ABDC noktalarindan olusan bir ucgen vardir.Bu ucgenin tabani 13 cm yukseklik 8 cmdir.Ama 5cmnjn yuksekligi yoktur.Yukaridaki bilgilere gore ADC ucgeninin alani ABD ucgenin alanindan kac cm buyuktur?
Sorunuzun Netleştirilmesi ve Çözüm:
Ada Göktekin, verdiğiniz soruya dayanarak cevabı şu şekilde yönlendirebiliriz:
Soruda ABDC noktalarından oluşan bir şekil içindeki üçgenlere dair bilgiler verilmiş. Şimdi daha net bir çözüm sağlayalım:
Verilen Bilgiler:
- ABD üçgeninin tabanı: 13 cm
- ABD üçgeninin yüksekliği: 8 cm
Bu bilgilere göre ABD üçgeninin alanı hesaplanabilir.
- ADC üçgeninde tabanın uzunluğu 5 cm olarak verilmiş, ancak yüksekliği verilmemiş.
ABD Üçgeninin Alanını Hesaplama Formülü:
Alan formülü şöyledir:
Alan = \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2}
Hesaplama:
ABD üçgeninin alanı:
Alan_{ABD} = \frac{13 \cdot 8}{2} = \frac{104}{2} = 52 \, \text{cm}^2
ABD üçgeninin alanı 52 cm² bulunmuştur.
ADC Üçgeninin Alanı:
ADC üçgeni için:
Şeklin geometrisine ilişkin eksik yükseklik nedeniyle net bir hesaplama yapılamaz. Ancak ADC üçgeninin yüksekliğinin başka bir yerde verilmiş veya ek bilgi olduğunda, benzer yöntemle alanı bulabiliriz.
Eğer ADC yükseklik bilgisi varsa:
Alan_{ADC} = \frac{\text{Taban}_{ADC} \cdot \text{Yükseklik}_{ADC}}{2}
Eğer ADC yükseklik bilgisi ve geometrik pozisyonunuzu tekrar paylaşırsanız çözüm tamamlanabilir. Daha fazla detay eklemek için iletişime geçebilirsiniz! 
ABDC noktalı bir trapez ve iki üçgenin alan farkı
Soru:
ABDC noktalarından oluşan bir şekil vardır. Bu şekilde alt taban 13 cm, üst taban 5 cm ve yükseklik 8 cm’dir. Buna göre, köşegen AD çizildiğinde oluşan üçgenlerden ADC üçgeninin alanı, ABD üçgeninin alanından kaç cm² daha büyüktür?
Cevap:
Bu tip sorularda, ABCD bir trapez ise ve AD köşegeni çekildiğinde trapez iki üçgene ayrılır:
- ABD üçgeni
- ADC üçgeni
Aşağıdaki adımlarla çözüm yapabiliriz:
1) Trapezin Alanını Bulma
Bir trapezin alanı,
\text{Alan} = \frac{( \text{üst taban} + \text{alt taban} )}{2} \times (\text{yükseklik})
formülüyle hesaplanır.
• Üst taban (AB) = 5 cm
• Alt taban (DC) = 13 cm
• Yükseklik (h) = 8 cm
Dolayısıyla trapezin alanı:
\text{Alan}_{ABCD}
= \frac{(5 + 13)}{2} \times 8
= \frac{18}{2} \times 8
= 9 \times 8
= 72 \text{ cm}^2
2) Köşegenin Trapezi İkiye Bölmesi ve Alan Oranı
Trapezde AD köşegeni çizilince trapez iki üçgene ayrılır:
- ΔABD
- ΔADC
Bir trapezin köşegeni, iki üçgenin alanlarını tabanların oranında böler. Burada tabanlar AB (5 cm) ve DC (13 cm) olmak üzere:
\frac{\text{Alan}(ABD)}{\text{Alan}(ADC)}
= \frac{AB}{DC}
= \frac{5}{13}
Buna göre,
- Alan(ABD) = 5k
- Alan(ADC) = 13k
Ve toplam alanları trapezin alanına eşittir:
5k + 13k = 72 \quad \Rightarrow \quad 18k = 72 \quad \Rightarrow \quad k = 4
3) Üçgenlerin Alanlarını Bulma
• ABD üçgeninin alanı: 5k = 5×4 = 20 cm²
• ADC üçgeninin alanı: 13k = 13×4 = 52 cm²
4) İstenen Alan Farkı
Soru, “ADC üçgeninin alanı, ABD üçgeninin alanından kaç cm² büyüktür?” diye sorduğu için:
\text{Fark}
= \text{Alan}(ADC) - \text{Alan}(ABD)
= 52 - 20 = 32 \text{ cm}^2
Bu durumda, ADC üçgeninin alanı ABD üçgeninin alanından 32 cm² daha büyüktür.
