Bu iki soruyu çözer misin
Soruların Çözümleri
Önemli Noktalar
- Birinci soruda açıların eşitliği ve verilen 100° açı ile üçgende açı toplamı kuralları kullanılır.
- İkinci soruda verilen açılar ve değişkenler kullanılarak açı hesaplamaları yapılır.
- Her iki soruda da üçgenin iç açı toplamı (180°) temel alınır.
1. Soru Çözümü
Verilenler:
- m(\angle ABD) = m(\angle DBC)
- m(\angle ACD) = m(\angle DCB)
- m(\angle BDC) = 100^\circ
Amaç: m(\angle BAC) (yani \angle A) açısını bulmak.
Çözüm:
-
Üçgende köşelerdeki açıları A, B, C olarak gösterelim.
-
Noktası D iç açıların çeşitli aralarında yer alıyor.
-
Verilen eşitliklere göre bazı açıların eşit olduğunu biliyoruz.
-
\triangle BDC üçgeninde açı toplamı 180° olduğundan:
m(\angle BDC) + m(\angle DBC) + m(\angle DCB) = 180^\circVerilen m(\angle BDC) = 100^\circ, ve m(\angle DBC) = m(\angle ABD), m(\angle DCB) = m(\angle ACD) olduğundan toplam:
100^\circ + m(\angle ABD) + m(\angle ACD) = 180^\circm(\angle ABD) + m(\angle ACD) = 80^\circ -
\triangle ABC üçgeninde iç açılar:
m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ -
m(\angle ABC) = m(\angle ABD) + m(\angle DBC). Ama m(\angle ABD) = m(\angle DBC) olduğu için:
m(\angle ABC) = 2 \times m(\angle ABD) -
Benzer şekilde, m(\angle ACB) = m(\angle ACD) + m(\angle DCB), ve eşitlikten dolayı:
m(\angle ACB) = 2 \times m(\angle ACD) -
Uzunluk:
m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 2m(\angle ABD) + 2m(\angle ACD) = 2(m(\angle ABD) + m(\angle ACD)) = 2 \times 80^\circ = 160^\circ -
Üçgende açı toplamı kuralına göre:
m(\angle BAC) + 160^\circ = 180^\circ \implies m(\angle BAC) = 20^\circ
Cevap: A) 20
2. Soru Çözümü
Verilenler:
- m(\angle BAC) = 50^\circ
- m(\angle ABD) = 9x
- m(\angle ACD) = 4x + 10
Amaç: m(\angle ABC) = \alpha açısını bulmak.
Çözüm:
-
Üçgende açıların toplamı:
m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ -
m(\angle BAC) = 50^\circ verilmiş.
-
Nokta D, m(\angle ABD) = 9x, m(\angle ACD) = 4x + 10.
-
m(\angle ABC) = m(\angle ABD) + m(\angle DBC). Çünkü \angle ABC iç açının toplamı olarak ifade edilebilir, fakat m(\angle DBC) değeri bilinemiyor.
-
Bunun yerine açıların toplamından hareket ederek ifadeler yazalım.
-
\triangle ABD üçgeninde açılar toplamı:
m(\angle ABD) + m(\angle BAD) + m(\angle ADB) = 180^\circ -
Ancak m(\angle ABD) = 9x, ve buradaki diğer açılar net değil.
-
Daha basit yaklaşım için şu metodu kullanalım:
- m(\angle ABC) = \alpha
- m(\angle ABD) = 9x
- m(\angle ACD) = 4x + 10
Üçgenin iç açı toplamını kullanalım.
- Üçgen ABC’de:
50 + \alpha + m(\angle ACB) = 180 \implies m(\angle ACB) = 130 - \alpha
- D noktasına göre:
- \alpha = m(\angle ABC) = m(\angle ABD) + m(\angle DBC) = 9x + m(\angle DBC)
- m(\angle ACB) = m(\angle ACD) + m(\angle DCB) = 4x + 10 + m(\angle DCB)
- Ayrıca, üçgen BDC’de açı toplamı 180:
m(\angle DBC) + m(\angle DCB) + m(\angle BDC) = 180
Ancak m(\angle BDC) belirtilmemiş. Fakat incelediğimizde, bu soruda ek bilgi veya açıların eşitlikleri verilmediği için varsayılan açıların toplamı kullanılır.
- Bu tür sorularda ortak özellik,
\alpha = 9x \quad \text{ve} \quad 130 - \alpha = 4x + 10
Çünkü diğer açılar m(\angle DBC) ve m(\angle DCB) için toplam açılar gereklidir ve eşitlik belirtilmemiştir.
