Resimli Soru 12-02-2026 11:54:10

YKS TYT
1

IMG_5413
IMG_5413720×960 32.2 KB

2

Resimli Matematik Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade, ikinci dereceden bir denklem formuna dönüştürülmelidir
  • Denklemin kökleri ve özellikleri xⁿ terimleri kullanılarak hesaplanacak
  • İfadelerin doğruluğu köklerin özelliklerine göre analiz edilmelidir

Verilen denklem:

2x^{m-2} + 2x^{4-m} + x - 17 = 0

İlk olarak m değerini bulalım ki bu, ifadenin ikinci dereceden denklem olmasını sağlasın.

İçindekiler

  1. Denklemin Derecesinin Belirlenmesi
  2. Denklemin Köklerinin Hesaplanması
  3. Verilen İfadelerin Doğruluk Analizi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemin Derecesinin Belirlenmesi

Denklemin ikinci dereceden olması için terimlerin derecelerinin 2 ve 1 gibi olması gerekir.

Terimler:

  • 2x^{m-2}
  • 2x^{4-m}
  • x (1. derece)
  • -17 (sabit terim)

m-2 ve 4-m ifadelerinin 2 ve 1 değerlerini alması gerekiyor, yani iki terim derecesi 2 ve 1 olan ifadeler olmalı.
Bu durumda:
m-2 = 2 ve 4 - m = 1 ise

  • m - 2 = 2 \Rightarrow m = 4
  • 4 - m =1 \Rightarrow m = 3

Fakat m için iki farklı sonuç olur, bu mümkün değil. O zaman, m-2 ve 4-m terimlerinin farklılıkları aynı olması için bu iki ifadenin eşit olması gerekir:
m - 2 = 4 - m \Rightarrow 2m = 6 \Rightarrow m=3

m=3 alınırsa, terimler:

  • x^{1} ve x^{1} olur, yani dereceleri 1 olur, bu durumda sadece iki terim değil, ama bu da ikinci dereceden olmaz.

Ya da m-2 = 1 ve 4-m = 2 olabilir:

  • m-2=1 \Rightarrow m=3
  • 4-m=2 \Rightarrow m=2 çelişkili.

Alternatif olarak m - 2 = 2 ve 4 - m = 2 , bu da m=4 ve m=2 çelişir.

İkinci dereceden denklem olması için m-2 ve 4-m terimleri aynı sayıya eşit olmalı:
m-2 = 4 - m \Rightarrow 2m=6 \Rightarrow m=3

O zaman terimler: 2x^{1} + 2x^{1} + x -17 = 0 \Rightarrow 4x + x - 17=0 \Rightarrow 5x - 17=0 ki bu birinci dereceden olur.

Öyleyse denklemin ikinci dereceden olması için m-2 ve 4-m terimleri farklı derecelerde olmalı ve bunlar 2 ve 0 olabilir.

Örnek:

  • m-2=2 \Rightarrow m=4
  • 4-m=0 \Rightarrow m=4

Bu mümkün, ataki x^{m-2} = x^{2} , x^{4-m} = x^{0} =1 . O zaman denklem:
2x^2 + 2 * 1 + x - 17 =0 \Rightarrow 2x^2 + x - 15=0

Evet, bu ikinci dereceden bir denklem.

Sonuç: m=4 olarak alınır.

2. Denklemin Köklerinin Hesaplanması

Denklemimiz:

2x^{2} + x -15 = 0

Bu denklemin köklerini x_1 ve x_2 olarak alalım.

  • a=2,
  • b=1,
  • c=-15

Denklemin kökleri:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4*2*(-15)}}{2*2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{4}
x_1 = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3
x_2 = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5

Köklerimiz:

  • x_1 = -3
  • x_2 = 2.5

3. Verilen İfadelerin Doğruluk Analizi

  • I. İfade: “Denklemin köklerinin çarpımsal terslerinin toplamı \frac{1}{15} tir.”
    Köklerin çarpımsal tersleri:
    \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{-3} + \frac{1}{2.5} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = -\frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{1}{15}
    Doğru

  • II. İfade: “Köklerinden biri pozitif, diğeri negatiftir.”
    Kökler: -3 ve 2.5, biri negatif biri pozitif.
    Doğru

  • III. İfade: “Kökler x_1, x_2 ise x_2 < x_1 için 3x_1 + \frac{5x_2}{2} =0 ifadesi doğrudur.”

Öncelikle x_2 < x_1 şartını kontrol edelim:

  • x_1 = -3
  • x_2 = 2.5
    2.5 < -3 mi? Hayır, bu ifade yanlış. Eğer kökleri ters alırsak:
  • x_1=2.5
  • x_2=-3
    Bu durumda x_2 < x_1 olur. Şimdi ifadeye bakalım:
3x_1 + \frac{5x_2}{2} = 3(2.5) + \frac{5 * (-3)}{2} = 7.5 - 7.5 = 0

İfade doğru

4. Özet Tablo

İfade No İfade Doğruluk Açıklama
I Köklerin çarpımsal tersleri toplamı \frac{1}{15} Doğru Hesaplandı \frac{1}{15}
II Köklerden biri pozitif, diğeri negatif Doğru Kökler -3 ve 2.5
III x_2 < x_1 için 3x_1 + \frac{5x_2}{2} = 0 Doğru x_2 = -3, x_1 = 2.5 için sağlanır

Sık Sorulan Sorular

1. m değeri neden 4 olarak seçildi?
Denklemin ikinci derece olması için terimlerin üslerinin toplamının denkmesi ve terimlerin derece yapısına uyması gerekir. Bu koşul m=4 ile sağlanır.