ada_goktekin said ABDC noktalarindan olusan bir ucgen vardir.Bu ucgenin tabani 13 cm yukseklik 8 cmdir.Ama 5cmnin yuksekligi yoktur.Yukaridaki bilgilere gore ADC ucgeninin alani ABD ucgenin alanindan kac cm buyuktur?
Cevap:
Aşağıdaki kapsamlı yanıtta, soruda bahsedilen verileri kullanarak iki üçgenin alanlarını hesaplayacağız ve sonunda ADC üçgeninin alanının ABD üçgeninin alanından kaç cm² daha fazla olduğunu adım adım ortaya koyacağız. Bu işlem, genellikle “paralel kenarlar içeren bir dörtgenin köşegenle bölünmesi” mantığına dayanan klasik bir geometri problemidir. Soruda ipuçlarından yola çıkarak (13 cm ve 5 cm olmak üzere iki farklı kenarın paralel olduğu ve yüksekliğin 8 cm olduğu) bir trapez (yamuk) yapısı sezilmektedir. Bu trapez, köşegen yardımıyla iki üçgene bölünüyor ve bizden bu iki üçgenin alan farkını bulmamız isteniyor.
Bu kapsamlı açıklamada:
- Trapez yapısını tanımlayacağız,
- Üçgenlerin alanlarını bulmak için gerekli formülleri anlatacağız,
- Verilen 13 cm, 5 cm ve 8 cm’lik ölçülerin nasıl kullanıldığını adım adım göstereceğiz,
- Son olarak bir özet tabloyla sonucu netleştireceğiz,
- 1000 kelimeden uzun, detaylı bir anlatım sunacağız.
Yazının sonunda, hem adım adım çözüm özetlenmiş olacak hem de ADC üçgeni ile ABD üçgeni arasındaki alan farkı net biçimde ortaya çıkacaktır.
İçindekiler
- Genel Bakış
- Trapez ve Köşegen Kavramı
- Temel Geometri Bilgileri
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Sayısal İşlem ve Formüller
- Özet Tablo
- Sık Yapılan Hatalar
- Konuyla İlgili Ek Notlar ve İpuçları
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Genel Bakış
Soruda “ABDC noktalarından oluşan bir üçgen” ifadesi göze çarpsa da, aslında burada büyük ihtimalle ABCD adında bir dörtgen (muhtemelen trapez/yamuk) kastedilmektedir. Bir trapezde (yamukta), iki kenar birbirine paraleldir ve yükseklik (8 cm) bu paralel kenarlar arasındaki dik uzaklığı temsil eder. İki paralel kenardan biri 13 cm, diğeri ise 5 cm olarak verildiğinde, trapezin alanını kolay bir formülle hesaplayabiliriz:
\text{Trapez Alanı} = \frac{( \text{paralel kenar 1} + \text{paralel kenar 2}) \times \text{yükseklik}}{2}.
Eğer bu trapez, köşegen yardımıyla iki üçgene bölünürse, bu üçgenlerin alanları, paralel kenarların uzunluklarıyla orantılıdır. Soruda “ABD üçgeni” ve “ADC üçgeni” geçmekte, dolayısıyla köşegenin genellikle “A” ile “C” veya “B” ile “D” arasında çizildiği bir düzen söz konusudur.
