!IMG_3559|375x500 [Link Silindi]
P(x) üçüncü derece polinom ve k değerleri toplamı nedir?
Önemli Noktalar
- P(x) üçüncü dereceden polinom
- Q(x) = x² + (k - 20)x - k
- R(x) = 2x² + (2k - 43)x + k
- Q(x) ve R(x), P(x)'in çarpanlarıdır
- Amaç: k’nin alabileceği değerlerin toplamını bulmak
P(x) üçüncü dereceden olduğuna göre, çarpanları Q(x) ve R(x) ikinci dereceden ve birinci dereceden olabilir. Ancak her ikisi de ikinci dereceden olduğundan, P(x) = Q(x) * R_1(x) şeklinde olamaz çünkü derece sayısı fazla olur. Diğer ihtimal, Q(x) ve R(x) ortak bir birinci dereceden polinoma bölünebilir, yani ortak bir kökünün olması gerekir.
İçindekiler
Problemin Analizi ve Gerekli Matematiksel Bilgiler
Bir polinomun başka bir polinomun çarpanı olması, diğer polinomlar ile ortak köke sahip olması demektir.
Burada:
- Q(x) ve R(x) polinomlarının P(x)'in birer çarpanı olduğu belirtilmiş.
- Çünkü P(x) üçüncü derece, Q(x) ve R(x) ise şeklinden ikinci derece polinomlar. Bu durumda Q(x) ve R(x) polinomlarının ortak birinci dereceden çarpana sahip olmaları gerekir.
- Yani Q(x) ve R(x) ortak bir köke sahiptir.
Bu durumda, Q(x) ve R(x)'nin ortak kökünü bulmalı ve kapa k için değerleri çıkarmalıyız. Daha sonra bu k değerlerinin toplamını buluruz.
Çözüm Adımları
1. Ortak kökün bulunması
İki polinomun ortak kökü varsa, bu kök her iki polinomu da sıfırlar:
Q(x) = 0 ve R(x) = 0 olacak.
Bunları aşağıdaki şekilde yazalım:
Q(x) = x^2 + (k-20)x - k = 0
R(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k = 0
Çözüm ortak kök aramak için:
- Ortak kök için bir x = a yazalım ve bu a her iki denklemi de sağlamalı.
2. Q(x) = 0 denklemi ile a için k’yi bulalım:
a^2 + (k - 20) a - k = 0
3. R(x) = 0 denklemi ile a için k’yi bulalım:
2a^2 + (2k - 43) a + k = 0
4. k’yi a ile ilişkilendir:
İlk denklemi k cinsinden çözelim:
a^2 + (k - 20)a - k = 0 \Rightarrow
(k - 20)a - k = -a^2 \Rightarrow
ka - 20a - k = -a^2 \Rightarrow
k(a - 1) = 20a - a^2 \Rightarrow
k = \frac{20a - a^2}{a - 1}
5. Aynı k’yı R(x) denklemi için yaz:
2a^2 + (2k - 43)a + k = 0
Yerine koy:
2a^2 + \left(2 \times \frac{20a - a^2}{a - 1} - 43\right)a + \frac{20a - a^2}{a - 1} = 0
Hepsini birleştirip sadeleştir.
6. Payda ve payı düzenle:
2a^2 + \left( \frac{2(20a - a^2)}{a-1} -43 \right) a + \frac{20a - a^{2}}{a-1} = 0
Daha kolay olması için en az paydalı ortak payda getir:
Tüm ifadeyi (a-1) ile çarp:
2a^2 (a-1) + \left[2(20a - a^2) - 43(a-1)\right] a + 20a - a^2 = 0
Dağıtalım:
2a^3 - 2a^2 + (40a - 2a^2 - 43a + 43) a + 20a - a^2 = 0
2a^3 - 2a^2 + (40a^2 - 2a^3 - 43a^2 + 43a) + 20a - a^2 = 0
Sadeleştirelim:
2a^3 - 2a^2 + (40a^2 - 2a^3 - 43a^2 + 43a) + 20a - a^2 = 0
2a^3 - 2a^2 + ( -3a^2 - 2a^3 + 43a ) + 20a - a^2 = 0
Gruplayalım:
(2a^3 - 2a^3) + (-2a^2 -3a^2 - a^2) + (43a + 20a) = 0
0 + (-6a^2) + 63a = 0
-6 a^2 + 63 a = 0
a(-6 a + 63) = 0
7. a’nın köklerini bul:
a = 0 \quad \text{veya} \quad -6 a + 63 = 0 \Rightarrow a = \frac{63}{6} = 10.5
8. a için k değerlerini yazalım:
k = \frac{20 a - a^2}{a - 1}
a=0:
k = \frac{0 - 0}{0 - 1} = 0
a=10.5:
k = \frac{20(10.5) - (10.5)^2}{10.5 - 1} = \frac{210 - 110.25}{9.5} = \frac{99.75}{9.5} = 10.5
9. Sonuç:
K değerleri: k = 0 ve k = 10.5 = \frac{21}{2}
Toplamları:
0 + \frac{21}{2} = \frac{21}{2}
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Ortak kök var mı? | Q(x) ve R(x) polinomlarının ortak kökü aranır | Evet, a |
