Resimli Soru 11-02-2026 15:37:37

YKS TYT
1

IMG_20260211_153536
IMG_20260211_153536720×960 29.9 KB

2

74 ≡ 2 (mod x), x > 1 Denklemini Sağlayan Kaç Tam Sayı Vardır?

Önemli Noktalar

  • Modüler denklemde 74 ≡ 2 (mod x) ifadesi, (74 - 2) sayısının x’e tam bölünebildiği anlamına gelir.
  • Bu durumda, 74 - 2 = 72, x sayısına bölünür.
  • Yani, x’in 72’nin bir böleni olması gerekir.
  • Ayrıca, x > 1 şartı verildiği için 1 hariç, 72’nin pozitif bölenleri sayılır.

74 ≡ 2 (mod x) denklemi, x’in 72’nin pozitif tam bölenlerinden biri olması durumunda sağlanır.

İçindekiler

  1. Problemin Çözüm Adımları
  2. 72 Sayısının Pozitif Bölenleri
  3. Sonuç ve Cevap

Problemin Çözüm Adımları

Modüler eşitlikte:

74 \equiv 2 \pmod{x} \iff x | (74 - 2) \iff x | 72

Burada, 74 ve 2 sayıları çıkarıldığında fark 72 olur. Eşitliğin sağlanması için, x sayısının 72’nin böleni olması gerekir.

:warning: Uyarı: x > 1 olduğuna göre 1 sayısı hariç pozitif bölenler sayılacaktır.

72 Sayısının Pozitif Bölenleri

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

72 = 2^3 \times 3^2

Bir sayının pozitif bölen sayısı için formül:

(a+1)(b+1)

Burada a ve b asal çarpanların üsleri. Yani:

(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12

Yani 72 sayısının toplam 12 pozitif böleni vardır.

Pozitif bölenler şunlardır:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Sonuç ve Cevap

x > 1 olduğuna göre 1 sayısını saymıyoruz. Geriye kalan bölenler:
2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Toplam 11 tam sayı.

Doğru cevap: B) 11

Sonraki Adımlar

Bu tip modüler denklemlerde benzer bir soru daha çözmemi ister misiniz? Yoksa modüler aritmetiğin temel kavramlarını detaylı anlatalım mı?

@Vedat4

3

74≡2(mod x), x>1 denklemini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

Anahtar Çıkarımlar:

  • 74\equiv2\pmod{x} ifadesi, x\mid(74-2)=72 demektir.
  • 72 sayısının asal çarpanlara ayrılışı $$72 = 2^3\cdot3^2$$ ve bölen sayısı $(3+1)(2+1)=12$’dir.
  • x>1 koşuluyla 1’i dışarıda bıraktığımızda geçerli bölen sayısı 12-1=11 olur.

Doğru Cevap: 11

İçindekiler:

  1. Çözüm
  2. Detaylı Açıklama
  3. Kongruens ve Bölünebilme Karşılaştırması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm

74\equiv2\pmod{x} koşulu, tanım gereği

x\mid(74-2)\quad\Longrightarrow\quad x\mid72

demektir. 72’nin pozitif bölen sayısı

72 = 2^3\cdot3^2\;\Rightarrow\;(3+1)(2+1)=12

bulunur. Fakat x>1 şartı olduğundan 1’i çıkarırız: 12-1=11.

Detaylı Açıklama

  1. Kongruens tanımı:
    a\equiv b\pmod{m} demek m\mid(a-b) demektir.
  2. Farkı hesaplama:
    74-2=72
  3. Asal çarpanlara ayırma:
    72=2^3\cdot3^2
  4. Bölen sayısı formülü:
    Eğer n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k} ise bölen sayısı
    (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)
  5. x>1 koşulu:
    Tüm pozitif bölenlerden 1 çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Kongruens ve Bölünebilme Karşılaştırması

Özellik Kongruens (a\equiv b\pmod{m}) Bölünebilme (m\mid n)
Tanım m\mid(a-b) n=mk olacak şekilde tam bölünme
İfade a\equiv b\pmod{m} m\mid n
Örnek 74\equiv2\pmod{6} çünkü 6\mid72 6\mid72 doğru (72/6=12 tam sayı)
Kullanım Alanı Kriptografi, sayı teorisi Temel matematik, bölünebilme testleri

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1 Farkın hesaplanması 74-2=72
2 Asal çarpanlara ayırma 72=2^3\cdot3^2
3 Bölen sayısı formülü uygulama (3+1)(2+1)=12
4 x>1 şartı ile 1’in çıkarılması 12-1=11

SSS

S1: Kongruens ile bölünebilme arasındaki fark nedir?
C1: Kongruens, iki sayının farkının bir modüle tam bölünmesi; bölünebilme ise bir sayının doğrudan başka bir sayıya tam bölünmesi demektir.

S2: Asal çarpanlara ayırma neden önemli?
C2: Bölen sayısını kolayca hesaplamak için kullanılır; üstel gösterimdeki üslerin bir fazlası çarpılır.

S3: x>0 yerine neden x>1 şartı aldık?
C3: x=1 her zaman geçerli bölendir ve soruda 1’den büyük tam sayılar isteniyor.

S4: Başka bir örnek görmek ister misiniz?

Çözüme ilişkin başka sorunuz var mı, benzer 3 örnek üzerinden pratik yapmak ister misiniz?
@Vedat4