Belirgin şekilde, 13 cm ve 5 cm kenarların uzunlukları ve 8 cm yükseklik, trapezin tüm alanını (yani hem ABD hem de ADC üçgenlerinin ortak toplam alanını) hesaplamak için yeterlidir. Sonrasında, bu iki üçgenin alan oranı, paralel kenarların uzunluklarının oranı ile belirlenir.
2. Trapez ve Köşegen Kavramı
Bir trapez (veya yamuk), iki karşılıklı kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere verilen isimdir. Bu paralel kenarlar genellikle şu şekilde gösterilebilir:
- AB: alt kenar
- DC: üst kenar
ve bunlar birbirine paraleldir: AB ∥ DC.
Köşegen, trapezin iki zıt köşesini birleştiren doğru parçasıdır. Bu problemde, ABD ve ADC isimlerine bakacak olursak, trapezdeki köşeler A, B, C, D şeklinde sıralanır ve büyük ihtimalle köşegen AC veya BD ile trapez iki parçaya ayrılır.
Eğer ABD ve ADC üçgenlerinden bahsediliyorsa, köşegenin AD olması ilk bakışta garip gelebilir; çünkü A–D kenarı trapezin sol ya da sağ kenarı olarak düşünülebilir. Ancak, çoğu zaman harf sıralaması standardın dışında da yapılabilmektedir. Temel konu, trapezde paralel kenarların 13 cm ile 5 cm olduğu ve yükseklik 8 cm olduğu bilgisini kullanmaktır.
Gerçekte hangi köşeler birleştirilirse birleştirilsin, iki üçgenin alanı trapezin alanını paylaşır ve alanlar, trapezin paralel kenarlarının sürüklediği bir orantıya dönüşür.
3. Temel Geometri Bilgileri
3.1. Üçgenin Alanı
Bir üçgenin alanını bulmak için en temel formül:
\text{Üçgen Alanı} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}.
Bu formül, tabana ait sabit yükseklikten (dik uzaklık) faydalanır.
3.2. Trapezin Alanı
İki kenarı paralel olan bir trapezin alanı:
\text{Alan} =
\frac{(\text{paralel kenar 1} + \text{paralel kenar 2}) \times \text{yükseklik}}{2}.
Bu problemde:
- Paralel kenar uzunlukları = 13 cm ve 5 cm,
- Yükseklik = 8 cm.
3.3. Köşegenle İkiye Bölünme
Trapezin bir köşegenle iki üçgene ayrılması durumunda, bu iki üçgenin alanları, paralel kenar uzunluklarının oranında bölüşülür. Şöyle ki, eğer bir trapezin paralel kenarları a ve b ise, köşegen çizildiğinde oluşan üçgenlerin alanları sırasıyla a / (a + b) ve b / (a + b) oranında trapezin toplam alanını oluşturur.
4. Adım Adım Çözüm
4.1. Trapez Alanı Hesaplama
- Paralel kenar 1 (DC): 13 cm
- Paralel kenar 2 (AB): 5 cm
- Yükseklik (h): 8 cm
Öncelikle, trapezin alanını bulalım:
\text{Trapezin Alanı} = \frac{(13 + 5) \times 8}{2}
= \frac{18 \times 8}{2}
= \frac{144}{2}
= 72 \text{ cm}^2.
Bu 72 cm², trapez ABCD’nin toplam alanıdır.
4.2. İki Üçgene Bölünme ve Oranlar
Trapezin bir köşegeni (hangi köşegen olduğuna bağlı olmaksızın, doğru isimlendirmeyle) çizildiğinde iki üçgen elde edilir. Bu üçgenler, soruda isimleri geçen ABD ve ADC üçgenleridir. Paralel kenarlar 13 cm ve 5 cm olduğundan, bu iki üçgenin alanları arasındaki oran, sırasıyla 13:5 veya 5:13 şeklinde kendini gösterir.
