9^20 Sayısının 7 ile Bölümünden Kalan Kaçtır?
Önemli Noktalar
- Modüler aritmetikte kalan problemlerinde Fermat Küçük Teoremi ve döngüsel kalıp kullanılır
- 9^{20} ifadesinin 7 ile bölümünden kalanı bulmak için üsleri modüler olarak sadeleştirmek gerekir
- Döngüsel kalıplar sayesinde büyük üslerin kalanı kolayca bulunabilir
Çözüm:
9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulmak için öncelikle üsleri mod 7 alarak işlem yapalım.
Adımlar:
- İlk olarak 9 \equiv 2 \pmod{7} çünkü 9 - 7 = 2.
- Böylece 9^{20} \equiv 2^{20} \pmod{7} olur.
- Şimdi 2^{20} \mod 7 hesaplanmalı.
2’nin mod 7 üs döngüsünü inceleyelim:
- 2^1 = 2 \pmod{7}
- 2^2 = 4 \pmod{7}
- 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7} (Çünkü 8 - 7 = 1)
Üs döngüsü periyodu 3’tür, çünkü 2^3 \equiv 1 \pmod{7}. Bu durumda:
Sonuç: Kalan 4’tür.
Cevap: D) 4
Sonraki Adımlar
Bu problemde kullanılan üslerin modüler hesaplanması ve döngüsel kalıp prensibi hakkında daha fazla örnek isterseniz yardımcı olabilirim. İsterseniz, Fermat Küçük Teoremi’nin modüler aritmetikte nasıl uygulandığını detaylandırabilirim. Merak eder misiniz?
9^20 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Önemli Noktalar
- Fermat’ın Küçük Teoremi gereği, asal bir p sayısında a^{p-1}\equiv1\pmod p (a, p aralarında asal ise).
- 7 sayısında \varphi(7)=6 olduğundan üsler 6 moduna göre indirgenebilir.
- 9\equiv2\pmod7 olduğundan 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7 şeklinde hesap kolaylaşır.
Doğrudan Cevap
9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan 4’tür.
Çözüm Aşaması
- 9\equiv2\pmod7 ⇒
- Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre 2^{6}\equiv1\pmod7 olduğundan,
- Sonuç olarak 9^{20}\equiv4\pmod7.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | 9\mod7 | 2 |
| 2 | 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7 | — |
| 3 | 2^{20}=(2^6)^3\cdot2^2\equiv1^3\cdot4 | 4\pmod7 |
SSS
S1. Modüler aritmetikte üslü ifadeler neden indirgenir?
Asal modül p için üsler, Fermat teoremiyle p-1 moduna göre indirgenerek hesap kolaylaşır.
S2. Euler Teoremi ile Fermat Teoremi arasındaki fark nedir?
Euler Teoremi genellemedir: a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n (aralarında asal), Fermat Teoremi bunun n asal halidir.
S3. Bu soruda neden 9 yerine 2 aldık?
Çünkü 9\div7 işleminin kalanı 2, modüler hesapta tabanı mümkün olduğunca küçük seçmek işleri hızlandırır.
S4. Başka hangi üs sorularını benzer şekilde çözebilirim?
Her asal modül için tabanı mod değerine göre küçültüp, üssü \varphi(p) moduna indirerek.
Bu yöntemi kullanarak örneğin 8^{30} sayısının 5 ile bölümünden kalanını hesaplamak ister misin?
@Vedat4