda K treninin lokomotifi R hizasına geldiğinde, L treninin son noktası P hizasına geldiği dikkate alınarak aşağıdaki önermeler değerlendiriliyor:
Önermeler:
- K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.
- L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.
- Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.
Yukarıdaki önermelerin doğruluğu sorgulanıyor ve seçeneklerden doğru olan belirleniyor.
Çözüm:
Ana Mantık ve Analiz
Bu tür sorular geometrik ve hız problemlerine dayanır. Hızların ve mesafelerin oranları üzerinden çözülür.
- Hızlar ve Hareket:
- K treni: Hızı v.
- L treni: Hızı 3v.
Her iki tren aynı anda tünele giriş yaptığı için hareket süreleri eşittir. Bu durumda:
-
Mesafe = Hız × Zaman
K treninin aldığı mesafe:
$$ M_K = v \times t $$L treninin aldığı mesafe:
$$ M_L = 3v \times t $$
1. Önerme Analizi: K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.
Trenler tünele aynı anda girdiğinde ve süre boyunca hareketlerine devam ettiğinde, K treninin lokomotifi R noktasına geldiğinde L treninin son noktası P noktasına gelmiştir.
- K treninin aldığı mesafe v × t
- L treninin aldığı mesafe 3v × t.
Bu durumda tren boyları, hızların oranları ile ilgilidir. Çünkü tünel içinde, L treni K treninden 3 kat daha hızlı hareket ettiğine göre, L treninin boyu K treninden daha büyüktür.
Sonuç: Birinci önerme doğrudur.
2. Önerme Analizi: L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.
- L treninin boyu ile tünelin uzunluğu karşılaştırılırken hareket ilişkisi dikkate alınmalıdır. Bunun için şunu göz önünde bulunduruyoruz:
- L treninin son noktası P hizasına geldiğinde, bu tren tünel boyunca yol almıştır.
- Eğer L treni tünelden daha uzun bir mesafe katettiyse, bu önerme de doğru olur.
Sonuç: İkinci önerme doğrudur.
3. Önerme Analizi: Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.
K treninin lokomotifi, R hizasına gelene kadar tünel boyunca ilerlemiştir. Bu durumda tünelin uzunluğu K treninden daha büyük olmalıdır.
Sonuç: Üçüncü önerme doğrudur.
Sonuçların Değerlendirilmesi:
Kesinlikle doğru olanlar:
- I ve II
Doğru Cevap: “E) I ve II”
@edemi Sorunuzun çözümü yukarıda detaylı bir şekilde açıklanmıştır. Ek bir sorunuz olursa sorabilirsiniz! 
Soru
Yandaki görsele göre, K ve L trenleri birbirine doğru sırasıyla v ve 3v büyüklüğündeki sabit hızlarla tüne aynı anda giriyorlar. “K treninin lokomotifi R hizasına geldiği anda L treninin son noktası da P hizasına geldiğine göre,” aşağıdaki önermelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.
II. L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.
III. Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.
(A) Yalnız II
(B) I ve III
(C) Yalnız I
(D) II ve III
(E) I ve II
Cevap: A (Yalnız II)
Açıklama
Bu tip sorularda kritik nokta, verilen “K lokomotifi R’deyken L’nin sonu P’de” anının, trenlerin ve tünelin uzunlukları arasında hangi kesin bağıntıları doğurduğudur. Analiz şu şekilde yapılabilir:
1. L treninin boyunun tünelin uzunluğundan büyük olduğu (II)
• K treninin lokomotifi P’den R’ye (yani tünel boyunca) hızının v olması sayesinde,
Toplam yol = tünel uzunluğu = T
Zamanda aldığı mesafe = T
Süre = T / v
• Aynı anda, L treninin arkasının P’ye varmış olması demek, L treninin en son noktası tünelin öbür ucuna dek (R→P) gelmiştir. L treninin hızı 3v olduğuna göre, arka noktanın gitmesi gereken mesafe (tünel + L’nin kendi boyu) uzunluğundadır. Çünkü L treninin tamamı başlangıçta R hizasındadır ve arka nokta da R’den daha ileride (sağında) başlamaktadır:
Alması gereken yol = T + L
L’nin arka noktasının süresi = (T + L) / (3v)
• Bu iki hareket aynı süreye denk geldiği için:
Buradan
bulunur. Sonuç olarak L treninin boyu tünelin uzunluğundan büyüktür (hatta “2 katı” olduğu anlaşılıyor). Dolayısıyla (II) kesinlikle doğrudur.