Örneğin, üst kenar 13 cm ise ve alt kenar 5 cm ise, köşegenin konumuna bağlı olarak:
- Bir üçgen, daha uzun kenarı (“13 cm” lik tarafı) taban kabul eden bölümle ilişkili olur.
- Diğer üçgen, daha kısa kenar (“5 cm” lik tarafı) taban kabul eden bölümle ilişkili olur.
Bu orantı prensibi, trapezdeki köşegenin oluşturduğu üçgenlerin yüksekliği aynı olduğu için (köşegenin paylaştığı yükseklik bakımından) taban uzunluklarının oranının, alanlar oranına yansıması kuralından kaynaklanır.
4.3. ABD Üçgeninin Alanı
Kısa kenara (5 cm) bağlı üçgeni düşünelim. Trapezin toplam alanından, orantı gereği:
- Kısa kenara bağlı üçgenin alanı =\text{Trapezin Alanı} \times \frac{5}{(13 + 5)} = 72 \times \frac{5}{18} = 72 \times \frac{5}{18} = 72 \times 0{,}2777... = 20 \text{ cm}^2.
Bir ufak kontrol: \frac{5}{18} yaklaşık 0,2777’dir ve 72 ile çarpıldığında 20 sonucunu verir. Bu, ABD üçgeninin alanı olabilir. (Tabii hangi kenara hangi üçgenin ait olduğunu saptamak için harf sırası önemlidir; ama neticede sayısal değer olarak üçgenlerden birinin alanı 20 cm² oluyor.)
4.4. ADC Üçgeninin Alanı
Uzun kenara (13 cm) bağlı üçgenin alanı da benzer orantı mantığıyla bulunur:
- Uzun kenara bağlı üçgenin alanı =\text{Trapezin Alanı} \times \frac{13}{(13 + 5)} = 72 \times \frac{13}{18} = 72 \times 0{,}7222... = 52 \text{ cm}^2.
Yine kontrol edersek: $\frac{13}{18} \approx 0,7222’dir ve 72 ile çarpıldığında 52 elde edilir. Bu da ADC üçgenine karşılık gelen alan olabilir.
4.5. Alan Farkının Hesaplanması
Son olarak, problemde istenen, ADC üçgeninin alanının ABD üçgeninin alanından kaç cm² büyük olduğudur. Bulduğumuz değerlere göre:
- ABD üçgeni alanı = 20 cm²,
- ADC üçgeni alanı = 52 cm².
Fark = 52 – 20 = 32 cm².
Dolayısıyla ADC üçgeni, ABD üçgeninden 32 cm² daha büyüktür.
5. Örnek Sayısal İşlem ve Formüller
Aşağıdaki tabloda, problemde kullandığımız temel formülleri tekrar özetleyelim ve sayısal değerleri bir bakışta görelim:
-
Trapez Alanı Formülü:
\text{Trapez Alanı} = \frac{(a + b) \times h}{2} -
Üçgen Alan Oranı (Köşegenle Bölme):
- Üçgen 1 alanı: A \times \dfrac{a}{a + b}
- Üçgen 2 alanı: A \times \dfrac{b}{a + b}
Burada A, trapezin tamamının alanı; a ve b paralel kenarların uzunlukları; h ise trapezin yüksekliğidir.
-
Alan Farkı:
- \Delta = \text{(Büyük Üçgen Alanı)} - \text{(Küçük Üçgen Alanı)}
Bu problemde:
- a = 13 cm,
- b = 5 cm,
- h = 8 cm,
- A = 72 cm² (trapezin tüm alanı).
İlgili hesaplamalarda:
- Küçük üçgen (ABD): 72 \times \dfrac{5}{18} = 20 cm²,
- Büyük üçgen (ADC): 72 \times \dfrac{13}{18} = 52 cm²,
- Fark: 52 - 20 = 32 cm².
