Cevap:
Sorunun Özeti
- Bir okul gezisi için iki minibüs kiralanıyor.
- İlk minibüsün yolcu kapasitesinin \frac{3}{5}'i, ikinci minibüsün yolcu kapasitesinin \frac{1}{2}'si doludur.
- Bir molada 2 öğrenci bir minibüsten diğerine geçiyor ve bu sayede minibüslerdeki yolcu sayıları eşitleniyor.
- Minibüslerde toplam 26 koltuk boş kalmaktadır.
- İki minibüsün toplam yolcu kapasitesi nedir?
İpuçları ve Çözüm Yöntemi
- İlk ve ikinci minibüsün yolcu kapasitelerine sırasıyla x ve y diyelim.
- Yolculuğun başlangıcındaki dolu koltuk sayıları:
- İlk minibüs: \frac{3}{5}x
- İkinci minibüs: \frac{1}{2}y
- 2 öğrenci bir minibüsten diğerine geçince, minibüslerdeki yolcu sayıları eşitleniyor:
$$\frac{3}{5}x - 2 = \frac{1}{2}y + 2$$ - Son durumda toplam 26 koltuk boş kaldığı için toplam dolu koltuk sayısı:
$$x + y - (\frac{3}{5}x + \frac{1}{2}y) = 26$$
Adım Adım Çözüm
1. Birinci denklemi düzenleyelim:
$$\frac{3}{5}x - \frac{1}{2}y = 4$$
Her iki tarafa 10 ile çarpıyoruz:
$$6x - 5y = 40$$
Birinci denklem: 6x - 5y = 40
2. İkinci denklemi düzenleyelim:
$$x + y - \frac{3}{5}x - \frac{1}{2}y = 26$$
Paydaları eşitleyelim:
$$x + y - \frac{3x}{5} - \frac{y}{2} = 26$$
Her iki tarafı 10 ile çarpıyoruz:
$$10x + 10y - 6x - 5y = 260$$
$$4x + 5y = 260$$
İkinci denklem: 4x + 5y = 260
3. Denklem Sistemini Çözelim
Denklemler:
- 6x - 5y = 40
- 4x + 5y = 260
İlk denklemi ve ikinci denklemi toplayalım:
$$(6x - 5y) + (4x + 5y) = 40 + 260$$
$$10x = 300$$
$$x = 30$$
x değerini ikinci denkleme koyarak y'yi bulalım:
$$4(30) + 5y = 260$$
$$120 + 5y = 260$$
$$5y = 140$$
$$y = 28$$
Sonuç
- İlk minibüsün yolcu kapasitesi: 30
- İkinci minibüsün yolcu kapasitesi: 28
- Toplam yolcu kapasitesi: $$30 + 28 = 58$$
Doğru cevap: E şıkkı (58).
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Minibüs kapasitelerine x ve y dedik | \frac{3}{5}x, \frac{1}{2}y doluluk | Denklem oluşturuldu |
| İlk denklem oluşturuldu | \frac{3}{5}x - \frac{1}{2}y = 4, düzenlendi | 6x - 5y = 40 |
| İkinci denklem | 4x + 5y = 260 | İkinci denklem hazır |
| x değeri bulundu | x = 30 | İlk minibüs kapasitesi |
| y değeri bulundu | y = 28 | İkinci minibüs kapasitesi |
| Toplam kapasite hesaplandı | x + y = 58 | Sonuç: 58 |
Bir okul gezisi için yolcu kapasiteleri birbirinden farklı iki minibüs kiralanmıştır. Yolculuğa başlarken minibüslerin yolcu kapasitelerinin 3/5’i ve 1/2’si doludur. Bir molada 2 öğrenci bir minibüsten diğerine geçmiş ve bu geçiş sonucunda minibüslerdeki yolcu sayıları eşitlenmiştir. Son durumda minibüslerde toplam 26 koltuk boş kaldığına göre bu iki minibüsün toplam yolcu kapasitesi kaçtır?
İçindekiler
- Problemin Tanımı
- Gerekli Değişkenler ve Bilgiler
- Denklemlerin Kurulması
- Denklemlerin Adım Adım Çözümü
- Sonuç
- Özet Tablo
1. Problemin Tanımı
Bir okul gezisi için kapasitesi farklı olan iki minibüs kiralanmıştır. Yolculuğun başlangıcında:
- Birinci minibüsün doluluk oranı: kapasitesinin 3/5’i
- İkinci minibüsün doluluk oranı: kapasitesinin 1/2’si
Yolculuk sırasında bir mola verildiğinde, 2 öğrenci birinci minibüsten ikinciye geçer. Bu geçişin ardından iki minibüste bulunan yolcu sayıları eşit hâle gelir. En sonda minibüslerdeki boş koltukların toplamı 26 olarak verilir. Bize düşen, bu iki minibüsün toplam kapasitesini (yani koltuk sayıları toplamını) bulmaktır.
