Resimli Soru 11-02-2026 15:53:58

YKS TYT
1

IMG_20260211_153646
IMG_20260211_153646720×960 24.8 KB

2

16^12 + 46^52 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Modüler aritmetikte (kalan problemi) büyük üslerde sayılar doğrudan hesaplanmaz, üsler mod döngüleri hesaplanarak işlem yapılır.
  • 9’a bölmede kalan bulmak için sayıyı 9’a göre modulo alırız.
  • Euler teoremi veya benzeri kalıplar kullanılarak üsler küçültülür.
  • 16 mod 9 ve 46 mod 9 değerleri hesaplanarak işlem kolaylaşır.

16^12 + 46^52 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan hesaplamak için:

İçindekiler

  1. Adım Adım Mod 9 Hesaplama
  2. Üslerin Mod Döngüsü
  3. Sonuç ve Kalanın Belirlenmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Adım: Mod 9’a Göre Sayıların Basitleştirilmesi

Önce taban sayılar mod 9’da karşılığına bakılır:

  • 16 mod 9:
    16 ÷ 9 = 1 kalan 7 → 16 ≡ 7 (mod 9)

  • 46 mod 9:
    46 ÷ 9 = 5 kalan 1 → 46 ≡ 1 (mod 9)

Buna göre:

16^{12} + 46^{52} \equiv 7^{12} + 1^{52} \pmod{9}

2. Adım: Üslerin Mod 9 Döngüsü

7’nin mod 9 üzerindeki döngüsü:

7¹ ≡ 7 mod 9
7² = 49 ≡ 4 mod 9 (çünkü 49 ÷ 9 = 5 kalan 4)
7³ = 7² × 7 = 4 × 7 = 28 ≡ 1 mod 9 (28 ÷ 9 = 3 kalan 1)
7⁴ = 7³ × 7 = 1 × 7 = 7 mod 9

Görüldüğü üzere, 7’nin mod 9 üzerindeki kuvvetleri 3’lü döngü oluşturuyor:
Döngü = {7, 4, 1}

12 mod 3 = 0 (çünkü 3 x 4 = 12)

Bu durumda,
7¹² ≡ döngünün 3. elemanı ≡ 1 mod 9

1’nin herhangi bir kuvveti 1’dir:

1⁵² ≡ 1 mod 9

3. Adım: Sonucun Mod 9 Kalanını Hesaplama

7^{12} + 1^{52} ≡ 1 + 1 \equiv 2 \pmod{9}

Yani, ifadenin 9 ile bölümünden kalan 2’dir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç (mod 9)
16 mod 9 16 → 7 7
46 mod 9 46 → 1 1
7’nin döngüsü 7,4,1 (3’lü) 7¹² ≡ 1
1’nin kuvveti 1⁵² ≡ 1 1
Toplam 7¹² + 1⁵² 1 + 1 = 2

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 7’nin mod 9 döngüsünü hesapladık?
Büyük üslerde doğrudan hesaplama zor olduğu için modüler döngüler kullanılır. Bir sayının moduna göre üslerinin bazı tekrar eden döngüleri vardır ve bu döngüyü bulup üssü mod döngü uzunluğuna indirgeriz.

2. 1’in herhangi bir kuvveti neden 1 mod 9’dur?
1’in herhangi bir gücü her zaman 1’dir, çünkü 1 çarpma işleminde etkisiz elemandır.

3. Bu yöntemi başka modüler tabanlar için de kullanabilir miyiz?
Evet. Modüler aritmetik ile büyük sayıların kalanlarını farklı tabanlarda hesaplamak için döngüler bulunur ve Euler teoremi gibi araçlar kullanılır.

Sonuç: Sorunun doğru cevabı C) 2 şıkkıdır.

Başka hangi modüler aritmetik problemlerini adım adım çözmemi ister misiniz?
@Vedat4

3

16^12 + 46^52 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

  • Modüler Aritmetik ile büyük üsler, küçük tabana indirgenerek hesaplanır.
  • 9 için Euler Φ-fonksiyonu değeri ϕ(9)=6 olduğundan, a ile 9 aralarında asalsa a^6\equiv1\pmod9.
  • Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

16≡7 (mod 9) ve 46≡1 (mod 9). Euler Teoremi’ne göre

16^6\equiv1\pmod9,\qquad 46^6\equiv1\pmod9.

Buna göre

16^{12}=(16^6)^2\equiv1^2=1\pmod9,
46^{52}=46^{6\cdot8+4}=(46^6)^8\cdot46^4\equiv1^8\cdot1^4=1\pmod9.

Toplam 1+1=2\pmod9 olur.
Cevap: 2 (C şıkkı)

İçindekiler

  1. Modüler Aritmetik ve Euler Teoremi Kavramları
  2. Çözüm Adımları
  3. Yaklaşımların Karşılaştırılması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Modüler Aritmetik ve Euler Teoremi Kavramları

Modüler aritmetikte a\equiv b\pmod n demek, n\mid(a-b) demektir.

  • Euler Teoremi: (a,n)=1 ise $$a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n.$$
  • 9 için \varphi(9)=9\bigl(1-\tfrac13\bigr)=6.
  • Rakamlar toplamı yöntemi: Bir sayı mod 9, rakamlar toplamı mod 9’a eşittir.

Çözüm Adımları

  1. 16 mod 9: 16=9+7\implies16\equiv7\pmod9.
  2. 46 mod 9: 46=5\cdot9+1\implies46\equiv1\pmod9.
  3. Euler Teoremi uygulaması:
    • 16^{12}=(16^6)^2\equiv1^2=1\pmod9.
    • 46^{52}=46^{6\cdot8+4}=(46^6)^8\cdot46^4\equiv1^8\cdot1^4=1\pmod9.
  4. Toplam: 1+1=2\pmod9 → Kalan 2.

Yaklaşımların Karşılaştırılması

Yaklaşım Temel Fikir Avantajlar Dezavantajlar
Euler Teoremi a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n Genel, büyük üsleri hızla indirger Aralarında asallık şartı
Rakamlar Toplamı Yöntemi Sayı ≡ rakamlar toplamı (mod 9) Hızlı, zihinden pratik Çok basamaklı rakamlarda toplama yükü

Özet Tablosu

İfade Mod 9 Değeri Açıklama
16 7 16=9+7
46 1 46=5\cdot9+1
16^{12} 1 (7^6)^2\equiv1^2
46^{52} 1 (1^6)^8\cdot1^4\equiv1
Toplam 2 1+1\equiv2

SSS

S1: Euler Φ-fonksiyonu nedir?
C1: \varphi(n), 1’den n’e kadar aralarında asal sayıların sayısını verir.

S2: Mod 9’da üs alırken nelere dikkat edilmeli?
C2: Önce tabanı 9’a göre indir (mod 9), sonra döngü uzunluğunu (6) kullanarak büyük üsleri küçült.

S3: Rakamlar toplamı yöntemi her zaman geçerli mi?
C3: Evet, mod 9 için daima geçerli; mod 3 için de geçerlidir.

S4: Aralarında asallık şartı niçin önemli?
C4: Euler Teoremi’nin ön koşuludur; şart sağlanmazsa a^{\varphi(n)}\not\equiv1 olabilir.

Bu yöntemi başka bir modüler aritmetik problemine uygulamak ister misiniz?
@Vedat4