Resimli Soru 11-02-2026 15:52:56

YKS TYT
1

IMG_20260211_153640
IMG_20260211_1536403000×4000 868 KB

2

(1622)³⁰ sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Anahtar Noktalar:

  • Fermat Küçük Teoremi: a^{10}\equiv1\pmod{11}, eğer 11\nmid a.
  • Modüler İndirgeme: 1622\equiv5\pmod{11}.
  • Üs Çözümü: 30=3\times10 olduğundan 5^{30}=(5^{10})^3\equiv1^3=1\pmod{11}.

Doğrudan Cevap: 1 (A şıkkı)

Çözüm Adımları:

  1. 1622\div11 işlemi:
    1622 = 11 \times 147 + 5 \quad\Rightarrow\quad 1622\equiv5\pmod{11}.
  2. Fermat Teoremi’ne göre 5^{10}\equiv1\pmod{11}.
  3. 5^{30}=(5^{10})^3\equiv1^3=1\pmod{11}.

Cevap: 1

Başka modüler aritmetik sorularını birlikte çözelim mi?

3

(1622)^30 Sayısının 11 ile Bölümünden Kalan Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Modüler aritmetikte, bir sayının büyük kuvvetlerinin mod ile bölümü, kalanı bulmak için Fermat Küçük Teoremi ve Eüler Totient Teorisi gibi yöntemler kullanılır.
  • 11 sayısı asal olduğundan, Fermat Küçük Teoremi kullanımına uygundur.
  • Verilen üs çok büyük olduğunda, üs mod (11-1) yani mod 10 alınarak hesaplamak işlemi kolaylaştırır.

(1622)^30 mod 11 işlemini hesaplamak için önce 1622 mod 11 bulunur, sonra üs düşürülür.

İçindekiler

  1. Modüler Arttıkla Hesaplama
  2. Fermat Küçük Teoremi Uygulaması
  3. Sonuç ve Kalanın Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Modüler Arttıkla Hesaplama

İlk olarak, tabanı 11’e göre küçültelim:

1622 \equiv ? \pmod{11}

1622 sayısının 11’e bölümünden kalanı bulmak için kısa yöntem:

  • 11 x 147 = 1617
  • 1622 - 1617 = 5

Yani:

1622 \equiv 5 \pmod{11}

Bu durumda işlem:

(5)^{30} \pmod{11}

:light_bulb: Pro Tip: Büyük üstel ifadelerde, tabanı mod alarak küçültmek işlemi basitleştirir.

Fermat Küçük Teoremi Uygulaması

Fermat Küçük Teoremi şunu söyler:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}, \quad \text{burada } p \text{ asal ve } a \not\equiv 0 \pmod{p}

11 bir asal sayıdır, ve 5 ile tam bölünmediği için (5 ≠ 0 mod 11) şu eşitlik geçerlidir:

5^{10} \equiv 1 \pmod{11}

Üsümüz 30 olduğuna göre, 30’u 10’a bölelim:

30 = 10 \times 3 + 0

Buna göre:

5^{30} = (5^{10})^{3} \equiv 1^{3} = 1 \pmod{11}

Sonuç ve Kalanın Hesaplanması

Sonuçta:

(1622)^{30} \equiv 1 \pmod{11}

Yani, bu sayının 11 ile bölümünden kalan 1’dir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 1622 mod 11 5
2 Üs 30’un 10’a göre bölümü 3 kere tam
3 Fermat Teoremi kullanımı 5^{10} \equiv 1 mod 11
4 5^{30} mod 11 1
Cevap Kalan (1622)^{30} \mod 11 1

Sık Sorulan Sorular

1. Fermat Küçük Teoremi nedir?
Asal sayı p için, p ile bölünebilen olmayan a sayısında a^{p-1} \equiv 1 \pmod p eşitliği sağlanır. Bu, modüler aritmetikte üsleri küçültmek için kullanılır.

2. Üs neden mod (p-1) alınır?
Fermat Küçük Teoremi’nde üs p-1. Asal p sayısı için a^{p-1} \equiv 1 sağlar. Üsi modüler işlem yapmak için üs mod p-1 alınır.

3. Eğer taban p ile tam bölünseydi ne olurdu?
Eğer a \equiv 0 \pmod p ise, a^k \equiv 0 \pmod p olur. Kalan daima 0 olur.

4. Modüler aritmetik nerelerde kullanılır?
Kriptografi, bilgisayar bilimleri, algoritmalar ve sayı teorisi gibi alanlarda yaygın kullanılır.

5. Büyük kuvvetlerde mod alma neden önemli?
Hesaplamalar çok büyük sayılarla yapılacağı için, doğrudan hesaplama imkansızdır. Modüler üs alma işlemi pratik ve hızlıdır.

Sonraki Adımlar

Dilerseniz, modüler aritmetiğin diğer temel teoremleri ve örnek uygulamalarını detaylı şekilde inceleyebiliriz. Ayrıca, karmaşık üslerin nasıl hızlı hesaplanacağını gösteren algoritmalar (örneğin hızlı üs alma algoritması) hakkında bilgi ister misiniz?

@Vedat4