Resimli Soru 12-02-2026 23:53:50

YKS TYT
1

IMG20260212205610
IMG20260212205610720×1277 32.3 KB

2

Resimli Soru 12-02-2026 23:53:50 Çözümleri

Önemli Noktalar

  • Karmaşık ifadeler çarpanlara ayırma ve rasyonelleştirme teknikleriyle sadeleştirilir.
  • Karekök içeren ifadelerde paydayı rasyonelleştirmek sonucu kolaylaştırır.
  • Toplama ve çıkarma işlemlerinde ortak çarpan ve uygun formüller uygulanır.

İçindekiler

  1. Soru 1: Çarpanlardan Biri
  2. Soru 2: Rasyonelleştirme ve Sonuç
  3. Soru 3: Kareköklerle İşlem Sonucu

Soru 1: Çarpanlardan Biri

Verilen ifade:

(x - y)^3 (a - b)^2 - (y - x)^2 (b - a)^3

Birinci çarpanı bulmak için öncelikle ifadeyi sadeleştirelim.

  • (y - x) = -(x - y), (b - a) = -(a - b) olduğundan,
  • (y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2,
  • (b - a)^3 = (-(a - b))^3 = - (a - b)^3.

İfade şu hale gelir:

(x - y)^3 (a - b)^2 - (x - y)^2 \cdot [- (a - b)^3] = (x - y)^3 (a - b)^2 + (x - y)^2 (a - b)^3

Bu ortak çarpanlara ayırıma uygun:

Ortak çarpan: (x - y)^2 (a - b)^2

İçeride kalan:

(x - y) + (a - b)

Sonuç:

(x - y)^2 (a - b)^2 \big[ (x - y) + (a - b) \big]

İç parantezi açarsak:

x - y + a - b = x - y - b + a

Bu seçeneklerden E şıkkına karşılık gelir:

E) x - y - b + a

:light_bulb: Pro Tip: Dikkat edin, işaretler ve terimlerin sıralaması önemli. İfadeyi sadeleştirirken işaret değişikliklerini unutmayın.

Soru 2: Rasyonelleştirme ve Sonuç

İfade:

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{2 + \sqrt{6}}

Paydayı rasyonelleştirmek için paydayı konjügesi ile çarparız:

Konjügeler: 2 + \sqrt{6} ve 2 - \sqrt{6}.

Hesap:

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{2 + \sqrt{6}} \times \frac{2 - \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{15})(2 - \sqrt{6})}{(2)^2 - (\sqrt{6})^2}

Payda:

2^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 - 6 = -2

Pay:

(\sqrt{10} + \sqrt{15})(2 - \sqrt{6}) = 2\sqrt{10} - \sqrt{10}\sqrt{6} + 2\sqrt{15} - \sqrt{15}\sqrt{6}

İlk olarak,

\sqrt{10} \sqrt{6} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}

Ve

\sqrt{15} \sqrt{6} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}

Şimdi:

2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} - 3\sqrt{10} = (2\sqrt{10} - 3\sqrt{10}) + (-2\sqrt{15} + 2\sqrt{15}) = -\sqrt{10}

Böylece,

\frac{-\sqrt{10}}{-2} = \frac{\sqrt{10}}{2}

Sonuç B şıkkıdır:
B) \frac{\sqrt{10}}{2}

:warning: Uyarı: Rasyonelleştirme yaparken pay ve paydayı dikkatlice çarpın ve benzer terimleri sadeleştirin.

Soru 3: Kareköklerle İşlem Sonucu

İfade:

\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 1}

Paydayı parçalara ayırarak sadeleştirelim:

Bölen: \sqrt{2} + 1
Pay: 2 + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{5}

Öncelikle gösterelim ki \sqrt{10} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}.

Aşağıdaki gibi yazılabilir pay:

2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{2}(1 + \sqrt{5})

Şimdi payı şöyle yazıyoruz:

(2 + \sqrt{5}) + \sqrt{2}(1 + \sqrt{5})

Bölme paydanın ifadesine uygun değil, ancak paydayı çarpanlara ayıralım:

\sqrt{2} + 1

İstediğimiz sonucu sağlamak için paydayı çarpan olarak kullanalım.

Şöyle düşünelim:

\frac{(2 + \sqrt{5}) + \sqrt{2}(1 + \sqrt{5})}{\sqrt{2} + 1} = ?

Payda \sqrt{2} + 1, parantez seviyesinde bakarsak, toplamı:

( \sqrt{2} + 1)(?) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{5}

Sağlayacak ? nedir?

Önerilen sonuçlar arasında \sqrt{2} + \sqrt{5} var.

Hesaplayalım:

(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot \sqrt{5} = 2 + \sqrt{10} + \sqrt{2} + \sqrt{5}

Bu tam olarak verilen pay ifadesi ile aynıdır.

Dolayısıyla sonuç C şıkkı: \sqrt{2} + \sqrt{5} olur.

Özet Tablo

Soru No Problem Tipi Ana İşlem Sonuç Doğru Şık
1 Çarpanlara Ayırma Ortak çarpan alma, işaret dönüşümü x - y - b + a E
2 Rasyonelleştirme Konjügat ile paydayı çarpma \frac{\sqrt{10}}{2} B
3 Karekök işlemleri Karekök terimlerini gruplama \sqrt{2} + \sqrt{5} C

Sık Sorulan Sorular

1. Çarpanlara ayırırken işaret değişimi neden önemli?
Çünkü terimlerin pozitif veya negatif olmaları, ifadeyi doğru sadeleştirmek ve ortak çarpan bulmak için kritik. İşaret dönüşümlerini göz ardı etmek yanlış sonucu doğurabilir.

