!17709226273118595136446417379700|666x500 [Link Silindi]
Verilen Fonksiyonun Görüntü Kümesindeki Tam Sayıların Toplamı ### Önemli Noktalar - Fonksiyon t(x) = x^2 - 2x - 3 ifadesi verilmiş ve tanım kümesi \{1, 2, \ldots, 8\} olarak belirtilmiş. - Görüntü kümesi, fonksiyonun bu tanım kümesinde aldığı değerler kümesidir. - Fonksiyon değerleri hesaplandıktan sonra, görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı soruluyor. Fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı, x değerlerinin tanım kümesinden aldığı tüm tam sayılar için t(x) 'in hesaplanıp toplanmasıdır. ### İçindekiler 1. Fonksiyon Değerlerinin Hesaplanması 2. Görüntü Kümesindeki Tam Sayıların Toplamı 3. Özet Tablo 4. Sık Sorulan Sorular — ## 1. Fonksiyon Değerlerinin Hesaplanması Verilen fonksiyon: [ t(x) = x^2 - 2x - 3 ] Tanım kümesi: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} . Adım adım fonksiyon değerlerini hesaplayalım: | x | t(x) = x^2 - 2x - 3 | Hesaplama | Sonuç | |-------|------------------------|------------|-------| | 1 | 1^2 - 2(1) - 3 | 1 - 2 - 3 | -4 | | 2 | 2^2 - 2(2) - 3 | 4 - 4 - 3 | -3 | | 3 | 3^2 - 2(3) - 3 | 9 - 6 - 3 | 0 | | 4 | 4^2 - 2(4) - 3 | 16 - 8 - 3| 5 | | 5 | 5^2 - 2(5) - 3 | 25 - 10 - 3 | 12 | | 6 | 6^2 - 2(6) - 3 | 36 - 12 - 3| 21 | | 7 | 7^2 - 2(7) - 3 | 49 - 14 - 3| 32 | | 8 | 8^2 - 2(8) - 3 | 64 - 16 - 3| 45 | Fonksiyon değerleri: \{ -4, -3, 0, 5, 12, 21, 32, 45 \} — ## 2. Görüntü Kümesindeki Tam Sayıların Toplamı Fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayılar yukarıdaki değerlerdir. Toplam: [ -4 + (-3) + 0 + 5 + 12 + 21 + 32 + 45 = 108 ] — ## Özet Tablo | Adım | Sonuç | |--------------------------------|------------------------| | Tanım Kümesi | \{1,2,\ldots,8\} | | Fonksiyon Değerleri | \{-4,-3,0,5,12,21,32,45\} | | Görüntü Kümesindeki Tam Sayıların Toplamı | 108 | — ## Sık Sorulan Sorular 1. Görüntü kümesi nedir? Bir fonksiyonun görüntü kümesi, tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun aldığı değerlerin kümesidir. 2. Fonksiyonun görüntü kümesini nasıl bulurum? Tanım kümesindeki tüm x değerleri için fonksiyon ifadesini hesaplayıp, çıkan değerlerin kümesini bulun. 3. Bu soruda neden tüm değerleri topladık? Soru, fonksiyonun görüntü kümesindeki tüm tam sayıların toplamını istediği için, tüm değerleri toplamak gerekmektedir. — ## Sonraki Adımlar Bu tür fonksiyon problemlerinde, görüntü kümesi kavramını derinlemesine anlamak ister misiniz? İsterseniz, fonksiyonların grafiklerle yorumlanması hakkında da detaylı açıklama yapabilirim. — @Gulbahar_Kurca4
t: [2,5] → ℝ, f(x) = x² − 2x − 3 fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Temel Noktalar
- f ’nin türevi f'(x)=2x-2 olduğundan, x>1 için artıyor.
- Aralık uç değerleri: f(2)=2²-4-3=-3, f(5)=25-10-3=12.
- Görüntü kümesi [-3,\,12] aralığındaki tam sayılar.
Cevap: Görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı 72’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- f ’nin artıp azaldığını belirleyin.
f'(x)=2x-2, sıfır noktası x=1. Domain [2,5] içerisinde x>1, dolayısıyla f monoton artar. - Uç değerleri hesaplayın.
f(2)=2^2-2\cdot2-3=-3,
f(5)=5^2-2\cdot5-3=12. - Görüntü kümesini yazın:[-3,\,12]
- Bu aralıktaki tam sayıları toplayın.
-3’den 12’ye kadar tam sayıların toplamını formülle hesaplayalım:\sum_{k=-3}^{12} k =\sum_{k=1}^{12}k\;-\;\sum_{k=1}^{3}k =\frac{12\cdot13}{2}\;-\;\frac{3\cdot4}{2} =78\;-\;6 =72
Yöntem Karşılaştırması
| Yöntem | Temel Fikir | Hesaplama |
|---|---|---|
| Manuel Toplama | -3’den 12’ye tek tek toplama | (-3)+(-2)+\dots+12=72 |
| Formül ile Hesaplama | {\sum_{k=a}^b k=\frac{(a+b)(b-a+1)}2} | \frac{(-3+12)\,(12-(-3)+1)}2=72 |
Özet Tablosu
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| f’(x) | 2x-2 |
| Artma bölgesi | x>1 |
| f(2) | -3 |
| f(5) | 12 |
| Görüntü kümesi | [-3,12] |
| Tam sayıların toplamı | 72 |
SSS
S1. f ’nin görüntü kümesini nasıl belirledik?
C1. Türevle monotonluğu, uç değerleri ve vertex koordinatını kullanarak.
S2. Aralıktaki tam sayıları toplamak için başka hangi formül var?
C2. {\sum_{k=m}^n k=\frac{n(n+1)}2-\frac{(m-1)m}2} formülü de kullanılabilir.
S3. f ’nin vertex’i aralıkta olsaydı ne olurdu?
C3. Görüntü kümesi minimum değer için vertex’taki y değerini alırdı.
Daha farklı bir aralıktaki görüntü kümesini veya başka bir ikinci dereceden fonksiyonu tartışmak ister misiniz?
@Gulbahar_Kurca4