Fonksiyonun Tanımlı Olduğu n Değerleri Nelerdir?
Önemli Noktalar
- Fonksiyon tanımı: f: A → A ve a + f(a) = n olacak şekilde, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
- Her a ∈ A için a + f(a) = n sabit bir n tam sayısıdır.
- Fonksiyonun görüntüsü (değer kümesi) de A içinde olmalıdır.
- Soruda n = 8, 9, 10 seçenekleri verilmiş ve hangilerinin mümkün olduğu soruluyor.
Her a için a + f(a) = n olduğuna göre, f(a) = n - a’dır.
Bu durumda f fonksiyonunun görüntüsü de A kümesinde kalmalı, yani bütün a için:
n - a ∈ A = {1, 2, …, 8} olmalıdır.
İçindekiler
1. Fonksiyon Kısıtlamaları ve Koşullar
Fonksiyon tanımı gereği:
- Her a ∈ A için f(a) ∈ A olmalıdır.
- Yani f(a) = n - a ve bu değer A kümesinde olmalı: 1 ≤ n - a ≤ 8.
Bu eşitsizliği a için açarsak:
- 1 ≤ n - a ≤ 8
- Sağ taraftan: n - a ≤ 8 → a ≥ n - 8
- Sol taraftan: 1 ≤ n - a → a ≤ n - 1
Bu durumda, kümeden a için geçerli aralık:
Ancak a’nın A kümesinde olması gerekiyor, yani 1 ≤ a ≤ 8.
Bu durumun sağlanabilmesi için:
- A ve [n-8, n-1] aralığının kesişimi A’yı tamamen kapsamalı (çünkü a tüm A’dan).
Yani:
1 ≥ n - 8 → n ≤ 9 (1 ≥ n-8) yanlış okunmuş, doğru: n - 8 ≤ 1 → n ≤ 9
ve
8 ≤ n - 1 → n ≥ 9
Bu iki koşuldan:
- n ≤ 9 ve n ≥ 9
Yani n = 9 olmalı ki a ∈ A kümesindeki tüm elemanlar için f(a) ∈ A sağlansın.
2. n Değerlerinin Analizi
Verilen n değerlerini tek tek inceleyelim:
n = 8
- f(a) = 8 - a
- f(1) = 7 ∈ A
- f(8) = 0 ∉ A
Bu yüzden n=8 mümkün değil.
n = 9
- f(a) = 9 - a
- a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} için f(a) = {8,7,6,5,4,3,2,1}
- Tüm değerler A içindedir.
Dolayısıyla n = 9 mümkün.
n = 10
- f(a) = 10 - a
- f(1) = 9 ∉ A
- f(8) = 2 ∈ A
Ancak en az bir değer küme dışında. O yüzden n = 10 mümkün değildir.
3. Sonuç ve Doğru Seçenek
Sadece n = 9 için f fonksiyonu tüm elemanlar için kümeye dönüş sağlar.
Bu durumda cevap B) Yalnız II şıkkıdır.
Özet Tablo
| n Değeri | Tüm f(a) ∈ A mı? | Sonuç |
|---|---|---|
| 8 | Hayır | Olamaz |
| 9 | Evet | Olabilir |
| 10 | Hayır | Olamaz |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sadece n=9 işe yarıyor?
Çünkü fonksiyonun değer kümesi her a ∈ A için n - a olmalı ve bu değerlerin tamamı 1 ile 8 arasında olmalıdır. Bu sadece n=9 için mümkün olur.
2. n’nin başka değerleri olabilir mi?
Soru sadece n=8,9,10 seçeneklerini verdiğinden, başka n değerleri bu kapsamda değerlendirilmez.
Sonraki Adımlar
Fonksiyon tanımcıları ve benzer problemler için, başka fonksiyon koşullarıyla n’nin nasıl belirlendiğini gösteren örnekler ister misiniz?
Resimli Soru
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinde f: A→A ve her a∈A için
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için n tam sayısı olarak aşağıdakilerden hangileri olabilir?
I. 8
II. 9
III. 10
Önemli Noktalar
- Fonksiyon Tanımı: f(a)=n–a
- Görüntü Kümeleri Şartı: 1 ≤ f(a) ≤ 8 olmalı
- Ana Sonuç: Bütün a için 1 ≤ n–a ≤ 8 kesişimi n=9’u verir
Yanıt
n ancak 9 olabilir. Dolayısıyla yalnızca II. şık doğrudur (B).
İçindekiler
Çözüm Özeti
Her a∈A için f(a)=n–a olduğundan bu değerin A’da kalması gerekir:
İlk eşitsizlik için n ≥ a+1, son eşitsizlik için n ≤ a+8.
- En büyük a=8 için n ≥ 9
- En küçük a=1 için n ≤ 9
Bu da ancak n=9’u sağlar.
Derinlemesine İnceleme
- Adım 1: f(a)=n–a ifadesi A’ya gittiği için her a için 1≤n–a≤8 olmalı.
- Adım 2: 1≤n–a ⇒ n≥a+1. Bunu a=8 için alırsak n≥9.
- Adım 3: n–a≤8 ⇒ n≤a+8. Bunu a=1 için alırsak n≤9.
- Adım 4: Bu iki koşulun ortak çözümü n=9.
Karşılaştırma Tablosu
| n değeri | f(a)=n–a için min–max | Tüm değerler A’da mı? |
|---|---|---|
| 8 | 8–8=0 … 8–1=7 ⇒ {0,…,7} | Hayır (0 ∉ A) |
| 9 | 9–8=1 … 9–1=8 ⇒ {1,…,8} | Evet |
| 10 | 10–8=2 …10–1=9 ⇒ {2,…,9} | Hayır (9 ∉ A) |
Özet Tablosu
| Adım | Koşul | Sonuç |
|---|---|---|
| f(a)=n–a | 1 ≤ n–a ≤ 8 | — |
| n ≥ a+1 (a=8) | n ≥ 9 | — |
| n ≤ a+8 (a=1) | n ≤ 9 | — |
| Birleşik Çözüm | 9 ≤ n ≤ 9 | n=9 |
SSS
- Neden n=8 olamaz?
Çünkü a=8 için f(8)=8–8=0 ve 0, A kümesinde yok. - Neden n=10 olamaz?
Çünkü a=1 için f(1)=10–1=9 ve 9, A kümesinde yok. - Fonksiyon tekil mi?
Evet, f(a)=9–a ifadesi farklı a’lar için farklı sonuç üretir, bire–bir (injektif) ve örten (surjektif) bir eşlemedir. - Başka bir n değeri mümkün mü?
Hayır, tüm a’lar için 1≤n–a≤8 ancak n=9’da sağlanır.
Bu konuyu pekiştirmek ister misin? 3 adet benzer pratik soru hazırlamamı ister misin?