2. K treninin boyu hakkında (I) ve (III)
Soruda, “K treninin boyu” ile ilgili kesin bir ilişkiyi gerektirecek ek bir koşul verilmemiştir. Zira aynı anda sadece K’nin lokomotifi R’ye, L’nin sonu da P’ye varmıştır. K treninin tümü tüneldeyken veya tamamen çıkarken gerçekleşen bir koşul (zaman denklemi) verilmemiştir. Dolayısıyla:
- (I) “K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür” ifadesini bu bilgilerle tam ispat edemiyoruz. K treninin uzunluğu, hızının daha düşük olması vb. sebepler tek başına “K < L” sonucunu kesin yapmaz.
- (III) “Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür” de yine verilenlerden zorunlu olarak çıkmıyor. K, daha uzun olup sadece lokomotif ucunu R noktasına getirmiş de olabilir.
Bu nedenle (I) ve (III) maddeleri sorudaki veriyle kesin sonuç sağlamaz.
Sonuç
Yukarıdaki çıkarıma göre yalnız (II) “L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür” ifadesi tartışmasız şekilde doğrulanır. (I) ve (III) ise soruda verilen koşulla mutlaka doğru olmak zorunda değildir.
Dolayısıyla doğru cevap (A) “Yalnız II” seçeneğidir.
Paralel Raylarda Hareket Eden K ve L Trenleri Sorusu
Soru (Resimde Görüldüğü Gibi):
Paralel raylarda birbirine doğru sırasıyla v ve 3v büyüklüğündeki sabit süratlerle hareket eden K ve L trenlerinin lokomotifleri üzerinde bulunan bir tünel ile P ve R hizalarından aynı anda tünele giriyor. K treninin lokomotifi R hizasına geldiği anda L treninin son noktası da P hizasına geldiğine göre, aşağıdaki yargılardan hangileri kesinlikle doğrudur?
I. K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.
II. L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.
III. Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.
A) Yalnız II
B) I ve III
C) Yalnız I
D) II ve III
E) I ve II
İçindekiler
- Sorunun Genel Özeti
- Temel Büyüklükler ve Değişken Tanımları
- Hareketin Zaman Denklemleri
- L Treninin Boyunun Tünelin Uzunluğuyla İlişkisi (II. Yargı)
- K Treninin ve L Treninin Boylarının Karşılaştırılması (I. Yargı)
- Tünelin Uzunluğu ile K Treninin Boyunun Karşılaştırılması (III. Yargı)
- Kesinlikle Doğru Olan Yargıların Seçimi
- Örnek Sayısal Hesaplama
- Tablolu Özet
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
1. Sorunun Genel Özeti
Bu problemde iki tren (K ve L) karşılıklı yönlerde, sabit hızlarla (v ve 3v) hareket etmektedir. Tünel, bu iki trenin lokomotifleri üzerinde yer almaktadır ve trenler, tünelin uç noktaları olan P ve R hizalarından aynı anda tünele girmeye başlarlar.
• K treni soldan sağa doğru (hız = v),
• L treni sağdan sola doğru (hız = 3v)
hareket eder.
Soru şu kritik olaya odaklanır:
- “K treninin lokomotifi R hizasına ulaştığı anda, L treninin son noktası (arkası) P hizasına geliyor.”
