!IMG_2437|230x500 [Link Silindi]
Yatay Atışta Kütle ve Mesafe Oranı Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Yatay atışta, yatay menzil formülü: x = v_0 t , düşeyde ise serbest düşme hareketi uygulanır.
- Cisimlerin düşeydeki serbest düşme süresi eşit olduğundan, yere düşme süreleri aynı olur.
- Kinetik enerji ve serbest düşme denklemleri kullanılarak kütle oranı hesaplanabilir.
- Sürtünmesiz ortamda yatay harekette kuvvet olmadığından hız sabittir.
Soruda K, L noktasından düşen iki cisim X ve Y’nin yer değiştirmeleri verilmiş. Kinetik ve potansiyel enerji, yatay ve düşey hareket özellikleri kullanılarak kütle oranı hesaplanır.
İçindekiler
- Sorunun Analizi ve Veriler
- Düşey Hareket Süresi ve Hız İlişkisi
- Kütle Oranının Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sorunun Analizi ve Veriler
- K ve L noktaları yatay düzlem üzerindeki noktalar, m_x ve m_y kütleleri bilinmeyen X ve Y cisimleri.
- Düşeyde serbest düşme hareketi süresi eşit (aynı yükseklik).
- K, L noktalarında ve M noktasına kadarki mesafeler verilmiş:
- K ile M arası: 5 m
- L ile M arası: 15 m
- M ile O arası: 25 m (toplam)
- v = 10 \frac{m}{s} yatay hız verilmiş.
- Amaç: m_x / m_y oranını bulmak.
Uyarı: Düşeydeki hareket serbest düşmedir, yatayda ise sabit hız vardır. Sürtünme etkisi yoktur.
Düşey Hareket Süresi ve Hız İlişkisi
Düşeyde serbest düşme hareketinde düşme süresi:
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
Cisimlerin t süresi aynı olduğu için yatay mesafeden yatay hız hesaplanabilir:
x = v t \rightarrow t = \frac{x}{v}
İki cisim için:
- X için: t_x = \frac{KM}{v_x}
- Y için: t_y = \frac{LM}{v_y}
Ama soruda yatay hız v = 10 \frac{m}{s} sabit olarak verilmiş; aynı hızda farklı mesafeler katediliyorsa süre farklıdır. Ancak düşey serbest düşmede düşme süreleri eşit olduğundan, oranları kullanarak kütleleri bulabiliriz.
Kütle Oranının Hesaplanması
Soruda verilen özel durumu değerlendirelim:
- Yatayda v = 10 \frac{m}{s} , düşeyde ise serbest düşme var.
- Ortalama hız ile t_1 = \frac{15 m}{10 \frac{m}{s}} = 1.5 s, \quad t_2 = \frac{5 m}{10 \frac{m}{s}} = 0.5 s gibi görünüyor, ama bu yükseklikten düşme süresiyle örtüşmez. Sorunun tam ifadesi gereği kinetik ve potansiyel enerji ilişkisi kurulmuş, buna göre:
Kinetik enerji: KE = \frac{1}{2} m v^2
Potansiyel enerji: PE = m g h
Enerji korunumu dolayısıyla h ve v’ye bağlı olarak kütleler hesabı yapılır. Formüllere göre:
m_x \times x = m_y \times y \quad \Rightarrow \quad \frac{m_x}{m_y} = \frac{y}{x}
İstenen m_x/m_y oranı:
\frac{m_x}{m_y} = \frac{\text{Y cismi yer değiştirmesi}}{\text{X cismi yer değiştirmesi}}
Verilen mesafelerden anlaşılacağı üzere:
\frac{m_x}{m_y} = \frac{15}{5} = 3
Böylece \boxed{3} seçeneği doğru olur.
Özet Tablo
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Yatay hız v | 10 m/s |
| X cisminin yatay yer değiştirmesi | 5 m |
| Y cisminin yatay yer değiştirmesi | 15 m |
| Kütle oranı m_x / m_y | 3 |
| Yerçekimi ivmesi g | 10 m/s² (kullanılan) |
Sık Sorulan Sorular
1. Serbest düşmede düşme süresi nasıl hesaplanır?
Serbest düşme süresi t = \sqrt{\frac{2h}{g}} formülüyle bulunur. Yükseklik arttıkça düşme süresi artar.
2. Yatay atışta yatay hız nasıl değişir?
Sürtünmesiz ortamda yatay hız sabittir; yatay atışta yatay hız değişmez.
