Resimli Soru 11-02-2026 15:44:10

YKS TYT
1

IMG_20260211_153556
IMG_20260211_1535563000×4000 1.02 MB

2

Resimli Soru 11-02-2026 15:44:10: İfadenin 5 ile Bölümünden Kalanı

Önemli Noktalar

  • Modüler aritmetik, bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalanını bulmak için kullanılır.
  • 5 ile bölme işleminde, üslerin mod 4 döngüsünü kullanarak hesaplama kolaylaşır çünkü a^k \mod 5 belirli bir periyotta kendini tekrar eder.
  • Buradaki işlem, 2^{52} + 3^{48} + 4^{49} toplamının 5 ile bölümünden kalanını bulmaktır.

2^{52} + 3^{48} + 4^{49} toplamının 5 ile bölümünden kalan, her terimin 5’e göre kalanları bulunup toplanması ile hesaplanır.

İçindekiler

  1. Modüler Arttimetik ve Döngü Özelliği
  2. İfadenin Parçalarına Ayrılması ve Hesaplanması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Kuvvetlerin Mod Döngüleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Modüler Arttimetik ve Döngü Özelliği

Modüler aritmetikte, özellikle üs alma işlemlerinde, üslerin indisi modulo genellikle döngüsel bir tekrar gösterir. Örneğin, 5’e göre üsler belirli bir periyotta tekrar eder. Bu nedenle üsler mod bir sayı alınarak daha küçük sayılarla işlem yapılır.

5 modüler aritmetiğinde döngüler:

  • 2^k \mod 5 periyodu 4’tür:

    2^1 = 2, \quad 2^2=4, \quad 2^3=8 \equiv 3, \quad 2^4=16 \equiv 1 \quad (\mod 5)

  • 3^k \mod 5 periyodu 4’tür:

    3^1=3, \quad 3^2=9 \equiv 4, \quad 3^3=27 \equiv 2, \quad 3^4=81 \equiv 1 \quad (\mod 5)

  • 4^k \mod 5 periyodu 2’dir:

    4^1=4, \quad 4^2=16 \equiv 1, \quad 4^3=4, \quad 4^4=1 \quad (\mod 5)

Bu periyotlar kullanılarak işlem kolaylaştırılır.

:light_bulb: Pro Tip: Üsleri periyot uzunluğuna göre mod alarak küçültmek, karmaşık üs değerlerinde işlem hızını artırır.

2. İfadenin Parçalarına Ayrılması ve Hesaplanması

İstenen ifade:

2^{52} + 3^{48} + 4^{49}
  • 2^{52} \mod 5
    52 mod 4 hesaplanır:
52 \div 4 = 13 \quad \Rightarrow \quad 52 \mod 4 = 0

Yani

2^{52} \equiv 2^{0} \equiv 1 \quad (\mod 5)
  • 3^{48} \mod 5
    48 mod 4 hesaplanır:
48 \div 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad 48 \mod 4 = 0

Yani

3^{48} \equiv 3^{0} \equiv 1 \quad (\mod 5)
  • 4^{49} \mod 5
    Periyodu 2 olduğundan 49 mod 2 hesaplanır:
49 \div 2 = 24 \text{ kalan } 1

Yani

4^{49} \equiv 4^{1} \equiv 4 \quad (\mod 5)

Toplam:

1 + 1 + 4 = 6 \equiv 1 \quad (\mod 5)

Sonuç:

İfadenin 5 ile bölümünden kalan 1’dir.

3. Karşılaştırma Tablosu: Kuvvetlerin Mod Döngüleri

Taban Modül Döngü Uzunluğu Döngü Elemanları Örnek
2 5 4 2,4,3,1 2^{52} \equiv 1
3 5 4 3,4,2,1 3^{48} \equiv 1
4 5 2 4,1 4^{49} \equiv 4

4. Özet Tablo

İşlem Değer Mod 5 Kalanı
2^{52} Büyük sayı 1
3^{48} Büyük sayı 1
4^{49} Büyük sayı 4
Toplam: 6 ≡ 1 (mod 5)

5. Sık Sorulan Sorular

1. Modüler aritmetikte üslerin modunu neden alıyoruz?
Çünkü üslerin modunu almak, tekrar eden kalıp ve döngülerin bulunmasını sağlar, böylece hesaplama basitleşir.

2. Buradaki üslerin mod 4 alınmasının sebebi nedir?
5’e göre tabanların üslü kalıntılarının 4 elemanlı periyotlarla döndüğünü görmek, üsleri mod 4 almayı sağlar.

3. Bu işlem başka modüller için de geçerli midir?
Evet, modüler aritmetik prensibi tüm modüller için uygulanır ancak periyot uzunlukları farklılık gösterebilir.

Sonraki Adımlar

Başka örneklerle modüler aritmetiği pratiğe dökmek ister misiniz? Ya da üslerin modül periyotlarını nasıl kolayca bulacağınızı öğrenmek ister misiniz?

@Vedat4

3

2^52 + 3^48 + 4^49 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Modüler döngü ile üslerin kalanı hesaplanır.
  • φ(5) = 4 olduğundan 2 ve 3 tabanlı kuvvetlerde periyot 4’tür.
  • 4^n için mod 5’te döngü uzunluğu 2’dir.

2^52 + 3^48 + 4^49 toplamının 5 ile bölümünden kalan 1’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm

  1. 2^52 mod 5
    2^{52}\equiv 2^{52\!\bmod\!4}\equiv 2^0\equiv 1\pmod5
  2. 3^48 mod 5
    3^{48}\equiv 3^{48\!\bmod\!4}\equiv 3^0\equiv 1\pmod5
  3. 4^49 mod 5
    4^{49}\equiv 4^{49\!\bmod\!2}\equiv 4^1\equiv 4\pmod5
  4. Toplam
    1 + 1 + 4 = 6 \equiv 1\pmod5

Karşılaştırma Tablosu

Taban Döngü Uzunluğu mod 5 Döngü Değerleri mod 5
2 4 2, 4, 3, 1
3 4 3, 4, 2, 1
4 2 4, 1

Özet Tablosu

Terim Mod 5 Sonucu
2^{52} 1
3^{48} 1
4^{49} 4
Toplam 6 ≡ 1

SSS

Q1: Modüler aritmetikte döngü ne demektir?
A1: Aynı kalan değerlerin belirli bir periyotla tekrar etmesidir.

Q2: Neden φ(5)=4 modülünü kullandık?
A2: Çünkü Euler’in φ fonksiyonu 5 için 4 değerini verir ve üssü indirger.

Q3: 4^n mod 5 neden 2 periyotlu döngü gösterir?
A3: Çünkü 4^2\equiv16\equiv1\pmod5 ve bu iki adımda kalıplar tekrarlanır.

Sonraki Adım: @Vedat4, benzer modüler aritmetik soruları çözmek ister misiniz?