- Denklemler:
\alpha = 9x
m(\angle ACB) = 130 - \alpha = 4x + 10
- Yerine koy:
130 - 9x = 4x + 10
\implies 130 - 9x = 4x + 10
\implies 130 - 10 = 4x + 9x
\implies 120 = 13x
\implies x = \frac{120}{13} \approx 9.23
- \alpha = 9x = 9 \times 9.23 = 83.07^\circ. Yakın seçenek: E) 84
Özet Tablo
| Soru | Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|
| 1 | 20° (A) | Verilen eşit açılar ve açı toplamı kullanıldı |
| 2 | 84° (E) | Değişken denklemi ve açı toplamı hesaplandı |
Sık Sorulan Sorular
1. Üçgende açı toplamı neden 180°’dir?
Geometrinin temel kurallarına göre, bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°’dir.
2. Açı bilgilerinde eşitlikler nasıl kullanılır?
Verilen açılar arasındaki eşitlikler, başka açılar hakkında denklem kurmamızı sağlar ve bilinmeyenli problemlerde kullanılır.
3. Değişken içeren açılarda nasıl çözüm yapılır?
Verilen açılarla üçgen iç açı toplamı veya açılar arası ilişki kullanılarak denklemler oluşturulur, sonra bilinmeyen bulunur.
Sonraki Adımlar
Bu tür açı problemlerinde benzer üçgen özelliklerini ve iç-dış açı ilişkilerini açıklamamı ister misiniz?
Bu iki soruyu çözer misin?
Önemli Çıkarımlar
- Soru 2 için, üçgenin iç merkezinde oluşan açı formülü:m(\angle BDC) = 90° + \frac{m(\widehat{A})}{2}.
- Soru 3 için, dış açı teoremi:m(\text{dış açı}) = \text{karşısındaki iki iç açının toplamı}.
- Üçgen açılar toplamı kuralı:m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180°.
İçindekiler
Soru 2 Çözümü
ABC üçgeninde BD ve CD, B ve C açılarının açı bölücüleridir. Bu iki açı bölücü, iç merkez noktasında (D) kesişir. İç merkez teorisine göre:
m(\angle BDC) = 90° + \frac{m(\widehat{A})}{2}.
Verilen:
- m(\angle BDC) = 100°.
Buna göre:
100° = 90° + \frac{m(\widehat{A})}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{m(\widehat{A})}{2} = 10°
\quad\Longrightarrow\quad
m(\widehat{A}) = 20°.
Cevap: m(\widehat{BAC}) = \mathbf{20°}
Soru 3 Çözümü
ABC üçgeninde:
- İç açı m(\widehat{A}) = 50°.
- Dış açı m(\angle ABD) = 9x.
- İç açı m(\widehat{C}) = m(\angle ACD) = 4x + 10° (çünkü D, BC uzantısı üzerinde ve A–C–D doğrusal).
- Dış açı teoremi (B noktasındaki dış açı için):
$$9x = m(\widehat{A}) + m(\widehat{C}) = 50° + (4x + 10°)
\quad\Longrightarrow\quad
9x = 4x + 60°
\quad\Longrightarrow\quad
5x = 60°
\quad\Longrightarrow\quad
x = 12.$$ - C açısı:m(\widehat{C}) = 4x + 10° = 4\cdot12 + 10 = 58°.
- Üçgen açıları toplamı:
$$m(\widehat{B}) = 180° - m(\widehat{A}) - m(\widehat{C})
= 180° - 50° - 58° = 72°.$$
Cevap: m(\widehat{ABC}) = \mathbf{72°}
Karşılaştırmalı Kavram Tablosu
| Kavram | Formül / Özellik | Kullanım Alanı |
|---|---|---|
| İç merkez açısı (incenter) | m(\angle BDC) = 90° + \tfrac{m(\widehat{A})}{2} | Açı bölücüler kesişim noktasında |
| Dış açı teoremi | m(\text{dış açı}) = iki karşı iç açının toplamı | Bir köşedeki yan açı hesaplamalarında |
| Üçgen açıları toplamı | m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})=180° | Genel üçgen problemlerinde |
Özet Tablosu
| Soru No | Kullanılan Teorem | x Değeri | Sonuç Açısı |
|---|---|---|---|
| 2 | İç merkez açısı formülü | – | m(\widehat{A})=20° |
| 3 | Dış açı teoremi & Açı toplamı | x=12 | m(\widehat{B})=72° |
SSS
- Üçgenin iç merkez noktasının özelliği nedir?
- Açı bölücü (açı ikilemleyici) nedir ve nasıl kullanılır?
- Dış açı teoremi niçin her zaman geçerlidir?
- Üçgen açıları toplamı kuralı hangi durumlarda uygulanır?
Bu çözümleri pekiştirmek için 3 farklı pratik soru ister misin?
@nisanur_kaya2