Resimli Soru 11-02-2026 15:48:17

YKS TYT
1

IMG_20260211_153610
IMG_20260211_153610720×960 24.2 KB

2

Modüler Aritmetikte Kalan Bulma Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • Modüler aritmetikte bir sayının bir modüle göre kalanı, sayının mod işleminden sonra kalanıdır.
  • Büyük üsleri hesaplamak yerine modüler özellikler kullanılır; üstel ifadeler mod indirgeme kurallarıyla sadeleştirilir.
  • Fermat’ın Küçük Teoremi ve Euler Teoremi gibi kurallar karmaşık modüler hesaplamalarda işe yarar.

Yukarıdaki sorularda, üstel ifadenin mod alınması isteniyor. Bu tür sorularda öncelikle tabanın mod 7 ya da mod 9 değerine göre kalanı bulunur, sonra üs mod sayı sisteminin döngüsüne göre küçültülür.

İçindekiler

  1. Soru 1: 9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan
  2. Soru 2: (1905)^{2007} sayısının 9 ile bölümünden kalan
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. 9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan nedir?

İlk olarak 9 mod 7 bulunur:

9 \equiv 2 \pmod{7}

Yani 9^{20} \equiv 2^{20} \pmod{7}.

Şimdi 2^{20} mod 7 hesaplanmalıdır. Döngü uzunluğu için üslerin modunun periyodunu bulalım:

2^1 = 2 \pmod{7} \\ 2^2 = 4 \pmod{7} \\ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}

Buradan 2^3 \equiv 1 \pmod{7} olduğu görülür. Döngü uzunluğu 3’tür. Bu durumda:

20 \equiv 2 \pmod{3} \quad \text{çünkü } 20 = 3 \times 6 + 2

Buna göre:

2^{20} \equiv 2^{2} = 4 \pmod{7}

Cevap: 4 (D şıkkı)

2. (1905)^{2007} sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önce 1905 \mod 9 hesaplanır:

  • 1 + 9 + 0 + 5 = 15
  • 15 mod 9 = 6

Yani:

1905 \equiv 6 \pmod{9}

Buna göre:

(1905)^{2007} \equiv 6^{2007} \pmod{9}

Şimdi 6^{2007} mod 9 hesaplanmalıdır. Döngüyü bulalım:

6^1 = 6 \pmod{9} \\ 6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}

Burada 6^2 \equiv 0 \pmod{9} olduğuna göre,
herhangi bir 2’den büyük üs, mod 9’da 0 olur:

6^{n} \equiv 0 \pmod{9}, \quad \text{n} \geq 2

2007 > 2 olduğundan:

6^{2007} \equiv 0 \pmod{9}

Cevap: 0 (A şıkkı)

Özet Tablo

Soru İşlem Mod Sonucu Kalan
9^{20} \div 7 9 \equiv 2 \pmod{7}, döngü 3 2^{20} \equiv 4 4
(1905)^{2007} \div 9 1905 \equiv 6 \pmod{9}, 6^2 \equiv 0 6^{2007} \equiv 0 0

Sık Sorulan Sorular

1. Modüler aritmetikte üs nasıl küçültülür?
Üsler, mod tabanına göre döngü (periyot) bulunarak modül alınır. Örneğin mod 7’de 2’nin üsleri 3 döngü yapıyorsa, üstü 3’e göre mod almak sonucu basitleştirir.

2. Bu sorularda neden döngü uzunluğu bulunur?
Döngü uzunluğu, üslerin modül üzerinde tekrar ettiği periyottur. Bu periyot sayesinde büyük üsler yönetilebilir hale gelir.

3. Fermat ve Euler teoremleri modüler hesaplamalar için neden önemlidir?
Bu teoremler, asal modlarda veya genel modlarda üslerin küçültülmesini garanti eder ve hesaplama kolaylığı sağlar.

4. Kalan 0 ise ne anlama gelir?
Bir sayının mod ile bölümünden kalan 0 ise, sayı o modun tam katıdır. Örneğin 6² mod 9 = 0 olduğunda, 6² sayısı 9’un tam katıdır.

Sonraki Adımlar

Üslerin mod döngülerini bulma ve Euler Teoremi ile problem çözme tekniklerini detaylı mı öğrenmek istersiniz?

@Vedat4

3

9^20 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • 9 mod 7 = 2, dolayısıyla 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7.
  • 2^3\equiv1\pmod7 olduğundan döngü uzunluğu 3’tür.
  • 2^{20}=2^{3\cdot6+2}\equiv(2^3)^6\cdot2^2\equiv1^6\cdot4\equiv4\pmod7\,.

Sonuç: 9^{20} sayısının 7 ile bölümünden kalan 4’tür.

İçindekiler

  1. 9^20 mod 7 hesabı
  2. 1905^2007 mod 9 hesabı
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. 9^20 mod 7 hesabı

  1. 9 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 9^{20}\equiv2^{20}\pmod7.
  2. Döngüyü bulmak için 2^k\pmod7 bakalım:
    • 2^1\equiv2
    • 2^2\equiv4
    • 2^3\equiv8\equiv1
      → Döngü uzunluğu 3.
  3. 20=3\cdot6+2 olduğundan
    2^{20}=2^{3\cdot6+2}=(2^3)^6\cdot2^2\equiv1^6\cdot4=4\pmod7.

2. 1905^2007 mod 9 hesabı

  1. 1905’in rakamları toplamı 1+9+0+5=15 ⇒ 1905\equiv15\equiv6\pmod9.
  2. 6^1\equiv6\pmod9, 6^2\equiv36\equiv0\pmod9 ⇒ n\ge2 için 6^n\equiv0.
  3. 2007\ge2 olduğundan
    1905^{2007}\equiv6^{2007}\equiv0\pmod9.

3. Karşılaştırma Tablosu

Özellik 9^{20}\bmod7 1905^{2007}\bmod9
Temel modüler eşitlik 9\equiv2\pmod7 1905\equiv6\pmod9
Döngü uzunluğu $2^3\equiv1\pmod7,$→3 $6^2\equiv0\pmod9,$→2
Kuvvetin bölünebilirlik durumu 20=3\cdot6+2 2007\ge2
Sonuç kalanı 4 0

4. Özet Tablosu

Soru Kalan
9^{20}\bmod7 4
1905^{2007}\bmod9 0

5. SSS

S1. Modüler döngü (period) nasıl bulunur?
C1. $a^k\pmod m$’yi art arda hesaplayıp ilk 1 veya başlangıca döndüğü k değeri döngü uzunluğudur.

S2. Neden 2^3\equiv1\pmod7 sonucunu kullanabiliyoruz?
C2. Her tam sayının mod $m$’de bir periyodu vardır; bu periyot sayesinde yüksek kuvvetler küçük kalanlara indirgenir.

S3. Bir sayının mod 9’da kalanı neden rakamlar toplamına eşittir?
C3. 10\equiv1\pmod9 olduğu için 10^k\equiv1^k=1, yani her basamağın katkısı doğrudan rakamlar toplamına dönüşür.

Başka modüler aritmetik sorusu çözmek ister misin? @Vedat4