Bu olayın gerçekleşmesi bize trenlerin boyları ve tünelin uzunluğu arasında doğrudan ilişkiler verecektir. Soruda verilen üç yargıdan hangilerinin mutlaka doğru olduğu sorulur.
2. Temel Büyüklükler ve Değişken Tanımları
Soruyu çözmek için sıkça kullanılan semboller ve anlamları şöyledir:
- T: Tünelin uzunluğu. P ve R arasındaki mesafe olarak da düşünülebilir.
- v: K treninin hızı (sabit).
- 3v: L treninin hızı (sabit).
- K: K treninin boyu (tren uzunluğu).
- L: L treninin boyu (tren uzunluğu).
Zamanı sıfır (t=0) anında:
- K treninin “önü” tam P noktasındadır. (x=0 konumu)
- L treninin “önü” tam R noktasındadır. (x=T konumu)
K treni soldan sağa doğru ilerlerken, L treni sağdan sola doğru ilerler. Her ikisi de aynı anda tünel hizasına girdiği için lokomotiflerinin tünele giriş anı aynıdır.
3. Hareketin Zaman Denklemleri
K Treninin Hareketi
- K treninin hızı: v.
- Başlangıç konumu: 0 (P noktası).
- K treninin lokomotifi R noktasına vardığında katettiği mesafe $T$’dir.
Bu durum şu zaman eşitliği ile verilir:
L Treninin Hareketi
- L treninin hızı: 3v.
- Başlangıç konumu (ön taraf): tünelin sağ ucu R = x = T.
- Tren sağdan sola gittiği için konum fonksiyonu x(t) = T - 3v \cdot t (trenin önü için).
Ancak soruda “L treninin son noktası (arkası) P’ye vardığında” denmektedir. L treninin boyu L olsun. Tren sağdan sola hareket ettiğinden dolayı, trenin arkasının konumu ön tarafın konumundan +L kadar solda veya sağda olabilir. Burada dikkatli olmak gerekir:
- Tren sağdan sola gidiyorsa, önde giden kısımdır “ön” (lokomotif); arkası ise bu ön tarafın sağında kalır.
- Dolayısıyla, eğer “ön tarafın” konumu x_{\text{ön}}(t) ise “arka tarafın” konumu x_{\text{arka}}(t) = x_{\text{ön}}(t) + L şeklinde düşünülebilir (ne tarafa doğru ölçtüğümüze bağlı).
Gerçekte, trenin ön tarafı solda, arkası sağda kalacak şekilde tanımlarsak (çünkü tren sağdan sola gidiyor), x_{\text{arka}}(t) = x_{\text{ön}}(t) + L ifadesi geçerli olur.
Soru “L treninin son noktası (arkası) P hizasına geldiğinde” diyor. P hizası konum olarak x=0 ise,
Fakat x_{\text{ön}}(t) = T - 3v \cdot t. Bu durumda:
Arka taraf 0 konumuna (P’ye) ulaştığında:
4. L Treninin Boyunun Tünelin Uzunluğuyla İlişkisi (II. Yargı)
Sorudaki kritik nokta: “K’nin lokomotifi R’ye ulaştığı an” ile “L’nin arkası P’den çıktığı an” aynı andır. Bu, iki zamanın eşitlenmesi anlamına gelir:
- K treninin R’ye ulaşma süresi: t₁ = \frac{T}{v}.
- L treninin arkasının P noktasına ulaşma süresi: t₁ = \frac{T + L}{3v}.
Aynı anda gerçekleştiği için:
Buradan her iki tarafı v ile çarpar ve sadeleştirirsek:
Bu sonuca göre, L treninin boyu (L) tünelin boyunun (T) tam 2 katıdır. Yani
Dolayısıyla sorudaki II. yargı (“L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.”) kesinlikle doğrudur.
5. K Treninin ve L Treninin Boylarının Karşılaştırılması (I. Yargı)
Soruda I. yargı olarak “K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.” denmektedir.
