!17709200825847647858069594182478|375x500 [Link Silindi]
f(1) Değeri Kaçtır? (Parabol Fonksiyon Problemi)
Önemli Noktalar
- Fonksiyon grafiği bir parabol ve Ox eksenine (-1, 0) noktasında teğet
- Parabol (0, 3) noktasından geçiyor
- Parabolün genel şekli y = ax^2 + bx + c
- Amaç: f(1) değerini bulmak
Parabol fonksiyonunun genel formu y = ax^2 + bx + c olarak alınır.
Verilen noktalar ve teğetlik koşulu kullanılarak katsayılar bulunur, ardından f(1) hesaplanır.
İçindekiler
- Parabolün Genel Denklemi ve Koşullar
- Koşulların Dönüştürülmesi ve Denklem Sistemi
- Denklem Çözümü ve f(1) Bulma
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Parabolün Genel Denklemi ve Koşullar
Parabol fonksiyonu:
f(x) = ax^2 + bx + c
Verilenler:
- Parabol (0,3) noktasından geçiyor ⇒ f(0) = c = 3
- Parabol Ox eksenine (-1, 0) noktasında teğet ⇒
- f(-1) = 0 (parabolun Ox eksenini bu noktada kesmesi)
- Aynı noktada teğet ⇒ türev değeri orada 0 olur: f'(-1) = 0
Fonksiyonun türevi:
f'(x) = 2ax + b
Pro Tip: Parabolün teğet olduğu noktada eğim 0’dır (türev değeri 0).
2. Koşulların Dönüştürülmesi ve Denklem Sistemi
Koşulları denklem sistemine yazalım:
- f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \Rightarrow a - b + c = 0
- f(0) = c = 3
- f'(-1) = 2a(-1) + b = 0 \Rightarrow -2a + b = 0 \Rightarrow b = 2a
3. Denklem Çözümü ve f(1) Bulma
İkinciden c = 3 .
Birinci denkleme koyarsak:
a - b + 3 = 0 \Rightarrow a - b = -3
Üçüncü denkleme göre b = 2a , yerine yazalım:
a - 2a = -3 \Rightarrow -a = -3 \Rightarrow a = 3
Buldumuz a ile b değerini hesaplayalım:
b = 2a = 2 \times 3 = 6
Şimdi fonksiyonumuz:
f(x) = 3x^2 + 6x + 3
İstenilen f(1) değerini hesaplayalım:
f(1) = 3(1)^2 + 6(1) + 3 = 3 + 6 + 3 = 12
Özet Tablo
| Koşul | Denklem | Sonuç |
|---|---|---|
| Parabol (0,3) geçiyor | c = 3 | c = 3 |
| Parabol (-1,0) kesiyor | a - b + c = 0 | Formül |
| Parabol (-1,0) teğet | -2a + b = 0 | b = 2a |
| Sonuç | a=3, b=6, c=3 | Fonksiyon belirli |
| f(1) değeri | 3 + 6 + 3 = 12 | f(1) = 12 |
Sık Sorulan Sorular
1. Teğet noktada türev neden sıfırdır?
Paraboloid fonksiyonlarda, bir noktada teğet varsa, o noktada fonksiyonun eğimi (türevi) yatay olur, yani f'(x) = 0 .
2. Parabolün genel formu neden ax^2 + bx + c ?
Parabol ikinci dereceden bir polinomdur ve genel formu ax^2 + bx + c şeklindedir. Burada a, b, c katsayılardır.
3. Neden f(0) = c olarak bulundu?
Fonksiyonda x=0 için f(0) = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c . Bu yüzden c y-kesişim değeridir.
Sonraki Adımlar
İsterseniz, parabollerle ilgili kritik kavramlar olan türev ve grafikleri üzerine genişletilmiş örneklerle devam edebiliriz. Ayrıca, teğetin fiziksel/geometrik anlamı ve farklı fonksiyon çeşitlerindeki türev uygulamalarını da inceleyebiliriz.
Soru: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki gibi, Ox eksenine (-1,0) noktasında teğet olan ve (0,3) noktasından geçen parabolde f(1) değeri kaçtır?
Önemli Noktalar
- Parabolün f(-1)=0 ve f'(-1)=0 şartlarını sağlaması teğetlik koşuludur.
- Nokta koşulu olarak f(0)=3 verildi.
- Genel formda f(x)=ax^2+bx+c, bu üç şarttan a=3, b=6, c=3 bulunur.
f(1)=12
İçindekiler
Parabolün Denkleminin Bulunması
Parabolü f(x)=ax^2+bx+c biçiminde kabul edelim. Şartlar:
- Teğetlik için
- f(-1)=0 ⇒ a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 ⇒ a - b + c = 0.
- f'(-1)=0 ⇒ 2a(-1) + b = 0 ⇒ -2a + b = 0 ⇒ b=2a.
- Nokta koşulu
- f(0)=c=3.
Bunları yerine koyarsak:
a - (2a) + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -a + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a=3,
b=2a=6,\quad c=3.
Dolayısıyla
\boxed{f(x)=3x^2+6x+3}
olur ve
\boxed{f(1)=3\cdot1^2+6\cdot1+3=12}.
Standart Form ve Tepe Formu Karşılaştırması
| Özellik | Standart Form | Tepe Formu |
|---|---|---|
| Denklem | ax^2+bx+c | a(x-h)^2+k |
| Tepe Noktası | \bigl(-\tfrac{b}{2a},\,f(-\tfrac{b}{2a})\bigr) | (h,\,k) |
| Teğetlik Şartı | f(x_0)=0 ve f'(x_0)=0 | k=0 ve h=x_0 |
| Uygulama | a=3, b=6, c=3 | h=-1, k=0 ⇒ f(x)=3(x+1)^2 +3 |
Özet Tablosu
| Parametre | Değer |
|---|---|
| a | 3 |
| b | 6 |
| c | 3 |
| Vertex (h,k) | (-1,0) |
| f(0) | 3 |
| f(1) | 12 |
SSS
Soru 1: Parabolün teğet olması ne anlama gelir?
Cevap: Grafiğin verilen noktada Ox eksenine dokunması, yani hem değer hem de türevinin sıfır olması demektir.
Soru 2: Türev alma neden kullanıldı?
Cevap: Bir noktanın fonksiyona teğet olması için grafiğin eğiminin (türev) sıfır olması gerekir.
Soru 3: Vertex formu nedir ve neden kullanılır?
Cevap: f(x)=a(x-h)^2+k biçimidir; tepe noktasını doğrudan gösterdiği için teğetlik gibi şartları uygulamak kolaylaşır.
Soru 4: Standart formdan vertex formuna nasıl geçilir?
Cevap: Tam kare yöntemiyle: ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\tfrac{b}{2a}\Bigr)^2 - \tfrac{b^2-4ac}{4a}.
Bu konuya dair 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@Gulbahar_Kurca4