43^84 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
- Birler basamağı hesabı için sayının tamamı değil, yalnızca tabandaki son basamak önemlidir.
- 43 sayısının birler basamağı $3$’tür; üstel ifadenin birler basamağı döngüsü 3^n için dört adımlı bir tekrar gösterir: 3,9,7,1.
- Döngü uzunluğu 4 olduğundan, 84\mod 4=0 işlemi kritik rol oynar.
43^84 sayısının birler basamağındaki rakamı 1’dir.
İçindekiler
Derinlemesine Açıklama
-
Temel olarak $43^{84}$’ün birler basamağı, 43 yerine 3 ile hesaplanır.
-
3^n kuvvetlerinin birler basamağı döngüsü:
\begin{aligned} 3^1 &\to 3,\\ 3^2 &\to 9,\\ 3^3 &\to 7,\\ 3^4 &\to 1, \end{aligned}ve sonra tekrar başa döner.
-
Üs $84$’ün döngü uzunluğu $4$’e bölümünden kalanına bakılır:
84 \bmod 4 = 0. -
Kalan 0 olduğu için döngünün 4. elemanı geçerli olur: birler basamağı 1.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Tabandaki son basamak | 3 |
| 2 | Döngü uzunluğu | 4 |
| 3 | 84 \bmod 4 | 0 |
| 4 | Döngüde 4. eleman | 1 |
SSS
S: Üs alma işlemlerinde neden yalnızca birler basamağına bakıyoruz?
C: Birler basamağı diğer basamaklardan bağımsız olarak belirlenir; yüzler, onlar vb. bu son basamağı etkilemez.
S: Tüm sayılarda bir benzer döngü var mıdır?
C: Evet, her birler basamağı değeri için bir tekrar uzunluğu bulunur. Örneğin 7^n için de döngü uzunluğu $4$’tür.
S: Eğer üs 0 kalanı vermeseydi ne yapacaktık?
C: Kalan 1,2,3 olsaydı sırasıyla döngüdeki 1.,2.,3. eleman alınırdı.
S: Döngü uzunluğunu herkeste ezbere bilmek gerekir mi?
C: Genellikle 2,3,4 uzunluklu döngüler sıkça görülür; pratik yaparak öğrenmek en garantili yoldur.
Bu yöntemi farklı taban veya üs değerleriyle uygulamak ister misin? @Vedat4
43^84 Sayısının Birler Basamağındaki Rakam Nedir?
Önemli Noktalar
- Bir sayının birler basamağı, o sayının 10 ile bölümünden kalan ile belirlenir.
- Üs işlemlerinde birler basamağı belirlerken, sayının birler basamağına göre oluşturulan döngüler analiz edilir.
- 43 sayısının birler basamağı 3 olduğu için, 3’ün üslerinin birler basamağı döngüsü kullanılır.
43^84 sayısının birler basamağı, 3^84 sayısının birler basamağına eşittir çünkü 43’ün birler basamağı 3’tür.
3’ün birler basamağı döngüsü şu şekildedir:
| Üs (n) | 3^n’nin Birler Basamağı |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 7 |
| 4 | 1 |
Döngü 4 basamakta tekrar eder.
Şimdi, 84 sayısını 4’e bölelim:
84 ÷ 4 = 21 tam bölünür, kalan 0.
Kalan 0 olduğunda döngüdeki son basamağı alırız, yani 4’üncü adımı.
4’üncü adımın birler basamağı 1’dir.
Sonuç: 43^84 sayısının birler basamağı 1’dir.
Doğru cevap: B) 1
İçindekiler
Temel Kavramlar ve Birler Basamağı Döngüsü
Bir sayının birler basamağı, o sayının 10 ile bölümünden kalan sayıdır. Üs alma işlemlerinde, özellikle büyük üslerde, tüm sayı yerine sadece birler basamağı dikkate alınır.
Örnek:
43 sayısının birler basamağı 3’tür, 43^84’ün birler basamağı, 3^84’ün birler basamağı ile aynıdır.
Döngü, bir sayının üstlerinin birler basamaklarında tekrar eden bir dizidir. Çoğu sayının birler basamağı için döngü uzunluğu 1 ila 4 arasındadır.
Döngü Analizi ile Çözüm
3 sayısının birler basamağı döngüsü 4 basamaktan oluşur:
- 3¹ = 3 (birler basamağı 3)
- 3² = 9 (birler basamağı 9)
- 3³ = 27 (birler basamağı 7)
- 3⁴ = 81 (birler basamağı 1)
Sonra döngü tekrar eder.
84 sayısını döngü uzunluğuna (4) böleriz:
- 84 ÷ 4 = 21, kalanı 0
Kalan 0 olduğunda döngüdeki son basamağı, yani 3⁴’ün birler basamağını alırız.
Bu da 1’dir.
Özet Tablo
| Adım | Değer |
|---|---|
| Sayının birler basamağı | 3 |
| Üst sayısı (üs) | 84 |
| Döngü uzunluğu | 4 |
| 84 mod 4 (kalır) | 0 |
| Birler basamağı sonucu | 1 |
Sık Sorulan Sorular
1. Birler basamağı döngüsü nedir?
Bir sayının üstlerinin birler basamağının belirli bir uzunlukta periyodik tekrarına denir. Örneğin, 3 sayısının üstleri 4 basamakta bir tekrar eder.
2. Birler basamağı neden sadece sayıların son rakamına bakılarak bulunabiliyor?
Çünkü sayıların 10 tabanında son rakamları diğer rakamlardan bağımsız olarak döngü oluşturur ve üs almak sadece bu son rakamın döngüsüne göre değerlendirilir.
3. Kalan nasıl belirlenir?
Üs sayısı, döngü uzunluğuna bölünür; kalan ne ise, o sıradaki döngü basamağı esas alınır.
Sonraki Adımlar
İsterseniz farklı sayılar için birler basamağı hesaplama yöntemlerini ve diğer üs alma tekniklerini örneklerle detaylandırabilirim. Ayrıca, modüler aritmetik konusuna giriş yapalım mı?