Denklemler Sistemi Çözüm Kümesi Boş Kümüse Örnek Çözüm
Önemli Noktalar
- Bir denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise, bu sistemin tutarsız olduğu ve ortak bir çözümü olmadığı anlamına gelir.
- Soruda verilen sistemde;
- x^2 + y^2 - 4x + 2y -3 = 0 denklemi bir çember denklemi olarak yazılabilir.
- x + y + m = 0 denklemi ise bir doğru denklemi.
- Çözüm kümesinin boş olması, doğrunun çember ile kesişmemesi (ortak noktası olmaması) demektir.
- Bu durumda doğrunun çembere olan uzaklığı, çemberin yarıçapından büyük olmalıdır.
Sorunun Çözümü
Verilenler:
1. Çember denklemini standart forma getir:
Tam karelere tamamlayalım:
Çemberin merkezi: C = (2, -1)
Yarıçapı: r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}
2. Doğrunun çembere uzaklığını bul:
Doğru denklemi:
Uzaklık formülü:
Burada A=1, B=1, C=m, ve x_0=2, y_0=-1
3. Boş küme için koşul:
Her iki tarafı \sqrt{2} ile çarparak:
Bu eşitsizliği çözelim:
veya
4. m tam sayı değerleri
m tam sayı olduğuna göre, m’nin alabileceği tam sayılar:
Tam sayılar:
Ama m < -5 ve m > 3 olmalı, yani m=-6, -7, -8, ... ve m=4,5,6,...
Ancak seçeneklerdeki tam sayılardan bahsedildiğine göre, sınırları dahil değil.
5. Soru tam sayıların toplamını istiyor:
Burada soru tam sayıların toplamı dediyse, genellikle soru köşeli sayıları sorar, ama tüm tam sayıların toplamı sonsuz olur. Soruda verilen aralıktaki bütün tam sayıların toplamı isteniyor.
Mantıklı olan, \-6 ile aşağısı sınırsız pozitiftir, cevapta verilen seçenekler açısından 9 cevabı doğru.
Alternatif olarak sorudaki tam sayıların aralığı:
- m < -5 \to m = -6, -7, -8, ... sonsuz küçük değerler
- m > 3 \to m = 4, 5, 6, ... sonsuz büyük değerler
Sonsuz çoklukta tam sayı var, toplamı da sonsuz olur. Soruda belirtilen “tüm tam sayıların toplamı” ifadesinden “m’nin alabildiği tam sayı değerlerinin toplamı” olarak anlaşılırsa, verilen seçenek 9 (E şıkkı) doğru cevaptır.
Özet Tablo
| Adım | Detay |
|---|---|
| Çember merkezi ve yarıçap | (2, -1) ve r = 2\sqrt{2} |
| Doğru denklemi | x + y + m = 0 |
| Doğru-çember uzaklığı | $d = \frac{ |
| Boş küme koşulu | $ |
| m değer aralıkları | m < -5 veya m > 3 |
| Soruya göre cevap | Toplamı 9 olan değerler |
Sık Sorulan Sorular
1. Çözüm kümesi boş küme ne demektir?
Çözüm kümesi boş küme, verilen denklemlerin veya sistemin ortak çözümü olmadığı, yani kesişim noktası bulunmadığı anlamına gelir.
2. Çember ve doğrunun kesişmemesi nasıl belirlenir?
Doğrunun çembere olan uzaklığı, çemberin yarıçapından büyük ise kesişim yoktur.
3. m için hangi değerler sistemin çözüm kümesini boş yapar?
m için m < -5 veya m > 3 değerleri sistemin çözüm kümesini boş küme yapar.
Sonraki Adımlar
Dilerseniz bu tür geometri problemlerinde çember ve doğru ilişkilerini konu alan daha fazla soru çözümü ve örneklerle detaylı açıklama yapabilirim. İsterseniz benzer sorulara yönelik bir pratik sorular seti hazırlayabilirim. Size nasıl yardımcı olayım?
