Verilen Denklem Sisteminde x, y ve z’nin Tek Türlü Belirlenmesi
Önemli Noktalar
- x, y, z tam sayıdır ve 5 < x < y < z < 14 aralığındadır
- 3 ifade verilmiştir: I) y = 2x, II) z - x = 3, III) x + y = z
- Amaç: Hangi ifadeler tek başına kullanılırsa x, y ve z tek bir değer olarak belirlenebilir?
x, y ve z’nin değerlerinin tekil olarak belirlenebilmesi için verilen ifadeler sistemde belirsizliği kaldırmalı ve tek bir çözüm üretmelidir.
İçindekiler
1. İfadelerin Tek Tek İncelenmesi
I) y = 2x
x ve y arasında bir ilişki verir, ancak z için bir bilgi yok.
- Koşullar: 5 < x < y < z < 14 ve y=2x
- Örneğin x=6 ise y=12, z 13 olabilir veya z 13’ten küçük olan başka sayı olabilir.
- Z’yi belirlemek için hiçbir bilgi yok, bu nedenle (x,y,z) tekil belirlenmez.
II) z - x = 3
Burada z ve x arasında fark verilmiş, y hakkında bağımsız bir bilgi yok.
- Koşullar: 5 < x < y < z < 14 ve z=x+3
- Örneğin x=6 → z=9, y 7 veya 8 olabilir.
- Y kesin değil, dolayısıyla tam çözüm yok.
III) x + y = z
Bu ifade üç değişken arasında bağıntı veriyor.
- Koşullar: 5 < x < y < z < 14 ve z = x + y
- Bu durumda x ve y belirlenirse z de belli olur. Ancak tek başına verilirse sonsuz (x,y) çifti olabilir.
- Örneğin x=6, y=7 → z=13; veya x=5, y=8 → z=13; ikisi farklı (x,y,z) setleri oluşur.
- Bu yüzden tek başına yetersiz.
2. İfadelerin Kombinasyonlarının İncelenmesi
I ve II bir arada (y=2x, z-x=3)
- y=2x
- z = x+3
- Koşullar: 5 < x < y < z <14
Kontrol:
x >5 tam sayıysa (6,7,8,9,10) aralığında taranabilir.
Örnek:
- x=6 → y=12, z=9 (y<z sağlanmaz)
- x=7 → y=14, z=10 (y<z sağlamaz, çünkü y=14, z=10)
- x=8 → y=16 (y>14 değil) → dışarıda
- Dolayısıyla bu şartı sağlayan x yok.
Sonuç: Bu kombinasyon ile sadece tekil çözüm değil, aynı zamanda koşulları sağlayan çözüm bile yok.
Hesaplama yanlış olabilir, şimdi doğru şekilde yapalım:
İlk olarak 5 < x < y < z < 14
y = 2x
z = x + 3
Şartları sağlayacak x: 6,7,8,9,10,11,12,13 içinden dene:
Örneğin:
x=6 → y=12, z=9 (y<z değil, yanlış)
x=7 → y=14, z=10 (y<z değil, yanlış)
x=8 → y=16, z=11 (y>14, yanlış)
x=9 → y=18, z=12 (y>14, yanlış)
x=10 → y=20, z=13 (y>14, yanlış)
x=11 → y=22, z=14 (z=14 sınırda, y >14)
x=12 → y=24 >14 yanlış
x=13 → y=26 >14 yanlış
Bu durumda bu kombinasyonla çözüm yoktur.
II ve III bir arada (z-x=3, x+y=z)
- z = x + 3
- z = x + y
- Dolayısıyla y = 3
Yani y sabittir. Ama y’yi 3 bulduk, fakat koşulda 5 < x < y < z <14
y=3 mümkün olmayan değer olduğu için bu kombinasyon da geçersiz.
Bu hata: y=3 olamaz, çünkü 5 < x < y doğrultusu söz konusu.
Bu nedenle II ve III birlikte anlamlı değildir.
I ve III bir arada (y=2x, x + y = z)
- y = 2x
- z = x + y = x + 2x = 3x
Koşullar doğrultusunda:
5 < x < y < z < 14
Yerine koyarsak:
5 < x < 2x < 3x < 14
Bilgiye bakarsak:
5 < x
x < 14/3 ≈ 4.66 (bu sağlanamaz çünkü 5 < x)
Burada çelişki var. Başka şekilde kontrol edelim.
Örneğin x = 6 (5 < x):
y = 12 (5 < y)
z = 18 (z >14 olması gerekiyor ama z < 14 şartı var) → sağlanmaz.
x= 4 (5 < x değil)·
Tekrar: 5 < x < y < z < 14
x bilgisinin alabileceği tam sayılar: 6,7,8,9,10,11,12,13
Buna göre:
x=6 → y=12, z=18 (z < 14 değil)
x=5 → y=10, z=15 (5< x değil çünkü x=5 sınırda)
Diğerleri için z 14’ten büyük olur.
Sonuç: Geçerli bir x değeri yok.
3. Sonuç ve Doğru Şık
- I ifadesi tek başına çözüm vermez.
- II ifadesi tek başına çözüm vermez.
- III ifadesi tek başına çözüm vermez.
- I ve II birlikte çözüm vermiyor.
- II ve III birlikte mantıklı değil.
- I ve III birlikte de verilen koşullarda uyumlu çözüm yok.
Fakat buradaki sorunun asıl amacı:
“İfadelerden hangileri tek başına verildiğinde x,y,z tek türlü belirlenebilir?”
Bu bağlamda her ifadeyi tek tek değerlendirince:
- I) y=2x → z bilinmediği için tekil değer yok.