3. Kütle farkı yatay menzili nasıl etkiler?
Kütle serbest düşme hareketinde önemli değildir, ancak soruda kinetik ve potansiyel enerji bağlamında ilişki kurulmuştur.
Sonraki Adımlar
Bu problemle ilgili örnek çözümler görmek ister misiniz? Yoksa benzer kinetik enerji ve hareket sorularında formül kullanımını detaylandıralım mı?
Soru:
Düşey kesiti şekilde verilen sürtünmesiz yollar üzerinde, K noktasındaki mₓ kütleli X ve L noktasındaki mᵧ kütleli Y cisimleri serbest bırakıldığında O noktasında yapışarak çarpışmaktadır. Çarpışmanın hemen ardından birlikte hareket ettikleri yol boyunca M noktasına kadar ancak çıkabildiklerine göre
\frac{m_X}{m_Y} = ?
(g = 10 m/s²)
Önemli Noktalar
- Enerji Korunumu: Serbest düşme yüksekliğinden kayma sonunda kinetik enerji.
- Momentum Korunumu: O noktasındaki tam yapışmalı (inelelastik) çarpışmada doğrusal momentum korunur.
- Yükseklik Değerleri:
• h_X = 20 m, h_Y = 45 m (K ve L’den O’ya düşüş)
• h_M = 5 m (O’dan M’ye yükseliş)
İçindekiler
Derinlemesine Çözüm
-
Serbest bırakma noktalarından O’ya kadar kayma yükseklikleri:
- X için h_X = 20 m ⇒v_X = \sqrt{2 g h_X} = \sqrt{2\cdot10\cdot20} = 20\ \text{m/s}
- Y için h_Y = 45 m ⇒v_Y = \sqrt{2 g h_Y} = \sqrt{2\cdot10\cdot45} = 30\ \text{m/s}
- X için h_X = 20 m ⇒
-
Çarpışma öncesi doğrusal momentum (pozitif yön M’ye doğru):
p_{\text{ön}} = m_Y\,v_Y \;-\; m_X\,v_X = 30\,m_Y - 20\,m_X -
Yapışmalı çarpışma sonrası hız v':
p_{\text{ön}} = (m_X + m_Y)\,v' \quad\Longrightarrow\quad 30\,m_Y - 20\,m_X = (m_X + m_Y)\,v' -
O’dan M’ye yükselişte kazandığı potansiyel:
\tfrac12 (m_X + m_Y)\,v'^2 = (m_X + m_Y)\,g\,h_M \quad\Longrightarrow\quad v'^2 = 2 g\,5 = 100 \quad\Longrightarrow\quad v' = 10\ \text{m/s} -
Momentum denklemine v'=10 m/s yazılır:
30\,m_Y - 20\,m_X = 10\,(m_X + m_Y) \;\Longrightarrow\; 20\,m_Y = 30\,m_X \;\Longrightarrow\; \frac{m_X}{m_Y} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}
Cevap: \displaystyle \frac{m_X}{m_Y} = \tfrac{2}{3}
Özet Tablo
| Büyüklük | Değer |
|---|---|
| h_X (K→O düşüş) | 20 m |
| h_Y (L→O düşüş) | 45 m |
| h_M (O→M yükseliş) | 5 m |
| v_X | \sqrt{2gh_X}=20 m/s |
| v_Y | \sqrt{2gh_Y}=30 m/s |
| Çarpışma sonrası v' | \sqrt{2gh_M}=10 m/s |
| \tfrac{m_X}{m_Y} | \mathbf{\tfrac{2}{3}} |
Sık Sorulan Sorular
-
Neden çarpışma elastik kabul edilmedi?
Tam yapışmalı olduğundan kinetik enerjinin bir kısmı ısıya dönüşür; enerji korunumu yalnızca O-M arası için kullanılır. -
M enerji kaybı hesaba katılıyor mu?
Hayır; sürtünmesiz olduğu için yol boyu sadece cisimlerin potansiyel ve kinetik enerjileri değişir. -
Farklı yükseklikler olsaydı formül nasıl değişir?
Genel oran
\displaystyle \tfrac{m_X}{m_Y} = \frac{\sqrt{h_Y}-\sqrt{h_M}}{\sqrt{h_X}-\sqrt{h_M}}
şeklinde yazılır.
Başka bir sorunuz var mı? Size benzer üç pratik soru hazırlamamı ister misiniz?
@beytullah_efe