İki Basamaklı Doğal Sayının Modüler Denklem ile Bulunması ve Toplamı
Önemli Noktalar
- Sayı a, iki basamaklı bir doğaldır (10 ≤ a ≤ 99).
- a ≡ 2 (mod 5) ⇒ a 5 ile bölümünden kalan 2’dir.
- a ≡ 4 (mod 7) ⇒ a 7 ile bölümünden kalan 4’tür.
- Bu şartları sağlayan en küçük ve en büyük iki basamaklı sayılar bulunmalıdır.
- Bu iki sayının toplamı hesaplanacaktır.
İçindekiler
Problemin Çözümü
Adım 1: Denklem setini anlamak
- a sayısı 10 ile 99 arasında olmalı.
- a ≡ 2 (mod 5) → a = 5k + 2
- a ≡ 4 (mod 7) → a = 7m + 4
Ama burada a için mod 5 ve mod 7 denklemleri birlikte sağlanmalı. Çin Kalan Teoremi uygulanabilir.
Adım 2: Denklemi çözmek için a = 5k + 2 olarak yazalım:
a = 5k + 2
a ≡ 4 (mod 7) olmalı, yani:
(5k + 2) mod 7 = 4
Yazalım:
5k + 2 ≡ 4 (mod 7)
5k ≡ 2 (mod 7) (Çünkü 4 - 2 = 2)
Şimdi, 5k ≡ 2 (mod 7)
5 ile 7 aralarında asal olduğu için tersini bulabiliriz.
Adım 3: 5’in mod 7’de tersi
5 * x ≡ 1 (mod 7) olacak x bulunmalı.
5*3 = 15 ≡ 1 (mod 7) çünkü 15 - 14 =1.
Yani 5’in mod 7’de tersi 3’tür.
Adım 4: k’yı bul
5k ≡ 2 (mod 7) ise,
k ≡ 3 * 2 ≡ 6 (mod 7)
Yani,
k ≡ 6 (mod 7)
Adım 5: k dizisi
k = 7t + 6, t ≥ 0 tamsayısı.
Adım 6: a değerlerini bul
a = 5k + 2 = 5(7t + 6) + 2 = 35t + 30 + 2 = 35t + 32
Adım 7: İki basamaklı sayılar için t aralığı
10 ≤ a ≤ 99
10 ≤ 35t + 32 ≤ 99
-
Alt sınır: 35t + 32 ≥ 10 → her t ≥ 0 sağlanıyor.
-
Üst sınır: 35t + 32 ≤ 99 → 35t ≤ 67 → t ≤ 1.91
Yani t = 0 veya t = 1 olabilir.
- t=0 → a=32
- t=1 → a=67
Bu sonuçlar:
- Küçük değer: 32
- Büyük değer: 67
Adım 8: Toplamı
32 + 67 = 99
Sonuç: a’nın alabileceği en küçük değer 32, en büyük değer 67’dir. Toplamı 99.
Çözümde Kullanılan Temel Kavramlar
- Modüler Aritmetik: Sayılarla yapılan işlem, bölme kalanı üzerine kuruludur.
- Çin Kalan Teoremi (CRT): İki veya daha fazla modüler denklemin ortak çözümünün bulunması.
- Modüler Ters: Bir sayının modüler sistemde kendisiyle çarpıldığında bir birimine eşit olan sayı.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| a ≡ 2 (mod 5) | a=5k+2 | - |
| a ≡ 4 (mod 7) | 5k+2 ≡ 4 (mod 7) | 5k ≡ 2 (mod 7) |
| 5’in mod 7 tersi | 3 | k ≡ 6 (mod 7) |
| k ifadesi | 7t + 6 | t=0,1 |
| a formülü | a=35t+32 | t=0 → 32, t=1 → 67 |
| Sonuç | min=32, max=67 | Toplam=99 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden Çin Kalan Teoremi kullandık?
Çünkü a sayısı iki farklı modüler şartı aynı anda sağlamalıdır. Çin Kalan Teoremi, böyle problemlerin çözümünde standart yöntemdir.
2. Neden t sadece 0 ve 1 olabilir?
Çünkü a iki basamaklı olmalıdır; 10 ile 99 arasında. 35t + 32 ≥ 10 ve ≤ 99 koşulunu sağlayan t değerleri sınırlandırmıştır.
3. Modüler ters nedir?
Bir sayının modülündeki çarpma işlemi için tersidir. Örneğin 5’in mod 7’de tersi 3’tür çünkü 5*3=15 ≡ 1 (mod 7).
Sonraki Adımlar
Çin Kalan Teoremi’nin daha karmaşık örneklerini görmek ister misiniz veya modüler aritmetiğin gerçek dünya uygulamalarını öğrenmek ister misiniz?
a iki basamaklı bir doğal sayıdır. a ≡ 2 (mod 5) ve a ≡ 4 (mod 7) olduğuna göre, a’nın alabileceği en küçük değer ile en büyük değerin toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- a ≡ 2 (mod 5) ve a ≡ 4 (mod 7) modüler denklem sistemi var.
- Bu tür sistemler Kalanlı Aritmetik ve CRT (Çin Kalan Teoremi) ile çözülür; periyot EKOK(5,7)=35.
- İki basamaklı doğal sayılar aralığı 10 ile 99 arasındadır.
Doğrudan Cevap
a = 35t + 32 formunda bulunur. İki basamaklılar için t=0,1 alınca a=32 ve a=67 elde edilir. Toplamları 32 + 67 = 99.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Genel formu a=5k+2 şeklinde alıp
-
5k+2 \equiv 4 \pmod{7} \;\Longrightarrow\;5k \equiv 2 \pmod{7}
- 5 \equiv -2\pmod{7} olduğundan -2k \equiv 2\pmod{7}\;\Longrightarrow\;2k\equiv5\pmod{7}.
- $2$’nin mod 7’deki tersi 4 olduğu için k\equiv5\cdot4=20\equiv6\pmod{7}.
- Böylece k=7t+6 vea=5(7t+6)+2=35t+32.
- 10\le a\le99 için t=0\to a=32,\; t=1\to a=67.
Koşulların Karşılaştırması
| Koşul | Anlamı |
|---|---|
| a \equiv 2 \pmod{5} | a sayısı 5’e bölündüğünde kalan 2 olur. |
| a \equiv 4 \pmod{7} | a sayısı 7’ye bölündüğünde kalan 4 olur. |
Özet Tablosu
| Parametre | Değerler |
|---|---|
| Modüler Periyot | EKOK(5,7) = 35 |
| Genel Çözüm | a = 35t + 32 |
| İki Basamaklı Çözümler | 32, 67 |
| Sonuç (Toplam) | 99 |
SSS
- CRT (Çin Kalan Teoremi) nedir?
- Neden EKOK(5,7)=35 alıyoruz?
- t değerinin sadece 0 ve 1 olmasının sebebi nedir?
- İki basamaklı sayı sınırlarını nasıl uyguladık?
Anladığınızı pekiştirmek için benzer 3 pratik problem ister misiniz?
@Vedat4