Soru:
tan x – cot x = 2√3 olduğuna göre, tan³ x + cot³ x toplamının pozitif değeri kaçtır?
Table of Contents
1. Soru Özeti
Elimizde
\tan x - \cot x = 2\sqrt{3}
eşitliği var.
Buna dayanarak
\tan^3 x + \cot^3 x
ifadesinin pozitif değerini bulmamız isteniyor.
2. Çözüm Adımları
-
Değişken tanımı:
t = \tan x
olduğunda \cot x = \frac{1}{t} olur. -
İlk ifadenin karesi:
t - \frac{1}{t} = 2\sqrt{3}
ifadesini karesini alalım:
\bigl(t - \tfrac{1}{t}\bigr)^2 = t^2 + \tfrac{1}{t^2} - 2 = (2\sqrt{3})^2 = 12
Dolayısıyla
t^2 + \tfrac{1}{t^2} = 12 + 2 = 14 . -
t + 1/t değerinin bulunması:
\bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr)^2 = t^2 + \tfrac{1}{t^2} + 2 = 14 + 2 = 16
Buradan
t + \tfrac{1}{t} = \pm 4
olur.
Ancak t - \tfrac{1}{t}=2\sqrt{3}>0 olduğundan t>0 ve dolayısıyla t+\tfrac1t>0 olacaktır.
Bu yüzden
t + \tfrac{1}{t} = 4 . -
Küp toplamının hesaplanması:
Bilinen formül:
t^3 + \tfrac{1}{t^3} = \bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr)^3 \;-\; 3\bigl(t + \tfrac{1}{t}\bigr) .
Buna t+\tfrac1t=4 değerini yerleştirirsek:
t^3 + \tfrac{1}{t^3} = 4^3 - 3\cdot4 = 64 - 12 = 52 .
3. Özet Tablosu
| Adım | İfade veya Sonuç |
|---|---|
| Başlangıç | t - \tfrac1t = 2\sqrt3 |
| Kare alındı | t^2 + \tfrac1{t^2} = 14 |
| Toplam ifadesi | t + \tfrac1t = 4 |
| Küp toplamı | t^3 + \tfrac1{t^3} = 52 |
4. Cevap
tan³ x + cot³ x toplamının pozitif değeri 52’dir.
Soru:
\tan x - \cot x = 2\sqrt{3} olduğuna göre, \tan^3 x + \cot^3 x toplamının pozitif değeri kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifade:
\tan x - \cot x = 2\sqrt{3}
Bizden istenen:
\tan^3 x + \cot^3 x
1. Adım: İfadeleri daha kolay yönetmek için
\tan x = t diyelim. Böylece \cot x = \frac{1}{t} olur.
Verilen ifade:
t - \frac{1}{t} = 2 \sqrt{3}
2. Adım: t - \frac{1}{t} ifadesinin karesi
Öncelikle aşağıdaki ifadeyi hesaplayalım:
\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12
Sol tarafı açalım:
\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}
Buna göre,
t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 = 12 \implies t^2 + \frac{1}{t^2} = 14
3. Adım: Aranan ifade olan \tan^3 x + \cot^3 x ifadesini yazalım
Yani,
t^3 + \frac{1}{t^3}
Bununla ilgili şöyle bir özdeşlik kullanacağız:
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)
Burada a = t, b = \frac{1}{t}.
4. Adım: t + \frac{1}{t} değerini bulma
(t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} = 12 idi.
Ayrıca,
(t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}
Elimizde t^2 + \frac{1}{t^2} = 14 olduğu için,
(t + \frac{1}{t})^2 = 14 + 2 = 16
Dolayısıyla,
t + \frac{1}{t} = \pm 4
Hangi işareti alacağımızı bulmak gerek. Peki hangi işaret uygun?
5. Adım: İşaretlerin tutarlılığını kontrol etme
t - \frac{1}{t} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 > 0 (pozitif).
Bu durumda t ve \frac{1}{t} değerleri pozitif sayılardır (çünkü t pozitif veya negatif, ama sonuçlara göre tutarlı olması gerekir).
Şimdi, t + \frac{1}{t} pozitif ise +4, negatif ise -4.
a = t, b = \frac{1}{t} olduğunda a - b = 2\sqrt{3} pozitif, a + b pozitif olmalı.
Örneğin, t > 0, o halde t + \frac{1}{t} > 0.
Bu nedenle
t + \frac{1}{t} = 4
6. Adım: Son olarak t^3 + \frac{1}{t^3} değerini hesaplama
$
t^3 + \frac{1}{t^3} = (t + \frac{1}{t})^3 - 3 \cdot t \cdot \frac{1}{t} (t + \frac{1}{t}) = (t + \frac{1}{t})^3 - 3 (t + \frac{1}{t})
$
Bu bize:
= 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52
Cevap:
Pozitif değer olarak,
\boxed{52}
Özet Tablosu
| İfade | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| t - \frac{1}{t} | 2\sqrt{3} | Verilen bilgilerden |
| (t - \frac{1}{t})^2 | 12 | Karesi alınarak |
| t^2 + \frac{1}{t^2} | 14 | Açılım ile bulunur |
| (t + \frac{1}{t})^2 | 16 | İki ifade toplamından |
| t + \frac{1}{t} | 4 (pozitif) | Pozitif olarak seçildi |
| t^3 + \frac{1}{t^3} | 52 | Küp toplamı formülü ile hesaplandı |
Sorunun doğru cevabı A) 52.