!1000004047|375x500 [Link Silindi]
Resimdeki Sorunun Çözümü: Yerden L ve K Seviyelerine Gelme Süresi ve Yükseklik Oranı
Önemli Noktalar
- Cisim yukarı doğru v_0 hızıyla atılıyor ve hızı L seviyesinde 3v, K seviyesinde v oluyor.
- L ve K noktalarına gelme süreleri eşit olarak verilmiş.
- Hava direnci ve sürtünme ihmal ediliyor.
- Aranan, yükseklikler h_1 ve h_2 oranı: \frac{h_1}{h_2}
X cisminin hareketi boyunca kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki ilişkiyi kullanarak soruyu çözebiliriz.
Çözüm Adımları
-
Verilenler ve bilinmeyenler:
- Başlangıç: Yer seviyesi, hız v_0
- L seviyesi: hız 3v
- K seviyesi: hız v
- Yükseklikler:
- h_1: L’den K’ye kadar (üst kısım)
- h_2: yerden L’ye kadar (alt kısım)
- Süreler: Yerden L’ye gelme süresi = L’den K’ye gelme süresi
-
Enerji Korunumu:
\text{Başlangıçta:} \quad E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 + mg \cdot 0
L seviyesinde:
E_L = \frac{1}{2} m (3v)^2 + mg h_2 = \frac{9}{2} m v^2 + mg h_2
K seviyesinde:
E_K = \frac{1}{2} m v^2 + mg (h_1 + h_2)
Enerji korunumundan:
E_0 = E_L = E_K
- Enerji denklemlerinden eşitlikleri yazalım:
Başlangıç = K seviyesi dengesi:
\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mg(h_1 + h_2)
Başlangıç = L seviyesi dengesi:
\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{9}{2} m v^2 + mg h_2
Buradan, v_0^2 ifade edilen bağıntıları yaklaştırabiliriz.
- Yerden L’ye gelme süresi ve L’den K’ya gelme süresi eşit
Dikey hareket formülünden, hız ve zaman ilişkisini kullanarak süreyi ifade edelim.
Yerden L’ye hareket: Başlangıç hızı yukarı v_0, h yüksekliği h_2.
Hız 3v olduğunda L seviyesine ulaşır.
Benzer şekilde L’den K’ya hareket süresi elde edilir.
- İlk hareketin formüllerinden yararlanarak süre koşulunu yanalım:
Yukarı doğru atılan cismin herhangi bir yükseklik h’deki hızı:
v_h^2 = v_0^2 - 2 g h
L seviyesine ise:
(3v)^2 = v_0^2 - 2 g h_2 \Rightarrow 9 v^2 = v_0^2 - 2 g h_2
K seviyesine:
v^2 = v_0^2 - 2 g (h_1 + h_2)
İlk denklemden:
v_0^2 = 9 v^2 + 2 g h_2
İkinci denklemde yerine koy:
v^2 = (9 v^2 + 2 g h_2) - 2 g (h_1 + h_2) = 9 v^2 + 2 g h_2 - 2 g h_1 - 2 g h_2 = 9 v^2 - 2 g h_1
Buradan:
v^2 - 9 v^2 = - 2 g h_1 \Rightarrow -8 v^2 = - 2 g h_1 \Rightarrow 4 v^2 = g h_1 \Rightarrow h_1 = \frac{4 v^2}{g}
- Sürelerin eşit olması:
Yerden L’ye sürede:
t_1 = \frac{v_0 - 3 v}{g}
L’den K’ya sürede (farklı hızlarla, ama düşüş yönü ters):
t_2 = \frac{3 v - v}{g} = \frac{2 v}{g}
Eşit verilmiş: t_1 = t_2
\frac{v_0 - 3 v}{g} = \frac{2 v}{g} \Rightarrow v_0 = 5 v
- Şimdi v_0^2’yi yerine koy ve h_2’yi bul:
Başlangıçta enerji denkleminden:
v_0^2 = 9 v^2 + 2 g h_2
v_0 = 5 v \Rightarrow v_0^2 = 25 v^2
25 v^2 = 9 v^2 + 2 g h_2 \Rightarrow 16 v^2 = 2 g h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{16 v^2}{2 g} = \frac{8 v^2}{g}
- Oranı bul:
\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{4 v^2}{g}}{\frac{8 v^2}{g}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
Sonuç:
\boxed{\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2}}
Doğru cevap: A şıkkı \frac{1}{2}
Sonraki Adımlar
Bu tür fizik sorularında, enerji korunumu ve hareket denklemleri arasındaki ilişkiyi anlamak kritik. İsterseniz benzer atış ve hareket problemlerine yönelik adım adım çözümlü örnekler hazırlayabilirim. İlgilenir misiniz?
X cismi yerden düşey yukarı doğru v_0 hızıyla atıldığında, L seviyesine geldiğinde hızı 3v, K seviyesine geldiğinde hızı v oluyor. Yerden L seviyesine gelme süresi, L’den K seviyesine gelme süresine eşit olduğuna göre h_1:h_2 oranı nedir?
- Anahtar Noktalar
• h_2 yerden L seviyesine, h_1 L seviyesinden K seviyesine olan yüksekliğidir.
• Zaman eşitliği: t_{0\to L} = t_{L\to K} ⇒ v_0 - 3v = 2v ⇒ v_0 = 5v.
• Enerji korunumundan h_2 = \tfrac{16v^2}{2g}= \tfrac{8v^2}{g} ve h_1 = \tfrac{8v^2}{2g}= \tfrac{4v^2}{g} bulunur.
h_1/h_2 oranı $\displaystyle \frac12$’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
-
Zaman denklemleri
$$t_{0\to L}=\frac{v_0 - v_L}{g}=\frac{v_0 - 3v}{g},\quad
t_{L\to K}=\frac{v_L - v_K}{g}=\frac{3v - v}{g}=\frac{2v}{g}.$$
Eşitlikten v_0 - 3v = 2v\implies v_0=5v. -
Enerji korunumuyla yükseklikler
— L seviyesi:
$$v_L^2=v_0^2 - 2gh_2\implies 9v^2=25v^2 - 2gh_2
\implies h_2=\frac{16v^2}{2g}=\frac{8v^2}{g}.$$
— K seviyesi:
$$v_K^2=v_0^2 - 2g(h_2+h_1)\implies v^2=25v^2 - 2g\bigl(h_2+h_1\bigr)
\implies h_1=\frac{8v^2}{2g}=\frac{4v^2}{g}.$$ -
Oran
$$\frac{h_1}{h_2}
=\frac{\tfrac{4v^2}{g}}{\tfrac{8v^2}{g}}
=\frac12.$$
Özet Tablosu
| Seviye | Hız | Denklem | Yükseklik |
|---|---|---|---|
| Başlangıç | v_0=5v | — | 0 |
| L | 3v | 9v^2=25v^2-2gh_2 ⇒ h_2=\tfrac{8v^2}{g} | h_2 |
| K | v | v^2=25v^2-2g(h_2+h_1) ⇒ h_1=\tfrac{4v^2}{g} | h_2+h_1 |
| Oran | — | — | \displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac12 |
SSS
- Zaman eşitliği neden \tfrac{v_0-3v}{g}=\tfrac{2v}{g} formundadır?
- Enerji korunumunu kullanmanın avantajı nedir?
- Yerden L seviyesine çıkış süresi nasıl bulunur?
- Hızların kareleri neden direkt yüksekliklerle ilişkilendirilir?
Benzer bir alıştırma çözmek ister misiniz?
@irem_durmaz