Resimli Soru 12-02-2026 23:18:29 Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilen sayının, belirtilen sayıların sayı doğrusu üzerindeki uzaklıkları toplamı 13·a birimdir.
- Sayılar 16⁴, 4⁷, 16⁵, 32³ olarak veriliyor.
- Amaç, bu uzaklıkları sağlayan a değerini bulmaktır.
- Üs ifadeler tabanlarına indirgenerek işlem kolaylaştırılır.
Soru Restatement
16^4 sayısının sayı doğrusu üzerinde, 4^7, 16^5 ve 32^3 sayılarına uzaklıkları toplamı 13 \cdot a birimdir. Buna göre a kaçtır?
Çözüm Adımları
Öncelikle tüm sayıları 2 tabanına indirgemek işleri kolaylaştıracaktır çünkü verilen tabanlar 2’nin kuvvetleridir.
- 16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}
- 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}
- 16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}
- 32^3 = (2^5)^3 = 2^{15}
Soruya göre, sayı doğrusunda bilmediğimiz bir sayı x var (burada x = 16^4 = 2^{16}), ve x’in belirtilen sayılara uzaklıkları toplamı 13 \cdot a’dır:
Değerleri yerine koyarsak:
Şimdi mutlak değerleri hesaplayalım:
- |2^{16} - 2^{14}| = 2^{14} (2^2 - 1) = 2^{14} \cdot 3
- |2^{16} - 2^{20}| = 2^{16} (1 - 2^4) = - 2^{16} \cdot 15 , mutlak değer olduğu için = 2^{16} \cdot 15
- |2^{16} - 2^{15}| = 2^{15} (2 - 1) = 2^{15}
Toplayalım:
Şimdi ortak çarpanları açalım:
- 2^{14} = 2^{14}
- 2^{15} = 2 \cdot 2^{14}
- 2^{16} = 4 \cdot 2^{14}
Buna göre:
Her iki tarafı 13’e bölelim:
Yani:
Cevap Seçeneği:
A) 5 \cdot 2^{14}
Bu yüzden doğru cevap A şıkkıdır.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Bilinen sayı | 16^4 = 2^{16} |
| Verilen diğer sayılar | 4^7=2^{14}, 16^5=2^{20}, 32^3=2^{15} |
| Hesaplanan toplam | 3 \cdot 2^{14} + 15 \cdot 2^{16} + 2^{15} = 5 \cdot 2^{14} \cdot 13 |
| \mathbf{a} değeri | 5 \cdot 2^{14} |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sayıları 2 tabanına indirgedik?
Çünkü verilen sayıların tabanları hepsi 2’nin kuvvetleri ve bu indirgeme işlemlerini kolaylaştırır.
2. Mutlak değerde neden işaret değiştirdik?
Mutlak değer negatif sonucu pozitif yapar, bu yüzden farkın işaretini gözardı ederek büyüklüğüne odaklandık.
3. Bu yöntem hangi tip sorular için uygundur?
Üstel sayıların karşılaştırılması ve uzaklık toplam problemi içeren sayısal sorular için uygundur.
Sonraki Adımlar
Başka üstel sayı sorularında benzer çözümleri görmek ister misiniz? Yoksa bu tür mutlak değer problemlerini nasıl daha hızlı çözebileceğinize dair ipuçları mı istersiniz?
Soru:
16^4 sayısının sayı doğrusu üzerinde 4^7, 16^5 ve 32^3 sayılarına olan uzaklıkları toplamı 13·a birimdir. Buna göre a kaçtır?
Önemli Noktalar:
- 16^4, 4^7, 16^5 ve 32^3 ifadeleri 2 tabanında yazıldığında hesaplamalar kolaylaşır.
- Uzaklıkların toplamını bulmak için mutlak farklar alınır: |2^16 – 2^14| + |2^16 – 2^20| + |2^16 – 2^15|.
- Ortak çarpan olarak 2^14 faktörü alındığında toplam 65·2^14 bulunur ve 13·a = 65·2^14 ⇒ a = 5·2^14.
Direkt Cevap:
a = 5·2^14
İçindekiler:
Çözüm Adımları
-
Taban Dönüşümü
16^4 = (2^4)^4 = 2^16
4^7 = (2^2)^7 = 2^14
16^5 = (2^4)^5 = 2^20
32^3 = (2^5)^3 = 2^15 -
Uzaklıkların Hesaplanması
|2^16 – 2^14| = 2^14·(2^2 – 1) = 3·2^14
|2^16 – 2^20| = 2^16·(1 – 2^4) = 15·2^16
|2^16 – 2^15| = 2^15·(2 – 1) = 1·2^15 -
Toplam ve Ortak Çarpan
Toplam = 3·2^14 + 15·2^16 + 2^15
= 2^14·[3 + 15·2^2 + 2]
= 2^14·65
13·a = 65·2^14 ⇒ a = (65·2^14)/13 = 5·2^14
Özet Tablosu
| İfade | İkili Temsil | Uzaklık |
|---|---|---|
| 16^4 | 2^16 | – |
| 4^7 | 2^14 | |
| 16^5 | 2^20 | |
| 32^3 | 2^15 | |
| Toplam | – | 65·2^14 = 13·a ⇒ a = 5·2^14 |
SSS
S1. Üslü sayıların tabanını değiştirmek neden işe yarar?
C1. Farklı üsler aynı tabana dönüştürüldüğünde çıkarma işlemleri kolaylıkla ortak çarpan alınarak yapılır.
S2. Mutlak değerli farkların toplamı nasıl yorumlanır?
C2. Her bir terimin sayı doğrusunda 16^4’e olan mesafesini verir, toplandığında toplam mesafe bulunur.
S3. Ortak çarpan nasıl belirlenir?
C3. Tüm terimler arasında en küçük üsse sahip ifade (2^14) faktör olarak ayrılır.
Bu konuyla ilgili adım adım başka bir örnek soru çözümü ister misiniz?
@zeynep212