2. Çarpımsal terslerin toplamı nasıl hesaplanır?
Bir polinomun köklerinin terslerinin toplamı, köklerin çarpımı ve toplamı kullanılarak hesaplanır:
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}

3. Köklerin işaretleri neyi ifade eder?
Bir kökün pozitif veya negatif olması denklemin çözümlerinin hangi bölgede bulunduğunu gösterir. Bu, bazı ifadelerin doğruluğunu etkileyebilir.

Sonraki Adımlar

Dilerseniz bu denklem türleri için köklerin genel davranışlarını inceleyebilir ya da benzer ikinci dereceden denklemlerle ilgili çeşitli kök özelliklerini pratik edebiliriz. İncelenmesini istediğiniz başka konular var mı?

@Zehra_Duman

3

Resimli Soru 12-02-2026 11:54:10

Ana Hatırlatmalar

  • Denklem, m=2 veya m=4 alınarak 2x^2 + x - 15 = 0 formuna indirgenir.
  • Kökler x_1 = \tfrac{5}{2} ve x_2 = -3 şeklindedir.
  • Tüm ifadeler:
    1. 1/x_1 + 1/x_2 = \tfrac{1}{15}
    2. Köklerden biri pozitif, diğeri negatiftir
    3. 3x_1 + \tfrac{5x_2}{2} = 0

Doğru Seçenek: I, II ve III (E şıkkı)

İçindekiler

  1. Denklemin İkinci Dereceden Olması
  2. Köklerin Özellikleri
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Denklem ve İkinci Dereceye İndirgeme

Verilen ifade

2x^{m-2} + 2x^{4-m} + x - 17 = 0

oldukça değişkenlidir. İkinci dereceden bir denklem olması için terimlerin en yüksek üssü 2, en düşük üssü 0 olmalıdır. Buna göre üstel terimler

  • x^{m-2} ve x^{4-m},
  • Sırasıyla 2 ve 0 üslerini alabilmek için
    • m-2=2 ve 4-m=0\implies m=4,
    • veya m-2=0 ve 4-m=2\implies m=2
      şartları sağlanır. Her iki durumda denklem:
2x^2 + x -15 = 0

şeklini alır.

2. Köklerin Hesabı ve Özellikleri

  1. derece denklemimiz
2x^2 + x -15 = 0

kökleri

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 +120}}{4} = \frac{-1 \pm 11}{4}

olarak bulunur. Böylece

  • x_1 = \tfrac{5}{2}
  • x_2 = -3

I. 1/x_1 + 1/x_2 = \tfrac{2}{5} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{6-5}{15} = \tfrac{1}{15}
II. \,x_1>0, x_2<0 (bir pozitif, bir negatif)
III. 3x_1 + \tfrac{5x_2}{2} = 3\cdot\tfrac{5}{2} - \tfrac{5\cdot3}{2} = 0

Bundan dolayı I, II ve III tümü doğrudur.

3. Karşılaştırma Tablosu (m=2 vs m=4)

Özellik m = 2 m = 4
Üs terimleri x^{0},\,x^2 x^2,\,x^{0}
İndirgenmiş denklem 2x^2 + x -15 = 0 2x^2 + x -15 = 0
Kökler 5/2,\,-3 5/2,\,-3

4. Özet Tablosu

Adım Sonuç
m için değerler 2 veya 4
Denklem 2x^2 + x -15 = 0
Kökler x_1 = \tfrac{5}{2},\;x_2 = -3
1/x_1+1/x_2 \tfrac{1}{15}
Kök işaretleri Biri pozitif, diğeri negatif
İfade testi (III) 3x_1 + \tfrac{5x_2}{2} = 0

5. SSS

S1: Denklem niçin m=2 veya m=4 için ikinci derece olur?
C1: Üsler m-2 ve 4-m bu iki değeri 0 ve 2’ye eşitleyerek yalnızca ikinci derece terim ortaya çıkar.

S2: Köklerin çarpımsal tersi toplamı nasıl bu sonucu verir?
C2: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} formülü kullanılır.

S3: Başka bir m değeri ikinci derece denklem verir mi?
C3: Hayır; aksi halde üsler denklem derecesini farklı kılar.

S4: Bir kök pozitif diğer negatifse ne anlama gelir?
C4: Köklerin çarpımı negatiftir ve sabit terim işaretine bakarak da teyit edilir.

Çalışmanızı pekiştirmek için benzer bir denklemde kökleri bulmak ister misiniz, Zehra_Duman?