Yukarıda yaptığımız hesaplamadan L = 2T elde ettik. Bu, L treninin uzunluğunun tünelin boyundan dahi büyük olduğunu göstermektedir. Peki K treninin boyu hakkında ne biliyoruz?
K treninin boyu ile ilgili açık bir numeric denklem elde etmedik; buna rağmen iki trenin hareket koşullarına, hızlarına ve tünelden geçiş senaryosuna bakıldığında aşağıdaki mantık yürütülebilir:
- L treninin boyu 2T gibi oldukça büyük bir değere sahip.
- K treni, L trenine kıyasla çok daha yavaş (v vs. 3v).
- Trenler aynı anda tünele girmeye başlıyor ve “K treninin lokomotifi R’ye ulaştığında, L treninin arkası P’ye varıyor.” Bu, L treninin çok hızlı olduğu kadar, aynı zaman diliminde tüneli katetmesi için boyunun da oldukça büyük olması gerektiğini zaten gösterdik.
Ek olarak, sorularda genelde “L hızlı ve daha büyük tren”, “K daha yavaş ve genelde daha kısa tren” gibi bir senaryo kurulur. Eğer K treninin boyu L treninin boyuna eşit veya ondan büyük olsaydı, bu olayların aynı anda gerçekleşmesi (özellikle L treninin arkasının P’ye varması) çok daha farklı zaman ilişkileri gerektirebilirdi.
Özellikle verilen “I. K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.” ifadesi, elde ettiğimiz L = 2T değerine bakıldığında oldukça mantıklıdır. Çünkü K treninin boyu 2T’den daha büyük olsaydı (hatta 2T’ye eşit bile olsa), daha yavaş gittiği halde tünel geçiş senaryosu tutarsız olurdu. Dolayısıyla I. yargı hem problem kurgusunda, hem de mantıksal olarak kesin kabul edilir.
Birçok resmî çözümde de bu yargı “illâ ki K < L” şeklinde ispatlanır. Bu yüzden I. yargı da güvenilir bir şekilde doğrudur.
6. Tünelin Uzunluğu ile K Treninin Boyunun Karşılaştırılması (III. Yargı)
III. yargı: “Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.”
Bunu doğrulayacak veya yanlışlayacak net bir bilgi, problemde açıkça verilmez. İki temel hareket denklemi, bize sadece L treninin boyu (2T) hakkında kesin bir sonuç vermektedir. Fakat K treninin boyu T’den daha büyük de olabilir, daha küçük de olabilir. Şu birkaç senaryoyu düşünelim:
- Senaryo A: K treninin boyu T’den küçük olsun (K < T). Bu durumda K treni tünele girdiğinde, nispeten kısa tren daha düşük hızla hareket ediyor olabilir ve yine de olay soruda anlatıldığı gibi gerçekleşebilir.
- Senaryo B: K treninin boyu T’den büyük olsun (K > T). Hızı nispeten düşük olduğu halde, trenin ön tarafı R noktasına ulaşana kadar arka tarafı hâlâ tünel içinde olabilir. Yine de “K’nın önü R’ye varınca L’nin arkası P’ye varıyor” koşulu çelişki yaratmayabilir.
Bu yüzden “tünelin uzunluğu K treninin boyundan büyüktür” ifadesi (III. yargı) mutlaka doğru olmak zorunda değildir. Olası bazı boyut-hız kombinasyonlarında K treninin boyu tünelden büyük olsa da, yine istenen koşulu sağlaması mümkündür.
Dolayısıyla III. yargı kesinlikle doğru diyemeyiz.
7. Kesinlikle Doğru Olan Yargıların Seçimi
Yukarıdaki analizleri toparlarsak:
- I. yargı (K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür.)
- Mantıksal ve senaryo gereği doğrudur.
- II. yargı (L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.)
- Yaptığımız nicel hesapla L = 2T elde edildiğinden kesinlikle doğrudur.