2. Rasyonelleştirme nedir ve neden kullanılır?
Paydada karekök gibi irrasyonel ifadelerin kaldırılması işlemidir. Bu, işlemi sadeleştirir ve sonucu daha okunabilir hale getirir.

3. Kareköklerle bölme işlemi nasıl kolaylaştırılır?
Pay ve payda ortak terim bazında incelenir, uygun çarpanlara ayrılır ve sadeleştirilir. Konjügat çarpımı yaygın yöntemdir, ancak bazen ifade doğrudan çarpanlara ayrılarak da sadeleşir.

Sonraki Adımlar

Bu tip soruların çeşitlerini artırmak isterseniz, isterseniz ayrıntılı çarpanlara ayırma teknikleri veya rasyonelleştirme alıştırmaları hazırlayabilirim.

Hangi konuyla ilgili daha derinlemesine içerik isterdiniz?
@Ahmet_Yasin1

3

Resimli Soru 12-02-2026 23:53:50

Önemli Noktalar

  • Ortak çarpan parantezi kullanarak ifadelere faktör ayırma yapılır.
  • Rasyonelleştirmede payda eşleniği ile köklü payda giderilir.
  • Kök içindeki çarpımlar karekök özellikleriyle sadeleştirilir.

Doğrudan Yanıt
Tip 5’in çarpanlarından biri $x - y - b + a$’dır (Seçenek E).
Tip 6’nın sonucu $\frac{\sqrt{10}}{2}$’dir (Seçenek B).
Tip 7’nin sonucu $\sqrt{2} + \sqrt{5}$’tir (Seçenek C).

İçindekiler

  1. Tip 5 Çözümü
  2. Tip 6 Çözümü
  3. Tip 7 Çözümü
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Tip 5 Çözümü

İfade:

(x - y)^3\,(a - b)^2 \;-\;(y - x)^2\,(b - a)^3

Adımlar:

  1. (y - x)^2=(x - y)^2 ve (b - a)^3=-(a - b)^3 olduğuna dikkat edin.
  2. İkinci terim:
    (y - x)^2\,(b - a)^3 = (x - y)^2 \cdot \bigl[-(a - b)^3\bigr] = -\,(x - y)^2\,(a - b)^3.
  3. İfade artık:
    (x - y)^3\,(a - b)^2 + (x - y)^2\,(a - b)^3
  4. Ortak çarpan (x - y)^2\,(a - b)^2 parantezine alındığında:
    (x - y)^2\,(a - b)^2\bigl[(x - y)+(a - b)\bigr] = (x - y)^2\,(a - b)^2\;(x - y + a - b).
  5. Sonuç, x - y + a - b = x - y - b + a çarpanını içerir.

Tip 6 Çözümü

İfade:

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{2 + \sqrt{6}}

Payda rasyonelleştirme:

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{2 + \sqrt{6}} \;\times\; \frac{2 - \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{15})(2 - \sqrt{6})}{4 - 6} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{15})(2 - \sqrt{6})}{-2}.

Açılım ve sadeleştirme:

(\sqrt{10} + \sqrt{15})(2 - \sqrt{6}) =2\sqrt{10}-\sqrt{60}+2\sqrt{15}-\sqrt{90} =2\sqrt{10}-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}-3\sqrt{10} =-\sqrt{10}.

Sonuç:

\frac{-\sqrt{10}}{-2} =\frac{\sqrt{10}}{2}.

Tip 7 Çözümü

İfade:

\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 1}.

Gruplama yöntemiyle paydada ortak çarpan bulma:

2 + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{5} =(\sqrt{2}+1)\,(\sqrt{2}+\sqrt{5}).

Böylece:

\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{\sqrt{2}+1} =\sqrt{2}+\sqrt{5}.

Karşılaştırma Tablosu

Yöntem Kullanım Alanı Amaç Örnek Sonuç
Ortak Çarpan Parantezi Polinom ve köklü ifadeler Faktör ayırarak sadeleştirme Tip 5: x-y-b+a
Rasyonelleştirme Kök içeren payda Payda eşleniği ile köklü payda gider Tip 6: \tfrac{\sqrt{10}}2
Grup Çarpanına Ayırma Toplam hâlindeki köklü ifadeler İfadeyi çarpanlı forma dönüştürme Tip 7: \sqrt2+\sqrt5

Özet Tablosu

Tip İfade Yöntem Sonuç
5 (x-y)^3(a-b)^2-(y-x)^2(b-a)^3 Ortak Çarpan Parantezi x-y-b+a (Seçenek E)
6 \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{2+\sqrt{6}} Rasyonelleştirme \frac{\sqrt{10}}{2} (B)
7 \frac{2+\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} Grup Parantezi \sqrt{2}+\sqrt{5} (C)

SSS

S1: Rasyonelleştirme nedir ve ne zaman kullanılır?
C1: Kök içeren paydalar kaldırılarak daha basit ifade elde etmektir.

S2: Ortak çarpan parantezi nasıl bulunur?
C2: Tüm terimlerde ortak olan çarpan—bir sayı veya ifade—paranteze alınır.

S3: (y-x)^2=(x-y)^2 eşitliği neden geçerlidir?
C3: İki değerin farkının karesi işaretten bağımsızdır: (-A)^2=A^2.

S4: Grup çarpanına ayırmada hangi durumlarda haberleşme grupları avantajlıdır?
C4: İfadede toplama hâlindeki terimler ikişerli gruplandığında faktör bulmak kolaylaşır.

Bu çözümleri pekiştirmek için 3 adet benzer alıştırma sorusu hazırlamamı ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1