Resimli Soru 11

YKS TYT
1

image
image720×960 30.5 KB

2

Resimli Soru 11 Analizi ve Çözüm

Önemli Noktalar

  • ABC bir üçgendir ve D noktası BC doğrusu üzerinde bir noktadır.
  • 5 önermeden en az 4’ü doğrudur.
  • Yanlış olabilecek önermeyi bulmamız gerekiyor.
  • Önerme I: BA ⟂ AC (BA ve AC dik açı yapar)
  • Önerme II: |AD| = |BD| = |CD| (AD, BD ve CD segment uzunlukları eşittir)
  • Önerme III: m(∠BAD) = m(∠CAD) (açı ölçüleri eşittir)
  • Önerme IV: m(∠DBA) = m(∠BAD) (açı ölçüleri eşittir)
  • Önerme V: A(∠BAD) = A(∠CAD) (açı alanları eşittir, buradaki A muhtemelen ölçü değil açı sembolü, yazım farkı)

En az 4 önerme doğru ise, 1 önerme yanlıştır.

Analiz

  • Önerme I: BA ⟂ AC yani BA dik AC’ye. Bu, ABC üçgeninde A’dan çıkan BA ile AC’nin dik olduğunu söylüyor. Bu önermenin doğru olma ihtimali yüksek ancak şüpheye açık, çünkü genelde üçgende 2 kenar arasında dik açı verilmezse doğruluğu kesin değildir.

  • Önerme II: |AD|=|BD|=|CD| olur mu? D, BC doğrusu üzerinde olduğu için BD ve DC segmentleri toplamı BC’yi verir. AD ise A’dan D’ye olan uzunluk. Üç eşit uzunluk tek bir noktada olmaz. Bu önerme çok büyük ihtimalle yanlıştır.

  • Önerme III: m(∠BAD) = m(∠CAD)
    A ve D noktaları göz önüne alındığında, bu iki açının eşit olması özellikle D BC üzerinde orta nokta ise doğru olabilir.

  • Önerme IV: m(∠DBA) = m(∠BAD)
    Bu açılar da eşit olabilir, özellikle simetri varsa.

  • Önerme V: A(∠BAD) = A(∠CAD) büyük ihtimalle Önerme III ile benzer ifade, doğru olabilir.

Yanlış olan önermeyi tespit etme

|AD|=|BD|=|CD| ifadesi mantıksal olarak mümkün değildir çünkü AD (A-D noktaları arası mesafe) BC doğrusu üzerindeki uzunluklardan bağımsızdır. Diğer eşitlikler önerme olarak dahi doğru olabiliyor.

Doğru cevap: B) II şıkkı (|AD|=|BD|=|CD| yanlıştır.)

Özet Tablo

Önerme Doğruluk Değerlendirmesi
I Muhtemelen doğru
II Yanlış
III Doğru
IV Doğru
V Doğru

Sık Sorulan Sorular

1. D noktası BC üzerinde ise |AD|=|BD|=|CD| mümkün müdür?
Hayır, AD uzunluğu A ile D arasındaki mesafedir ve BC üzerindeki uzunluklarla eşit olması geometrik olarak mantıklı değildir.

2. Önerme III ve V neden eşittir?
Her iki önerme de ∠BAD ve ∠CAD açılarını ifade ettiği için anlam olarak benzerdir; sadece yazım farkı vardır.

3. Dikin açısı nasıl tespit edilir?
BA ⟂ AC ifadesi iki doğrunun dik olduğunu belirtir; bu genellikle koordinat veya geometri bilgisini gerektirir.

Sonraki Adımlar

Benzer geometri sorularında açı ve uzunluk ilişkilerini nasıl analiz edeceğinizi öğrenmek ister misiniz? Ya da bu soru gibi farklı örneklerle pratik yapmak ister misiniz?

@Kxmdkdkdkdl

3

Yukarıda verilen önermelerden hangisi yanlış olabilir?

Önemli Noktalar

  • Hipotenüsün orta noktasına (D) çizilen AD, BD ve CD uzunlukları eşittir; D, dik üçgende çevrel çemberin merkezidir.
  • ∠DBA = ∠BAD eşitliği her dik üçgende, çevrel çemberde eşit yayı gören açılar nedeniyle sağlanır.
  • ∠BAD = ∠CAD (açı ikizlemesi) yalnızca ikizkenar dik üçgende (AB = AC) geçerlidir.

Cevap Özeti

III. önerme, genel bir dik üçgende sağlanmaz.

İçindekiler

  1. Önemli Noktalar
  2. Cevap Özeti
  3. Detaylı Çözüm
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Detaylı Çözüm

  1. I. önerme (BA ⟂ AC): Doğru. A noktasında dik açı oluşturuyorsak ABC, dik üçgendir.
  2. II. önerme (AD = BD = CD): Doğru. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır.
  3. V. önerme (Alan(BAD) = Alan(CAD)): Doğru. AD’nin yüksekliği aynı, tabanları BD = DC ⇒ eşit alan.
  4. IV. önerme (∠DBA = ∠BAD): Doğru. Çevrel çemberde eşit yayları gören açılar eşittir (BD = AD ⇒ yay BD = yay DA).
  5. III. önerme (∠BAD = ∠CAD): Yanlış olabilir. AD, hipotenüsün orta noktası olup açı ikizleyici değildir, yalnızca AB = AC ise gerçekleşir.

Örnek Koordinatla:
A(0,0), B(3,0), C(0,4) → hipotenüs BC uzunluğu 5, D(1.5,2).

  • AD = BD = CD = 2.5
  • ∠DBA ≃ ∠BAD ≃ 53.13°
  • ∠CAD ≠ ∠BAD (30.96° ≠ 53.13°)

Özet Tablosu

Önerme No İfade Doğru/Yanlış Gerekçe
I BA ⟂ AC Doğru A noktasında dik açı
II AD = BD = CD Doğru Çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktası
III ∠BAD = ∠CAD Yanlış Açı ikizlemesi için AB = AC olmalı
IV ∠DBA = ∠BAD Doğru Çevrel çemberde eşit yayı gören açılar
V Alan(BAD) = Alan(CAD) Doğru Taban BD = DC, yükseklik ortak

SSS

  1. Dik üçgende çevrel çember merkezi neden hipotenüsün orta noktasıdır?
    • Hipotenüsün orta noktasına çizilen doğru, dik açının tepe noktasından geçen medyan olup çevrel çember yarıçapıdır.
  2. Açı ikizleyici nasıl çalışır?
    • AD, ∠BAC açısını iki eş parçaya bölerse BD/DC = AB/AC bağıntısı sağlanır (Açı İkizleyici Teoremi).
  3. Çevrel çemberde eşit yayı gören açılar nelerdir?
    • Eşit uzunluktaki kirişlerin oluşturduğu eşit yaylara subtende edilen çevre açılar birbirine eşittir.
  4. Bu soru yapısını benzer dik üçgenlerde nasıl genelleyebiliriz?
    • Hipotenüs orta noktası, hem çevrel çember merkezi hem de alan ve açı eşitliklerini birlikte sağlayan özel bir nokta olur.

Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir dik üçgende açı ikizleyici ve medyan özelliklerini içeren 2 ek problem ister misiniz?
@Kxmdkdkdkdl