Soru: Resimde verilen trigonometrik problem nasıl çözülür?
Cevap:
Resimdeki problemde, verilen ifadeyi anlamak ve çözmek için adım adım ilerleyelim.
İçindekiler
1. Soru Analizi
Soru, trigonometrik fonksiyonların değerleri ile ilgili. Verilen ifadede:
\sin x + \cos x = \frac{1}{2}
şeklinde bir eşitlik var. Burada x açısının sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı verilmiş.
İstenen ise:
\sin^3 x + \cos^3 x
ifadesinin değeridir.
2. Verilenler ve İstenenler
| Verilen | İstenen |
|---|---|
| \sin x + \cos x = \frac{1}{2} | \sin^3 x + \cos^3 x değeri |
3. Çözüm Adımları
Adım 1: Temel trigonometrik ifadeleri hatırlayalım
Öncelikle, \sin^3 x + \cos^3 x ifadesini açalım. Küp toplamı formülünü kullanabiliriz:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Burada a = \sin x, b = \cos x.
Buna göre:
\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)
Adım 2: Bilinen değerleri yerine koyma
Bilinenler:
- \sin x + \cos x = \frac{1}{2}
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1 (trigonometrinin temel özdeşliği)
O halde:
\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{1}{2} \times (1 - \sin x \cos x)
Adım 3: \sin x \cos x değerini bulma
\sin x \cos x değerini bulmak için, verilen ifadeyi karesini alalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2
Sağ taraf:
\frac{1}{4}
Sol taraf:
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4}
Temel özdeşliği kullanalım:
1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}
Buradan:
2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
Yani:
\sin x \cos x = -\frac{3}{8}
Adım 4: Son ifadeyi hesaplama
Buna göre:
\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{1}{2} \times \left(1 - \left(-\frac{3}{8}\right)\right) = \frac{1}{2} \times \left(1 + \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}
4. Sonuç ve Özet
Sonuç olarak:
\boxed{ \sin^3 x + \cos^3 x = \frac{11}{16} }
5. Önemli Formüller Tablosu
| Formül | Açıklama |
|---|---|
| a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) | Küp toplamı formülü |
| \sin^2 x + \cos^2 x = 1 | Temel trigonometrik özdeşlik |
| (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x | Kare alma açılımı |
Özet: Soruda verilen \sin x + \cos x = \frac{1}{2} ifadesinden yola çıkarak, \sin x \cos x değerini bulduk ve ardından küp toplamı formülünü kullanarak \sin^3 x + \cos^3 x değerini hesapladık.
Burada birde payda kısmı var
Resimde verilen trigonometrik problem nasıl çözülür?
Cevap:
Soruda verilen ifade:
\sin x + \cos x = \frac{1}{2}
ve istenen:
\sin^3 x + \cos^3 x
ifadesinin değeridir. Ancak kullanıcı “Burada bir de payda kısmı var” diyerek, soruda paydalı bir ifade olduğunu belirtmiş. Bu durumda, sorunun tam ifadesi şu şekilde olabilir:
şeklinde bir ifade olabilir. Böyle bir durumda, ifadeyi sadeleştirmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz.
İçindekiler
1. Soru Analizi
Verilen:
\sin x + \cos x = \frac{1}{2}
İstenen:
\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}
Bu tür ifadelerde, paydaki küp toplamı formülünden yararlanabiliriz.
2. Verilenler ve İstenenler
| Verilen | İstenen |
|---|---|
| \sin x + \cos x = \frac{1}{2} | \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} ifadesinin değeri |
3. Çözüm Adımları
Adım 1: Küp toplamı formülünü uygulama
Küp toplamı formülü:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Burada a = \sin x, b = \cos x.
O halde:
\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)
Adım 2: İfade sadeleşir
Böylece:
\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x
Adım 3: Temel trigonometrik özdeşlikleri kullanma
Hatırlayalım:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
O halde:
\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin x \cos x
Adım 4: \sin x \cos x değerini bulma
Verilen:
\sin x + \cos x = \frac{1}{2}
Bunun karesini alalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
Açalım:
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4}
Temel özdeşlikten:
1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}
Buradan:
2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
Yani:
\sin x \cos x = -\frac{3}{8}
Adım 5: Sonucu hesaplama
Buna göre:
\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \left(-\frac{3}{8}\right) = 1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}
4. Sonuç ve Özet
Sonuç olarak:
5. Önemli Formüller Tablosu
| Formül | Açıklama |
|---|---|
| a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) | Küp toplamı formülü |
| \sin^2 x + \cos^2 x = 1 | Temel trigonometrik özdeşlik |
| (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x | Kare alma açılımı |
Özet: Soruda verilen \sin x + \cos x = \frac{1}{2} ifadesinden yola çıkarak, \sin x \cos x değerini bulduk ve küp toplamı formülünü kullanarak pay ve paydayı sadeleştirdik. Sonuç olarak, payda içeren ifade \frac{11}{8} olarak bulunur.
Merhaba Nisak,
Paylaştığın görseldeki soruda, bir paralelkenar üzerinde iki iç bölücü doğrunun tabanı böldüğü noktalar verilmiş ve bu bilgiden yararlanarak taban uzunluğu (|BC|) isteniyor. Ancak şekil üzerindeki bazı doğruların paralellik durumları ve noktaların tam isimlendirmesi net değil. Soruyu eksiksiz çözebilmemiz için aşağıdaki bilgileri netleştirebilir misin?
-
Noktalar ve doğrular:
• Paralelkenar ABCD, hangi sırayla çizilmiş? (örn. A → B → C → D sırasındaki köşeler)
• Şekildeki sol eğik doğru D-F noktalarını, sağ eğik doğru ise A-E noktalarını mı birleştiriyor? -
Paralellik koşulları:
• DF doğrusunun, AB kenarına mı yoksa DC kenarına mı paralel olduğu;
• AE doğrusunun, AD kenarına mı yoksa BC kenarına mı paralel olduğu kesin mi? -
Verilen uzunluklar:
• AF = 2 birim olarak belirtilmiş, buradaki F hangi doğru üzerinde?
• AE = 3 birim olarak belirtilmiş, buradaki E hangi doğru üzerinde?
Bu üç bilgiyi tam olarak paylaşırsan, konuyla ilgili “paralellik” ve “benzerlik” teoremlerini adım adım uygulayarak |BC| uzunluğunu doğru şekilde hesaplayabilirim. Şimdilik öğrenci cevap olarak 5 birim yazmış, ancak bu net bilgiye dayalı değil.
Şekli netleştirebilirsen sevinirim!
—
Not: Fotoğraf yatık geldiği için DC // AB veya AD // BC gibi koşulların bozulmaması için şekli dik konumda yeniden çekip yükleyebilirsin.