Resimli Soru 11: $\displaystyle \frac{1}{1-\cos x} \;+\;\frac{1}{1+\cos x} \;=\;\frac{5}{2}$ olduğuna göre, $\tan x$ kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 50.5 KB

2

Trigonometri Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • Trigonometrik ifadelerde özdeşlikler ve tanımlamalar kullanılır.
  • Dar açılar için trigonometrik oranların işaretlerine dikkat etmek gerekir.
  • Verilen ifadeler genellikle sinüs, kosinüs, tanjant ve cotanjant işlevlerinin birbirine dönüştürülmesiyle çözülür.

İçindekiler

  1. Soru 9 Çözümü
  2. Soru 10 Çözümü
  3. Soru 11 Çözümü

Soru 9 Çözümü

Verilen ifade:

\sqrt{1 + 2 \sin x \cdot \cos x - \tan x \cdot \cos x}

Adım 1: Açıklamalı olarak her terimi sadeleştirelim.

  • Öncelikle, 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x olduğunu biliyoruz.
  • \tan x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x.

Bu durumda ifade:

\sqrt{1 + \sin 2x - \sin x}

Adım 2: İfadeyi açalım veya farklı bir trigonometri kimliği arayalım.

Burada doğrudan açılım yapmak yerine, geniş açılım yaparak sadeleştirebiliriz.

Ancak daha kolay yaklaşım için şunu not edelim:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

Ancak biz bunu zaten kullandık.

Son olarak:

İfade: \sqrt{1 + \sin 2x - \sin x} .

Bu haliyle daha fazla sadeleştirmek için bazı değer aralıkları veya özelleştirme gerekebilir.

Alternatif olarak:

1 + \sin 2x - \sin x = 1 + 2 \sin x \cos x - \sin x = 1 + \sin x (2 \cos x -1)

Bu aşamada işlem yaparken aradan kök çıkarma olup olmayacağına bakılabilir.

Soru 10 Çözümü

Verilen denklem:

\frac{1 + \cot x}{\tan x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2

Amaç: \cot x değerini bulmak.

Adım 1: Trigonometrik oranları sadeleştirelim.

  • \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
  • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Öyleyse:

\left( \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} \right) \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2

Payda ve payda işlemlerini düzenleyelim.

İç parantezin payı:

1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}

İç parantezin tamamı:

\frac{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x}

İfadeye devam:

\frac{(\sin x + \cos x) \cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = -2

Buradaki \cos x sadeleşir:

\frac{(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x} \cdot (\sin x - \cos x) = -2

Çarpalım:

\frac{(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x} = -2

Pay kısmını açarsak:

(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x

O zaman:

\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -2

Her iki tarafı \sin^2 x ile çarpalım:

\sin^2 x - \cos^2 x = -2 \sin^2 x

Sadeleştirirsek:

\sin^2 x + 2 \sin^2 x = \cos^2 x
3 \sin^2 x = \cos^2 x

Şimdi \cot x değerini bulmak için:

\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 3

Karekök alalım:

\cot x = \pm \sqrt{3}

Dar açı olduğu için (x küçük pozitif), \cot x = \sqrt{3}.

Soru 11 Çözümü

Verilen:

\frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{5}{2}

Amaç: \tan x değerini bulmak.

Adım 1: Denklemde ortak payda oluşturalım.

Sağ taraf sabit.

İki kesir toplayalım:

\frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{(1 + \cos x) + (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} = \frac{2}{1 - \cos^2 x}

Ama \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 x = \sin^2 x.

O zaman:

\frac{2}{\sin^2 x} = \frac{5}{2}

Çapraz çarpalım:

4 = 5 \sin^2 x
\sin^2 x = \frac{4}{5}

Adım 2: \tan^2 x hesaplayalım.

\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = 4

Buradan:

\tan x = \pm 2

Dar açı için pozitif kabul edilir:

\tan x = 2

Özet Tablo

Soru No İstenen Sonuç
9 İfade \sqrt{1 + \sin 2x - \sin x} olarak sade
10 \cot x \sqrt{3} (pozitif değer)
11 \tan x 2 (pozitif değer)

Sık Sorulan Sorular

1. Trigonometrik ifadelerde neden özdeşlik kullanılır?
Özdeşlikler karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesini sağlar ve bilinmeyenlerin kolay bulunmasına yardımcı olur.

2. Dar açı koşulu ne anlama gelir?
Dar açı, 0° ile 90° arasında bir açıdır, trigonometrik oranların işaretini belirler ve köklerin doğru pozitif ya da negatif seçilmesini sağlar.

3. \cot ve \tan arasındaki ilişki nedir?
\cot x = \frac{1}{\tan x} dir, yani birbirinin tersidirler.

Sonraki Adımlar

Yardımcı olmak için isterseniz:

  • Bu tip trigonometrik denklemlerde kullanılan temel özdeşlikleri daha detaylı anlatalım mı?
  • Soru 9’daki ifadeyi farklı yöntemlerle nasıl sadeleştirebileceğimizi gösterelim mi?

@Ayse_yildirir

3

Resimli Soru 11: \displaystyle \frac{1}{1-\cos x} \;+\;\frac{1}{1+\cos x} \;=\;\frac{5}{2} olduğuna göre, \tan x kaçtır?

Ana Hatırlatmalar

  • Trigonometrik toplam farkı yapılan kesirlerde paydaları birleştirirken 1-\cos^2x=\sin^2x kimliğini kullanın.
  • Acil açı (0<x<\tfrac\pi2) için \sin x>0,\;\cos x>0 alırız.
  • Çözüm sonunda $\sin^2x$’i bulup buradan \sin x,\;\cos x ve \tan x değerlerine ulaşılır.

Doğrudan Cevap

\displaystyle \tan x = 2.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Verilen ifadeyi paydaları ortaklaştırın:
    \frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{2}{1-\cos^2 x}.
  2. 1-\cos^2x=\sin^2x olduğundan:
    \frac{2}{\sin^2x} = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin^2x = \frac{4}{5}.
  3. Açık açı aralığında \sin x>0 olduğundan:
    \sin x = \frac{2}{\sqrt5}, \quad \cos x = \sqrt{1-\sin^2x} = \frac{1}{\sqrt5}.
  4. Son adımda
    \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/\sqrt5}{\,1/\sqrt5\,} = 2.

2. Özet Tablosu

Adım İşlem/Kimlik Sonuç
Payda birleştirme 1-\cos^2x=\sin^2x \dfrac{2}{\sin^2x}
\sin^2x bulma \dfrac{2}{\sin^2x}=\dfrac{5}{2} \sin^2x=\tfrac45
Açık açıda sin,cos \sin x>0,\;\cos x>0 \sin x=\tfrac{2}{\sqrt5},\;\cos x=\tfrac1{\sqrt5}
\tan x \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} 2

3. SSS

S1. \sin^2x=\tfrac45 ise \cos^2x nasıl bulunur?
C: \cos^2x=1-\sin^2x=1-\tfrac45=\tfrac15.

S2. Acil açı (0°–90°) aralığında \sin x ve \cos x işaretleri nasıldır?
C: Her ikisi de pozitif olur.

S3. Aynı soruda negatif açılar için \tan x değeri nasıl değişirdi?
C: Eğer x ikinci veya üçüncü bölgede olsaydı, işaretler değişir ve sonuç farklı çıkardı.

Bir sonraki adım

Başka bir soru (Resimli Soru 9 veya 10) için de adım adım çözüm ister misiniz? @Ayse_yildirir