!1770921230159303656641612483398|666x500 [Link Silindi]
Soru: x bir gerçek sayı olmak üzere, A = x + 9 ve B = 5 − x iken, A·B çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Önemli Noktalar
- A ve B’nin toplamı sabittir: A + B = 14.
- Sabit toplamlı iki sayının çarpımı, iki sayı eşit olduğunda maksimize edilir.
- Parabol formunda ifade: P(x) = (x + 9)(5 - x) = -x^2 -4x +45, tepe noktası değeri en büyük ürünü verir.
En Büyük Değer
A·B ürününün en büyük değeri 49’dur.
İçindekiler
Derin Dalış
A ve B ifadeleri:
A = x + 9,\quad B = 5 - x
Toplamları sabittir:
A + B = (x + 9) + (5 - x) = 14.
Sabit toplamlı iki sayının çarpımını
P = A \cdot B = (x + 9)(5 - x) = -x^2 -4x +45
şeklinde yazabiliriz. Parabol denkleminin genel formu P(x) = -x^2 -4x +45 olup, tepe noktası $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot(-1)} = -2$’de gerçekleşir. Bu değeri yerine koyduğumuzda:
P(-2) = -(-2)^2 -4(-2) +45 = -4 +8 +45 = 49.
A ve B eşit olduğunda yani A = B = 7 sağlandığında, çarpım maksimuma ulaşır:
7 \times 7 = 49.
Özet Tablosu
| Parametre | Değer |
|---|---|
| A + B | 14 |
| Çarpım Fonksiyonu P | -x^2 -4x +45 |
| Tepe Noktası (x_v) | -2 |
| Maksimum P(x_v) | 49 |
SSS
- S: Neden A + B sabitliyor çarpımı maksimize ediyor?
C: Sabit toplamlı iki sayının çarpımı, iki sayı eşit olduğunda en büyük değeri alır. - S: Parabolun tepe noktası genel formülle nasıl bulunur?
C: ax^2 + bx + c formunda tepe noktası x_v = -\dfrac{b}{2a} formülüyle hesaplanır. - S: Eğer sabit toplam farklı olsaydı ne olurdu?
C: Toplam ne olursa olsun maksimum çarpım her zaman toplamın yarısının karesidir. - S: Reel sayı yerine tam sayı kısıtı olsaydı çözüm nasıl değişir?
C: Tam sayılar arasında toplamın yarısına en yakın tam sayılar seçilerek en yüksek çarpım elde edilir.
Pratik yapmak ister misiniz? 3 adet benzer soru hazırlayayım mı?
Resimli Soru 12-02-2026 21:33:44 Çözümü
Önemli Noktalar
- Denklemlerde a ve b gerçekte sayılar
- İfade edilen koşullara göre A ve B’nin değerleri belirleniyor
- Amaç: A \times B çarpımının en büyük değerini bulmak
Verilen:
A = x - 9
B = 5 - x
Burada x gerçel sayı, A ve B da buna bağlıdır. Soru A \times B ifadesinin en büyük değerini istiyor.
Çözüm:
A \times B = (x - 9)(5 - x)
Dağıtalım:
= 5x - x^2 - 45 + 9x = -x^2 + 14x - 45
Bu fonksiyon bir parabol olup, tepesi aşağı dönüktür (çünkü x^2 katsayısı negatif).
Parabolün tepe noktası formülü:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2 \times (-1)} = \frac{14}{2} = 7
x=7 için maksimum değeri bulalım:
A \times B = -(7)^2 + 14 \times 7 - 45 = -49 + 98 - 45 = 4
Ama burada dikkat! Sonuç 4 çıktı. Ancak seçeneklerde 45,46,… gibi büyük değerler var. Bunun sebebi soruda a ve b değişkenleri eksik veya farklı olabilir. Soruyu tam okumamız lazım.
Soruda ayrıca verilmiş:
- A = x - 9
- B = 5 - x
Belki x yerine a ve b deniyor.
Çözümü tekrar yerine oturtalım.
Not: Soru görselde net olmadığı için, “a” ve "b"nin gerçek sayı olduğu söylenmiş, “A” ve “B” ise A = x-9, B=5 - x.
Ama soruda şu da var:
“a,x gerçek sayı olmak üzere”
A = x-9 yerine A = a - 9 ve B = 5 - a olabilir. Çünkü soru metninde “a gerçek sayı olmak üzere…”
Bu durumda:
A = a - 9, \quad B = 5 - a
Çarpım:
A \times B = (a-9)(5 - a) = -a^2 + 14a - 45
Tepe noktası a=7 için
-maks = -(7)^2 + 14 \times 7 - 45 = -49 + 98 - 45 = 4
Yine 4 çıkıyor ve seçeneklerden küçüklü büyük olasılığı düşük.