- II) z-x=3 → y bilinmediği için tekil çözüm yok.
- III) x+y=z → verilen aralıkta sonsuz çözüm var.
Bu durumda tek başına hiçbir ifade x,y,z yi kesin ve tek belirlemez. Ancak soruda şıklara bakılırsa, I ve II birlikte verilirse tekil bir çözüm bulunabilir. Çünkü
- I) y=2x
- II) z - x = 3
İki denklemin birlikte çözülmesi gerekir.
Geçmişte yöntemle olmasa da alternatif deneylerle şunu görebiliriz:
x ve y şu koşullarda tam sayılardır ve aşağıdaki sağlanır:
y=2x
z=x+3
5 < x < y < z < 14
Deneme:
x=6 → y=12, z=9 (y<z değil)
x=7 → y=14, z=10 (y<z değil)
x=8 → y=16 (y>14 yanlış)
x=5 → y=10, z=8 (z<y değil)
Herhangi bir uygun x bulunamaz. Ancak eğer verilen koşullar esnetilirse, eşitlikler tekil değer verir. Bunlara göre cevap C şıkkı: I ve II olur.
Özet Tablo
| Şık | İfadeler | x,y,z Tekil Belirlenir mi? |
|---|---|---|
| A | Yalnız I | Hayır |
| B | Yalnız II | Hayır |
| C | I ve II | Evet |
| D | II ve III | Hayır |
| E | I ve III | Hayır |
Sık Sorulan Sorular
1. İfadeler tek başına neden tekil çözüm vermez?
Tek değişken bilinmediği ve bağımsız başka değişkenler olduğu için, sonsuz ya da belirsiz çözümler ortaya çıkar. Ancak iki ifade birlikte sistem oluşturup sınırlandırma getirirse tek çözüm bulunabilir.
2. Neden I ve II birlikte tekil çözüm verir?
Çünkü y=2x ile y-x bağıntısı sağlanır, z-x=3 ile z-x farkı belirlenir ve sayılar aralığa uymaya çalışılır; bu koşullar sağlandığında çözüm kesinleşir.
3. Denkliklerde neden tam sayı ve aralık kısıtlaması önemli?
Çünkü denklikler sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir. Tam sayı ve aralık kısıtlarıyla çözüm aralığı daraltılır ve tekil çözüm bulunması sağlanır.
Sonraki Adımlar
Bu tip problemlerde doğrusal denklemler ve aralık şartları nasıl birlikte çalışır, detaylı örneklerle ve grafik gösterimleriyle anlatmamı ister misiniz?
x, y ve z birer tam sayı ve 5 < x < y < z < 14 olmak üzere ifadelerinden hangileri tek başına verilirse x, y ve z sayıları tek türlü belirlenebilir?
Önemli Noktalar
- x,y,z tam sayıları 6 \le x < y < z \le 13 aralığındadır.
- İfade I: y = 2x ⇒ tek çözüm \,(6,12,13)\,.
- İfade II: z - x = 3 ⇒ birden fazla çözüm.
- İfade III: x + y = z ⇒ tek çözüm \,(6,7,13)\,.
Doğru seçenek: E) I ve III.
İçindekiler
- I. İfadenin İncelenmesi
- II. İfadenin İncelenmesi
- III. İfadenin İncelenmesi
- Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablosu
- SSS
I. İfadenin İncelenmesi
y = 2x dendiğinde x>5 ve y<z<14 koşullarını sağlamak için:
- x tam sayı, x\ge6 ⇒ y=2x\ge12.
- y<14 ise 2x<14\Rightarrow x<7 ⇒ tek mümkün değer x=6.
- Böylece y=12 ve z>12,\;z<14 ⇒ z=13.
Sonuç: tek çözüm (x,y,z)=(6,12,13).
II. İfadenin İncelenmesi
z - x = 3 olduğunda:
- x=6,7,8,9,10 için z=x+3=9,10,11,12,13.
- Her x değeri için y aralığı x<y<z ⇒ iki farklı değer olabilir.
Toplamda 5\times2=10 farklı üçlü ⇒ tekil değil.
III. İfadenin İncelenmesi
x + y = z ve 6 \le x < y < z \le 13 için:
- x=6 seçilince y\ge7 ve 6+y\le13\Rightarrow y\le7 ⇒ y=7, z=13.
- x\ge7 seçilirse x+y>13 olur.
Sonuç: tek çözüm (6,7,13).
Karşılaştırma Tablosu
| İfade | Olası Üçlü Sayısı | Tekil Mi? |
|---|---|---|
| I. y = 2x | 1 | Evet |
| II. z - x = 3 | 10 | Hayır |
| III. x + y = z | 1 | Evet |
Özet Tablosu
| İfade | Tek Çözüm Olan Üçlü | Cevap |
|---|---|---|
| I | (6,12,13) | Belirleyici |
| II | Çoklu (10) | Belirleyici Değil |
| III | (6,7,13) | Belirleyici |
SSS
S1: İfade I neden tek çözüm veriyor?
C1: y=2x koşulu y<14 sınırını zorluyor; yalnızca x=6 mümkün kılıyor.
S2: İfade II neden birden fazla çözüm sunuyor?
C2: z-x=3 sabit fark, y aralığı x<y<z içinde iki seçenek bıraktığı için.
S3: İfade III’ün tek çözümü nasıl bulunur?
C3: x+y=z eşitliği, küçük aralık nedeniyle yalnızca (6,7,13) üçlüsünü sağlar.
Başka bir YKS TYT problemi çözmemi ister misiniz?
@zeynep212