| k’nin fonksiyonu | k = \frac{20 a - a^{2}}{a-1} bulunur | — |
| Denklemin sadeleşmesi | a(-6a + 63) = 0 | a = 0 veya a = \frac{21}{2} |
| k’nin değerleri | k=0 ve k = \frac{21}{2} | — |
| k değerlerinin toplamı | 0 + \frac{21}{2} = \frac{21}{2} | — |
Sık Sorulan Sorular
1. Polinomların ortak kökü ne anlama gelir?
İki polinomun ortak kökü varsa, bu sayı her iki polinomun da sıfır yaptığı değerdir. Ortak kök var ise, bir polinom diğerinin çarpanlarından biridir.
2. k nasıl bulduk?
Ortak kök a için k değişkenini bir polinomun kök denklemi üzerinden bulduk ve diğer polinoma yerine koyduk.
3. Başka k değerleri olabilir mi?
Yaptığımız cebirsel işlemler sonuç vermediği için sadece bu iki değeri elde ederiz.
Sonraki Adımlar
Başka polinomların ortak kökleri ve katsayı ilişkilerini öğrenmek ister misiniz? Yine benzer örneklerle devam edebilirim.
**Soru: P(x) üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere;
Q(x) = x² + (k – 20)x – k ve
R(x) = 2x² + (2k – 43)x + k polinomlarının P(x) polinomunun birer çarpanı olduğu biliniyor.
Buna göre, k’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?**
Önemli Noktalar
- P(x) üçüncü dereceden olduğundan içinde en çok bir ikinci dereceli çarpan bulunur.
- İki farklı ikinci dereceli polinomun aynı üçüncü dereceliye bölünebilmesi için ortak bir lineer çarpanı olması gerekir.
- Ortak kök x = k olarak bulunur ve buradan k = 0 veya k = \tfrac{21}{2} elde edilir.
Cevap:
k’nin alabileceği değerler 0 ve \tfrac{21}{2} olduğuna göre toplamları
0 + \frac{21}{2} \;=\; \frac{21}{2}.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- P(x) üçüncü dereceden ve Q(x), R(x) ikişer dereceli olduğundan her ikisinin de P(x)’in çarpanı olması için ortak bir lineer çarpana (ortak köke) sahip olmaları gerekir.
- Ortak kök α için Q(α)=0 ve R(α)=0 olmalı.
- 2\,Q(x)-R(x) işlemi ortak kökü bulmayı kolaylaştırır:
2Q(x)-R(x)=2[x^2+(k-20)x-k]\;-\;[2x^2+(2k-43)x+k]
=3(x-k).
Ortak kök x=k olur.
4. Q(k)=0\Rightarrow k(2k-21)=0\Rightarrow k=0\text{ veya }k=\tfrac{21}{2}.
Aynı şekilde R(k)=0 da bu değerleri verir.
5. Böylece k için iki değer elde edilir ve toplamları $\tfrac{21}{2}$’dir.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Q(x) = x^2+(k-20)x-k | R(x) = 2x^2+(2k-43)x+k |
|---|---|---|
| Derece | 2 | 2 |
| Genel Şekil | x^2+(k-20)x-k | 2x^2+(2k-43)x+k |
| Ortak Kök | x=k ⇔ k(2k-21)=0 | x=k ⇔ 2k(2k-21)=0 |
| Kabul Edilen k | 0,\;\tfrac{21}{2} | 0,\;\tfrac{21}{2} |
Özet Tablo
| k değeri | Q(k)=0 durumu | R(k)=0 durumu |
|---|---|---|
| 0 | 0^2-20·0-0=0 | 2·0^2-43·0+0=0 |
| \tfrac{21}{2} | (\tfrac{21}{2})^2-\,10·\tfrac{21}{2}-\tfrac{21}{2}=0 | 2(\tfrac{21}{2})^2-22·\tfrac{21}{2}+\tfrac{21}{2}=0 |
SSS
- S: Neden önce ortak kök arıyoruz?
C: İki ikinci derecelinin üçüncü dereceliye bölünebilmesi için ortak bir lineer çarpan gerekir. - S: Ortak kök nasıl x=k bulunuyor?
C: 2Q(x)-R(x)=3(x-k) ifadesi sıfırlandığında x=k elde edilir. - S: k=0 veya k=21/2 dışında başka değer olmaz mı?
C: Elde edilen denklemler yalnızca bu iki kökü verir. Başka çözüm yoktur. - S: Sonuç hangi seçenekte?
C: \displaystyle\frac{21}{2} (Seçenek E).
Bu yönteme uygun 3 alıştırma sorusu çözmek ister misiniz?
@Ecenaz_Akbulut