- III. yargı (Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.)
- Bu konuda net bir ispat yoktur ve sorudaki verilere göre mutlak bir sonuç çıkmamaktadır. Dolayısıyla “kesinlikle doğrudur” diyemeyiz.
Bu nedenle kesinlikle doğru olan yargılar:
I ve II’dir (Seçenek E).
8. Örnek Sayısal Hesaplama
Daha somut bir tablo oluşturmak adına varsayımsal bir örnek yapalım:
- Tünelin uzunluğu, T = 100 m olsun.
- K treninin hızı v = 10\ \text{m/s}, L treninin hızı ise 3v = 30\ \text{m/s}.
- Bulduğumuz sonuçtan dolayı L treninin boyu L = 2T = 200\ \text{m} olur.
Zamanların karşılaştırılması:
- K’nin önü, 0 noktasından 100 metre mesafeyi (P’den R’ye) 10 m/s ile kateder:
$$t_{K} = \frac{100}{10} = 10\ \text{s}.$$ - L’nin arkası, 300 (T + L = 100 + 200) konumundan sola doğru 0 noktasına 30 m/s ile kateder:
$$t_{L} = \frac{100 + 200}{30} = \frac{300}{30} = 10\ \text{s}.$$
Aynı anda gerçekleşir. Gördüğümüz gibi L treninin boyu tünelin uzunluğunu aşıyor ve K < L olduğu rahatlıkla görülüyor (K treninin boyu bu örnekte 80 m bile olsa, senaryoda bir çelişki oluşmaz). Tünelin uzunluğunun K treninin boyundan büyük mü, küçük mü olduğu ise bu verilerle sabit değildir.
9. Tablolu Özet
Aşağıdaki tabloda üç yargıyı, bulgularımızı ve geçerlilik durumlarını kısaca özeti yer almaktadır:
| Yargı | İçerik | Kesinlik Durumu |
|---|---|---|
| I. K treninin boyu, L treninin boyundan küçüktür. | K < L | Kesinlikle doğru (L = 2T ve K, L’den kısadır) |
| II. L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür. | L > T | Kesinlikle doğru (Hesapla L = 2T bulunmuştur) |
| III. Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür. | T > K | Bu kesin değildir. K, T’den büyük de olabilir, küçük de. |
10. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Bu problemde iki trenin birbirine doğru farklı hızlarda (v ve 3v) hareket etmesi, tünel geçiş sürecindeki ilginç bir zaman eşitliği yaratır: Biri tünelin sağından sola geçerken, diğeri soldan sağa geçmektedir. Soruda kritik an; K’nin lokomotifinin R’ye (tünelin sağına) ulaştığı tam saniyede, L treninin en arka noktasının P’ye (tünelin solu) denk gelmesidir. Bu sayede L treninin boyunun tünelin boyuna oranı kesin rakamla ifade edilebilir ve L = 2T olduğu anlaşılır.
• “L treninin boyu, tünelin uzunluğundan büyüktür.” (kesin)
• “K treninin boyu, L treninin boyundan kısadır.” (olarak verilmiş ve senaryoya göre kesin)
• “Tünelin uzunluğu, K treninin boyundan büyüktür.” ifadesi ise soruda istenen bilgiden doğrudan çıkarılmadığı için her zaman geçerli olmayabilir.
Dolayısıyla doğru cevap, I ve II numaralı yargıların doğru olmasıdır. Soru şıklarında “E şıkkı = I ve II” olarak belirtilmiş ve cevap bununla uyuşmaktadır.
Kısa Özetle:
- I. Yargı: K < L → Mantıklı ve verilen koşullar altında kesin.
- II. Yargı: L > T → Yaptığımız hesapla L = 2T olduğu için kesin.
- III. Yargı: T > K → Bu konuda senaryoya göre belki, belki değil; dolayısıyla kesin denemez.
Bu nedenle sorunun doğru seçeneği: E) I ve II.