Alternatif: Soruda bir değer veya veri eksik olabilir.
Detaylı kontrol:
Eşitlikler:
A = x - 9
B = 5 - x
x gerçek sayı olmak üzere.
Ama soruda “a,b gerçek sayı olmak üzere A=x-9, B=5-x ise…” diye başlıyor muhtemelen.
Ama soru şunu soruyor:
“Buna göre A-B çarpımının en büyük değeri kaçtır?”
Burada çarpım değil, A-B farkı mı? Görüntü çok net değil.
Eğer amaç A-B ise;
A-B = (x-9) - (5 - x) = x - 9 - 5 + x = 2x -14
2x -14 ifadesindeki x gerçel sayı olduğundan büyüklüğü sınırsız olur, yani en büyük değer yok (sınırsız büyüyebilir).
Bu mümkün değil.
Diğer ihtimal:
Ama görüntüde şu cümle de var: “Buna göre A \times B çarpımının en büyük değeri nedir?”
Yani A \times B üzerine.
O zaman tepe noktası 4 çıkıyor, ama seçeneklerde 45, 46.. var.
Bu durumda “a gerçek sayı olmak üzere” deniyorsa x yerine a olmalı.
Belki soruda A ve B başka tanımlanmıştır. Örneğin:
- A = x - 9
- B = 5 - x
- x gerçek sayı
Bu durumda A-B farkı olabilir.
Eğer A - B = x - 9 - (5 - x) = 2x - 14 ve a gibi bir parametre varsa.
Alternatif olarak eşitliklerde A = x - 9 ve B=5 - x ise, soruda a ve b farklı tanımlanmış olabilir:
Örneğin:
a = x - 9
b = 5 - x
Ve x = ?
Sorunun net hali aşağıdaki gibi olabilir:
x gerçek sayı olmak üzere
A = x-9
B = 5-x
A-B çarpımının en büyük değeri nedir?
Burada A-B ifadesi pek anlamlı değil.
Ama büyük ihtimalle soru şu:
a gerçek sayı olmak üzere
A = a - 9
B = 5 - a
A \times B ifadesinin en büyük değeri nedir?
Bu durumda, yukarıdaki çözüm geçerli ve maksimum 4.
Ama seçeneklerde 45-49 var, fark var. O halde a,b yerine başka değerler var.
Yeniden okunmalı:
Soru görselde:
a,b gerçek sayı
A=x-9 ve B=5-x
Ama eşitliklerde büyük ihtimalle şöyle deniyor:
A = a - 9
B = 5 - b
Ve a+b = x vb.
Alternatif olarak: Soruda a,b gerçek sayılar,
A = a-b gibi olabilir.
Ancak verilen eşitliklerden emin değiliz.
Doğru varsayım ile çözüm:
Soru örneği:
a,b gerçek sayılar ve eşitlikler şu şekilde olabilir:
A = a - 9
B = 5 - b
Ama başka bir eşitlik var:
a + b = x ya da a = 9 + t, b = 5 - t gibi.
—
Sonuç olarak:
Bu konu çok net değil. Ama buradaki temel matematik bilgisi, parabolik yapıya göre maksimum değer hesaplanır.
Alternatif: Komple Çözüm Örneği
A = x - 9, \quad B = 5 - x
A \times B = (x-9)(5-x) = -x^2 + 14x - 45
Tepe noktası:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2 \times (-1)} = 7
Maksimum değer:
-(7)^2 + 14 \times 7 - 45 = -49 + 98 - 45 = 4
Karşılaştırma Tablosu: Parabol İfadesi
| Durum | Maksimum A \times B değeri | x değeri |
|---|---|---|
| Verilen eşitlik | 4 | 7 |
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Fonksiyon ifadesi | A \times B = -x^2 + 14x - 45 | - |
| Parabolun yönü | Aşağı bakan (negatif kareli) | - |
| Tepedeki x değeri | x=7 | - |
| Maksimum değer | 4 | - |
Sık Sorulan Sorular
1. Parabolun maksimum değeri nasıl bulunur?
Bir ikinci derece fonksiyonun maksimumu, katsayısı negatif ise tepe noktasındaki x = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
2. A \times B ifadesinde x ne aralıktadır?
x gerçek sayı olduğundan, tüm reel sayı aralığında olabilir. Maksimum tepe noktasındadır.
3. Bu soruda neden diğer seçenekler yüksek değerler içeriyor?
Muhtemelen soru metninde yazım veya veri hatası var, ya da başka koşullar eklenmiş.
Sonraki Adımlar
Bu sorunun net ve doğru çözümünü isterseniz, tüm değişkenleri ve eşitlikleri detaylı aktarabilir misiniz?
Ya da aynı tip ikinci dereceden maksimum bulma sorularından örnekler ister misiniz?