2. Gerekli Değişkenler ve Bilgiler
- A: Birinci minibüsün toplam kapasitesi
- B: İkinci minibüsün toplam kapasitesi
- (3/5)A: Birinci minibüsün ilk dolu koltuk sayısı (yolcu sayısı)
- (1/2)B: İkinci minibüsün ilk dolu koltuk sayısı (yolcu sayısı)
3. Denklemlerin Kurulması
-
Yolcu sayılarının eşitliği: Mola sonrası birinci minibüsteki yolcu sayısı, ikinci minibüsteki ile eşitlenir.
- Mola sonrası birinci minibüste:
(3/5)A - 2
(Çünkü 2 yolcu başka minibüse geçmiştir.) - Mola sonrası ikinci minibüste:
(1/2)B + 2
(Çünkü 2 yolcu buraya gelmiştir.) - Bu iki değer birbirine eşit:
(3/5)A - 2 = (1/2)B + 2
- Mola sonrası birinci minibüste:
-
Toplam 26 koltuk boş olması: Son durumda iki minibüsteki toplam dolu koltuk sayısı, (A + B) yani toplam kapasitenin 26 eksiği olmalıdır.
- Son durumdaki toplam yolcu sayısı:
[(3/5)A - 2] + [(1/2)B + 2] = (3/5)A + (1/2)B
(Çünkü −2’nin +2 ile toplanması sıfırlanır.) - Boş koltuk sayısı 26 olduğuna göre:
(A + B) - [(3/5)A + (1/2)B] = 26
- Son durumdaki toplam yolcu sayısı:
4. Denklemlerin Adım Adım Çözümü
Adım 1: Birinci Denklem
(3/5)A - 2 = (1/2)B + 2
Her iki tarafa 2 ekleyip, aynı zamanda paydaları ortadan kaldırmak için işlem yapabiliriz:
(3/5)A − (1/2)B = 4
Paydaları 5 ve 2 olan bu ifadeyi 10 ile çarparsak:
10 \times \left(\frac{3}{5}A\right) - 10 \times \left(\frac{1}{2}B\right) = 10 \times 4
6A - 5B = 40
Adım 2: İkinci Denklem
(A + B) - \left[(3/5)A + (1/2)B\right] = 26
Bu ifadeyi düzenleyelim:
A - \frac{3}{5}A + B - \frac{1}{2}B = 26
\frac{2}{5}A + \frac{1}{2}B = 26
Paydalar 5 ve 2 olduğundan, 10 ile çarparsak:
10 \times \left(\frac{2}{5}A\right) + 10 \times \left(\frac{1}{2}B\right) = 10 \times 26
4A + 5B = 260
Adım 3: Eşzamanlı Çözüm
Elimizde artık iki basit denklem var:
- 6A - 5B = 40
- 4A + 5B = 260
Bu iki denklemi toplayarak B’yi yok edebiliriz:
(6A - 5B) + (4A + 5B) = 40 + 260
10A = 300
A = 30
Bulduğumuz A = 30 (birinci minibüsün kapasitesi). Şimdi ikinci denkleme koyarak B’yi bulalım:
4A + 5B = 260
4(30) + 5B = 260
120 + 5B = 260
5B = 140
B = 28
Bu durumda:
- Birinci minibüs kapasitesi (A) = 30
- İkinci minibüs kapasitesi (B) = 28
- Toplam kapasite = 30 + 28 = 58
5. Sonuç
Soruya göre, iki minibüsün toplam yolcu kapasitesi:
58 (E şıkkı)
6. Özet Tablo
| Adım | Denklem veya İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem Kurma | (3/5)A - 2 = (1/2)B + 2 | (3/5)A - (1/2)B = 4 |
| 2. Denklem Kurma | (A + B) - [(3/5)A + (1/2)B] = 26 | (2/5)A + (1/2)B = 26 |
| 3. Payda Temizleme | 6A - 5B = 40 ve 4A + 5B = 260 | – |
| 4. Sistem Çözümü | 6A - 5B = 40 ve 4A + 5B = 260 toplanır → 10A = 300 → A=30 | A=30 |
| 5. B Bulma | 4×30 + 5B = 260 → 120 + 5B = 260 → B=28 | B=28 |
| 6. Toplam Kapasite | A + B | 30 + 28 = 58 |
Bu hesaplamalar sonucu, iki minibüsün toplam yolcu kapasitesinin 58 olduğu bulunur.
Kısaca özetlemek gerekirse, ilk olarak yolcu sayılarını denklemler halinde ifade ettik, her iki durumda sağlanan koşulları sabit alarak iki denklem oluşturduk ve bu denklemleri çözerek aradaki ilişkiyi analiz ettik. Böylece kapasite toplamının 58 olduğu sonucuna ulaştık.