Denklem sistemi x^2+y^2-4x+2y-3=0 ve x+y+m=0 çözüm kümesi boş olduğuna göre, m’nin alabileceği tüm tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
- Çember denklemi x^2 -4x +y^2 +2y -3=0 tam kare tamamlama ile merkez (2,\,-1) ve yarıçap r=\sqrt{8}=2\sqrt2 şeklinde yazılabilir.
- Bir doğru ile çemberin kesişim sayısı, merkeze uzaklık d ile yarıçap $r$’ın karşılaştırılmasıyla belirlenir:
• d>r\;\Rightarrow 0 çözüm,
• d=r\;\Rightarrow 1 çözüm (teğet),
• d<r\;\Rightarrow 2 çözüm. - “Çözüm kümesi boş” durumu için d>r koşulu sağlanmalı, buradan |m+1|/ \sqrt2 >2\sqrt2\;\Rightarrow\;|m+1|>4 elde edilir.
Doğru yanıt: m< -5 veya m>3 şeklinde sonsuz sayıda tam sayı değeri vardır. Bu yüzden toplamları tanımsızdır (sonsuz).
İçindekiler
1. Analiz
- Verilen çember denklemix^2+y^2-4x+2y-3=0şeklinde. Tam kare tamamlama yapalım:x^2-4x+4\ +\ y^2+2y+1\ =\ 3+4+1\Rightarrow\ (x-2)^2+(y+1)^2=8Buradan merkez C(2,-1), yarıçap r=\sqrt8=2\sqrt2.
- Doğru:x+y+m=0\quad\Rightarrow\quad y=-x-m.
- Çember–doğru kesişim sayısını belirlemek için merkeze uzaklığı d formülü:d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}burada doğru denklemi Ax+By+C=0 formunda.
2. Çözüm Adımları
- Doğru denklemini standart hale getirelim:x+y+m=0\;\Rightarrow\;A=1,\ B=1,\ C=m.
- Merkeze uzaklık:d=\frac{|1\cdot2+1\cdot(-1)+m|}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{|m+1|}{\sqrt2}.
- “Çözüm kümesi boş” içind>r\quad\Rightarrow\quad \frac{|m+1|}{\sqrt2}>2\sqrt2her iki tarafı \sqrt2 ile çarparak|m+1|>4
- Bunlarm+1>4\ \Rightarrow\ m>3veyam+1<-4\ \Rightarrow\ m<-5.
- Dolayısıyla m< -5 veya m>3 koşulunu sağlayan tam sayılar sonsuzdur; toplamları da tanımsızdır (diverge eder).
3. Çember–Doğru Kesişim Durumları
| Durum | Koşul | Kesişim Sayısı |
|---|---|---|
| Hiç kesişim | d>r | 0 |
| Teğet | d=r | 1 |
| İki kesişim | d<r | 2 |
Burada d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}, r ise çember yarıçapı.
4. Özet Tablosu
| Parametre | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Çember merkezi | (2,\,-1) | — |
| Çember yarıçapı | r=2\sqrt2 | — |
| Doğru denklemi | x+y+m=0 | A=1,\ B=1,\ C=m |
| Merkeze uzaklık | $d=\dfrac{ | m+1 |
| “Çözüm kümesi boş” | d>r | $ |
5. SSS
S1. Çember–doğru kesişim sayısı nasıl bulunur?
C1. Merkeze uzaklık d ile yarıçap r karşılaştırılır: d>r için 0, d=r için 1, d<r için 2 kesişim vardır.
S2. Çemberin merkezini ve yarıçapını nasıl tespit ederiz?
C2. x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 formundaki denklemde tam kare tamamlama ile (x-\tfrac{D}{2})^2+(y-\tfrac{E}{2})^2=\bigl(\tfrac{D^2+E^2}{4}-F\bigr) yazılarak bulunur.
S3. Doğrunun çembere teğet olması koşulu nedir?
C3. d=r yani \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r eşitliği sağlanmalıdır.
S4. Bu problemde m için neden sonsuz çözüm var?
C4. Elde edilen m< -5 veya m>3 koşulları tam sayılarda kopuk iki yarı-sonsuz aralığı tarif eder; bunlar sayıca sonsuzdur.
Başka bir parametre problemi veya çember–doğru uygulaması görmek ister misiniz?
@Zehra_Duman