6. Özet Tablo
Yapılan tüm işlemleri tek bir tablo halinde özetleyelim:
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Trapez Verileri | Paralel kenarlar: 13 cm ve 5 cm Yükseklik: 8 cm |
- |
| 2. Trapez Alanı Hesaplama | \text{Alan} = \frac{(13 + 5) \times 8}{2} | 72 cm² |
| 3. İki Üçgene Bölünme Oranı | Oran = 13 : 5 (toplam 18’e karşılık gelir) | - |
| 4. ABD Üçgeni Alanı | 72 \times \dfrac{5}{18} | 20 cm² |
| 5. ADC Üçgeni Alanı | 72 \times \dfrac{13}{18} | 52 cm² |
| 6. Alan Farkı (ADC - ABD) | 52 - 20 | 32 cm² |
Tabloda da görüldüğü üzere, ADC üçgeninin alanı, ABD üçgenin alanından 32 cm² fazladır.
7. Sık Yapılan Hatalar
- Yanlış Kenarı Paralel Kabul Etme: Bazı öğrenciler, trapezin hangi kenarlarının paralel olduğunu karıştırıp hatalı orana gidebilir.
- Yüksekliği Yanlış Kullanma: 8 cm yüksekliği, bazen üçgenin başka bir yüksekliği zannedip doğru sonuca ulaşamama hatası yapılabilir.
- Oranlama Hatası: Köşegenin oluşturduğu üçgenlerin alanları, paralel kenarların uzunluğunun doğrudan oranı olduğu unutulabilir.
- Eksik veya Fazla Kenar Bilgisi Kullanma: “5 cm’nin yüksekliği yoktur” gibi cümleler, öğrencileri bazen kafasını karıştıracak şekilde yanıltabilir. Aslında problemde verilmek istenen, 5 cm ile 13 cm’nin aynı hizada olmadığını, trapez şeklinde bir düzene işaret ettiğidir.
8. Konuyla İlgili Ek Notlar ve İpuçları
- Trapezde Diğer Köşegen: Eğer B ile D köşesi arasında köşegen çizilseydi de alanlar yine aynı orana göre paylaştırılırdı; sadece isimlendirmeler değişebilirdi.
- Denetim Yöntemi: Eğer her iki üçgenin alanlarını bulduktan sonra toplarsanız (20 + 52 = 72), trapezin toplam alanına eşit çıkması gerekir. Bu, çözümün tutarlı olduğunu gösterir.
- Paralel Kenarların Uzunluğu = Eş Kaynaklı Üçgen Alanı: Aynı yükseklik paylaşıldığı sürece, üçgenin alanı tabanla doğru orantılı olarak değişir. Bu problemde en temel anahtar fikir budur.
- İşlem Kolaylığı: 13 + 5 = 18 gibi sayılar, 72 (trapez alanı) ile rahat bölünebilmektedir. Bu da sonucun kolayca tam sayılar olarak çıkmasını sağlar.
9. Sonuç ve Kısa Özet
Bu problemde bize, iki paralel kenarı 13 cm ve 5 cm, yüksekliği 8 cm olan bir trapez verildiğini ve trapezin köşegenle iki üçgene bölündüğünü gösteren/ima eden bilgiler verilmektedir. Soru, ADC üçgeninin alanının ABD üçgeninin alanından ne kadar daha büyük olduğunu sormaktadır.
- Öncelikle trapezin toplam alanı hesaplanır:\frac{(13 + 5) \times 8}{2} = 72 \text{ cm}^2.
- Ardından, trapezdeki iki üçgenin alanlarının oranı (13 : 5) kullanılarak her bir üçgenin alanı bulunur:
- Kısa kenarla ilişkili üçgen (ABD) = 20 cm²,
- Uzun kenarla ilişkili üçgen (ADC) = 52 cm².
- İstenen fark: 52 – 20 = 32 cm²’dir.
Dolayısıyla, ADC üçgeni, ABD üçgeninden 32 cm² daha büyüktür. Bu sonuç, tüm mantıksal ve matematiksel adımların kontrolüyle tutarlı görünmektedir.
Özet: Sorunun cevabı 32 cm²’dir.