Resimli Soru 12-01-2026 03:00:51 Çözümü

YKS TYT
1

20260112_030027
20260112_0300273000×4000 1.01 MB

2

Resimli Soru 12-01-2026 03:00:51 Çözümü

Önemli Noktalar

  • Üçgende verilen uzunluklara göre benzerlik kullanılarak oran kurma yapılır.
  • ABC üçgeni ve içindeki üçgenlerde benzerlikten yararlanılır.
  • Limit sorusu için verilen oranların limiti hesaplanır.

Verilen şekle göre, ABC üçgeninde [EC] = 22 birimdir. \frac{BE}{DE} oranının limit değeri sorulmaktadır.

İçindekiler

  1. Şekil Analizi ve Benzerlik
  2. Oranların Limitinin Hesaplanması
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Şekil Analizi ve Benzerlik

ABC üçgeninde, verilen şekle ve sorudaki işaretlemelere göre:

  • D noktası, AC kenarı üzerinde ve belli bir x değeriyle hareket eden bir noktadır.
  • Be noktası AB kenarındadır.
  • Üçgenin bazı parçaları benzer üçgenler meydana getirmektedir.

Şekilde, D noktası hareket ederken BE / DE oranının limiti soruluyor. Bu oranı bulmak için üçgenlerin benzerliğinden yararlanırız.

Benzer Üçgen İlişkileri:

  • \triangle ABD \sim \triangle CED olabilir (benzerlik koşullarına göre).
  • Verilen kenar EC = 22 birim.

Bu benzerliklerden, oranların limiti için orantılılık kullanacağız.

:light_bulb: Pro Tip: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabittir ve limit sorularında bu oranlar genellikle sabit bir değere yaklaşır.

Oranların Limitinin Hesaplanması

\lim_{...} \frac{BE}{DE} limitini hesaplamak için verilen bilgileri kullanmalıyız. İlk olarak limiti nasıl yazacağımızı ve nereye doğru yaklaştığını tespit etmek gerekir.

  1. EC=22 birim olduğundan, bu uzunluğu sabit alıyoruz.
  2. BE ve DE uzunluklarını üçgenin benzerlik özellikleriyle orantılı ifade edilir.
  3. Limit, D noktası belirli bir yönde hareket ederken oranların sürekli değerini gösterir.

Bu aşamada benzerlik oranlarını ve verilen uzunlukları kullanarak limit değeri bulunur.

Karşılaştırma Tablosu: Limit Hesabı ve Oranlar

Özellik Oran Limit
Sabit Uzunluk EC=22 birim -
Hareketli Nokta D noktası AC kenarında Üzerinde limit alınır
İstenen Oran \frac{BE}{DE} Limit değeri
Yaklaşım Benzerlik oranları Limit sonucu sabit sayı

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen EC = 22 birim
İstenen \lim \frac{BE}{DE}
Yöntem Benzerlik ve oran hesaplama
Sonuç Seçeneklerde verilmiş (2, 13, 40/3, 29/3, 10)

Sık Sorulan Sorular

1. Benzerlik nasıl kullanılır?
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı sabittir. Bu oranları kullanarak bilinmeyen kenar uzunlukları bulunabilir.

2. Limit sorularında nelere dikkat edilmeli?
Hareket eden noktanın hangi değere yaklaştığı ve oranların bu limitteki davranışı önemlidir.

3. Üçgenlerde oran soruları nasıl çözülür?
Üçgenlerin benzerlik kriterleri (Açılar eşit, kenarlar orantılı) kullanılarak eşit oranlar kurulur ve çözüme ulaşılır.

Sonraki Adımlar

Bu tip sorularda benzerlikten limit almaya dair daha fazla örnek görmek ister misiniz? Ya da adım adım benzerlik hesaplamaları gerçekleştirecek detaylı çözümler hazırlamamı ister misiniz?

@luxonyrt

3

Soru Tekrarı

ABC üçgeni ve |EC| = 22 birim olduğuna göre

\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} \bigl(\text{dikdörtgenler alanı}\bigr)

ifadesinin değeri kaçtır?

Ana Hatırlatmalar

  • Limit olarak topladığımız dikdörtgenlerin toplam alanı,
    eğrinin (ya da bandın) altındaki gerçek alana yaklaşır.
  • Şeridin (band’ın) şekli tam olarak ΔACE’ye eşittir.
  • ΔACE bir dik üçgendir ve dik kenarlarından biri |EC| = 22’dir.
  • ΔACE alanı
    \text{Alan} \;=\;\frac12\;\bigl|EC\bigr|\;\times\;\bigl|AE\bigr|

Doğrudan Cevap

Riemann toplamı limitindeki dikdörtgenler bandı, ΔACE’nin alanına eşittir.
O hâlde

\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\bigl(\Delta x_i\cdot f(x_i)\bigr) \;=\; \int_{0}^{22}f(x)\,dx \;=\; \text{Alan}(ΔACE) \;=\; \frac12\;|EC|\;\times\;|AE| \;=\; \frac12\;\cdot 22\;\cdot AE \;=\; 11\,AE.

Burada |AE|, ABC üçgenindeki yüksekliği (A’dan BC’ye inen dik) verir. Üçgen ABC’de

AE,\;AC,\;AB\;\text{ve}\;EC

arasındaki ilişkiyi kullanıp AE’yi bulduktan sonra

\boxed{\,11\,AE\,}

sonucunu (seçeneklerden biri olarak) elde edersiniz.

İçindekiler

  1. Bandın ΔACE’ye Göre Yorumu
  2. ΔACE Alanının Hesaplanması
  3. Üçgen ABC’den AE’nin Bulunuşu
  4. Sonuç ve Seçeneklerle Karşılaştırma

1. Bandın ΔACE’ye Göre Yorumu

Dikdörtgenleri şeride dönüştürdüğümüzde elde ettiğimiz bölge, tam olarak ΔACE’dir.

  • Tabanda CE = 22,
  • Yukarıda sınır eğrisi yerine AC doğrusu var.

Sonuçta Riemann toplamı, ΔACE’nin alanına eşit olur.

2. ΔACE Alanının Hesaplanması

ΔACE dik üçgeninde dik kenarlar:

  • CE = 22,
  • AE = yükseklik.

Alan formülü:

\text{Alan}(ΔACE) = \frac12 \;\times |CE| \;\times |AE| = \frac12\;\cdot 22\;\cdot AE = 11\,AE.

3. Üçgen ABC’den AE’nin Bulunuşu

ABC üçgeninde AE, A’dan BC’ye inen dik.

  • Verilen diğer yan uzunluklar (AC ve AB) yardımıyla
  • Benzer üçgenler veya alan bağıntısı (Alan = ½·AC·AB·sin ∠C) üzerinden
    AE’yi hesaplayabilirsiniz.

Örneğin eğer AC ve AB uzunlukları resimde sayı olarak yazılı ise,

AE \;=\;\frac{AC\;\times\;AB}{BC} \quad(\text{veya benzer bir yükseklik formülü})

kullanılarak bulunur.

4. Sonuç ve Seçeneklerle Karşılaştırma

Son adım olarak AE’nin sayısal değerini yerleştirip

11\,AE

ifadesini seçeneklerle karşılaştırın.

Soruya devam edebilmemiz için, ABC üçgenindeki AC ve AB uzunluklarını da paylaşır mısınız? Böylece AE’yi net biçimde bulup, limit ifadesinin sayısal karşılığını kesin olarak hesaplayalım!