Soru:
Elemanları doğal sayılardan oluşan 5 elemanlı bir öz kapalı kümenin elemanlarının sayı değerlerinin toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Bir kümenin öz kapalı küme olması için iki şart sağlanmalıdır:
- Kapalı kümenin öz alt küme sayılarının rakamlar çarpımı, kümenin bir elemanı olmalıdır.
- Bu kümenin elemanları, doğal sayılardan oluşmalıdır.
Adımlar
Adım 1: Öz Alt Küme Sayısı Bulma
Bir kümenin alt küme sayısı, aşağıdaki formülle hesaplanır:
$
\text{Alt küme sayısı} = 2^n
$
Burada n, kümenin eleman sayısıdır.
- Küme 5 elemanlı olduğu için alt küme sayısı:
$
2^5 = 32
$
Öz alt küme sayısını bulmak için bir tam küme çıkarılır:
$
\text{Öz Alt Küme Sayısı} = 32 - 1 = 31
$
Adım 2: Alt Küme Sayısının Rakamlar Çarpımı
Öz alt küme sayısının rakamları çarpılır.
- Öz alt küme sayısı: 31
- Rakamların çarpımı:
$
3 \times 1 = 3
$
Bu çarpım, kümenin bir elemanı olmalıdır.
Adım 3: Elemanların Doğal Sayılar Toplamının En Az Olması
Kümenin elemanları doğal sayılardan oluşur ve şartlara uygun olmalıdır:
- Rakamlar çarpımı 3 kümenin bir elemanı olmalıdır.
- Geriye kalan elemanlar doğal sayıların en küçük değerlerinden seçilmelidir.
En küçük doğal sayılar: 1, 2, 3, 4, 5
Ancak 3 zaten kümenin bir elemanı olduğu için elemanlar yeniden sıralanır:
1, 2, 3, 4, 6
(Kümenin eleman toplamı minimum olacak şekilde seçildi.)
Adım 4: Elemanların Toplamını Hesaplama
Kümenin elemanları: 1, 2, 3, 4, 6
Elemanların toplamı:
$
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
$
Cevap: Küme elemanlarının toplamı 16dır.
Özet Tablo:
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| Alt Küme Sayısı | 2^5 = 32 |
| Öz Alt Küme Sayısı | 32 - 1 = 31 |
| Rakamlar Çarpımı | 3 \times 1 = 3 |
| Doğal Sayılar Kümeleri | 1, 2, 3, 4, 6 |
| Elemanların Toplamı | 16 |
Sonuç: En az toplam 16 olur.
Elemanları doğal sayılardan oluşan 5 elemanlı bir öz kapalı kümenin elemanlarının sayı değerlerinin toplamı en az kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, “doğal sayılar” ifadesi içerisinde 0’ın da yer aldığı varsayılmıştır. Buna göre:
İçindekiler
- Öz Kapalı Küme Tanımı
- Alt Küme Sayısı ve Rakamlar Çarpımı
- Temel Adımlar ve Çözüm Yolu
- Temel Kontrol
- Örnek Küme ve En Küçük Toplam
- Çözüm Tablosu
- Kısa Özet
1. Öz Kapalı Küme Tanımı
Bir n elemanlı kümenin alt küme sayısı $2^n$’dir.
- Kapalı küme: Kümenin alt küme sayısının rakamlarının çarpımı da kümenin bir elemanı ise bu kümeye kapalı küme denir.
- Öz kapalı küme: Hem alt küme sayısının rakamlarının çarpımı hem de öz alt kümelerinin (bir tane eksik alt küme sayısı) rakamlarının çarpımı kümenin elemanları arasında bulunuyorsa bu kümeye öz kapalı küme denir.
Bir 5 elemanlı kümenin:
- Alt küme sayısı: 2^5 = 32
- Öz alt küme sayısı: 2^5 - 1 = 31
2. Alt Küme Sayısı ve Rakamlar Çarpımı
- $32$’nin rakamları: 3 ve 2
- Çarpımı: 3 \times 2 = **6**
- $31$’in rakamları: 3 ve 1
- Çarpımı: 3 \times 1 = **3**
Bir kümenin öz kapalı olması için bu iki sonucun (yani 6 ve 3’ün) o kümenin elemanları arasında bulunması gerekir.
3. Temel Adımlar ve Çözüm Yolu
- 5 elemanlı kümede mutlaka 3 ve 6 yer almalıdır.
- Geriye kalan 3 eleman da doğal sayılar (0 dahil) arasından seçilmelidir.
- Kümenin elemanları farklı olmak zorundadır (kümelerde eleman tekrarı olmaz).
- Elemanların toplamının en az olması için mümkün olan en küçük doğal sayılar tercih edilir.
4. Temel Kontrol
“Doğal sayı” tanımı bazı kaynaklarda 1,2,3,\dots şeklinde başlarken; bazı kaynaklarda 0,1,2,3,\dots şeklinde başlar. Soruda “doğal sayılar” ifadesine 0’ı da dahil edersek elemanların toplamını en küçük hale getirmek mümkündür.
5. Örnek Küme ve En Küçük Toplam
Gerekli 2 eleman: 3 ve 6.
Kalan 3 elemanı en küçük şekilde seçmek için: 0, 1, 2.
Böylece kümemiz:
$
{,0,,1,,2,,3,,6}
$
Bu kümenin elemanlarının toplamı:
$
0 + 1 + 2 + 3 + 6 = 12
$
Bu değer, soru seçenekleri içinden en küçük mümkün toplamı verir.
6. Çözüm Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç / Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Alt küme sayısı (2^5=32) | Rakamları 3 ve 2 → Çarpım = 6 | Kümeye 6 dahil olmalı |
| 2. Öz alt kümeler (2^5 - 1=31) | Rakamları 3 ve 1 → Çarpım = 3 | Kümeye 3 dahil olmalı |
| 3. Diğer 3 eleman seçimi | En küçük doğal sayılar (0, 1, 2) eklenir | Küme: {0, 1, 2, 3, 6} |
| 4. Toplam hesaplama | 0 + 1 + 2 + 3 + 6 | 12 |
| 5. Seçenek kontrolü (A) 12, (B) 10 vb. | En az değer 12 | Cevap: 12 |
7. Kısa Özet
- 5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 32, öz alt küme sayısı 31’dir.
- Bu değerlerin rakam çarpımları (6 ve 3) setin elemanı olmak zorundadır.
- “0”’ın doğal sayılara dahil edildiği durumda, kümemizi {0, 1, 2, 3, 6} biçiminde seçerek toplamı 12 elde ederiz.
- Dolayısıyla en az toplam, 12’dir.