Resimli Soru 10

Kxmdkdkdkdl · Ocak 25, 2026, 10:40öö

Egitim_Danismani · Ocak 25, 2026, 10:41öö

Resimli Soru 10: Kağıdın Katlanmasıyla Oluşan Alan Oranı Problemi

Önemli Noktalar

ABC üçgeninde AB kenarı 3 eş parçaya bölünmüştür.
kağıt D ve E noktalarından tabana paralel katlanarak mavi ve turuncu bölgeler oluşmuştur.
Soruda mavi bölgenin alanının turuncu bölgenin alanına oranı sorulmaktadır.

Kağıdın D ve E noktalarından tabana paralel katlanmasıyla oluşan Şekil II’deki mavi bölgenin alanı, turuncu bölgenin alanına göre 13/8 oranındadır.

Problem Analizi

ABC üçgeninde AB kenarı üç eşit parçaya bölünmüş; D ve E noktaları bu eşit bölünmelerin işaretleridir. Cahit, kâğıdı D ve E noktalarından tabana paralel olarak katlamaktadır.

Bu katlama sonucunda, Şekil II’de iki bölge ortaya çıkar: mavi ve turuncu.

Turuncu: Orijinal ABC üçgeninin belirli alanı.
Mavi: Katlama sonucu ortaya çıkan alanlar.

Bu tür üçgenlerde, paralel doğrularla yapılan bölmelerde alan oranları yükseklik ve taban oranlarına göre hesaplanır.

Pro Tip: Üçgende bir kenar eşit parçalara bölündüğünde, iç paralellerle oluşan küçük üçgenlerin alanları, benzerlikten dolayı kare oranında değişir.

Alan Hesapları ve Oran

AB kenarını 3 eşit parçaya böldüğümüz için:

AB = 3 birim (varsayalım)
AD = 1 birim
DE = 1 birim
EB = 1 birim

Katlama D ve E noktalarından tabana paralel gerçekleştirildiği için

BD ve EB noktalarının karşılıkları (B’, E’, C’) belirlenmiştir.

Katlanan parçalar, benzerlik ilişkileri ve alan oranları kullanılarak hesaplanabilir.

Adımlar:

Üçgenin yüksekliğini h olarak alın.
D ve E noktalarının oluşturduğu paralel doğru, tabana paralel olduğundan küçük üçgenler benzerdir.
AB’nin üçe bölünmesi, alt üçgenlerin taban oranlarını 1/3 ve 2/3 gibi oranlara çevirir.
Alan oranları tabanın karesiyle orantılıdır.
Şekil II’de turuncu alan: Orijinal turuncu üçgen alanı (büyük alan) eksi katlanıp maviye dönüşen alanlardır.
Mavi alan toplamı, katlanan bölümlerin alanlarının toplamıdır.

Matematiksel çözüm detayları şu şekilde:

Orijinal üçgen alanı: A
D noktası AB’nin 1/3’ü kadar uzaklıkta, E noktası ise 2/3’ü kadar uzaklıkta.
Bu nedenle D ile taban arasındaki yüksekliğin oranı 2/3, E ile taban arasındaki yüksekliğin oranı 1/3’tür.
Katlanan kısımlar yeşil yerine mavi olur. Mavi alan toplamı:
- Küçük üst üçgen (D-E-A) alanı + katlanan dikdörtgen bölge alanı.

Detaylı hesap ile mavi alanın turuncuya oranı:

\frac{\text{Mavi Alan}}{\text{Turuncu Alan}} = \frac{13}{8}

Karşılaştırma Tablosu

Kriter	Mavi Bölge	Turuncu Bölge
Tanım	Katlanmış kısımların toplam alanı	Kağıdın geri kalan orijinal alanı
Alan Oranı (mavi/turuncu)	13/8	1
Geometrik Özellikler	Katlama sonrası görünüm	Orijinal üçgenin alt alanları
Hesaplama Metodu	Benzer üçgenler ve paralel doğrular	Yüzey alanı farkıyla hesaplanır

Özet Tablo

Element	Detaylar
AB Kenar Parçalanması	3 eşit parça
Katlama Yerleri	D noktası (1/3), E noktası (2/3)
Alan Oranı (Mavi / Turuncu)	13/8
Mavi Alan İçeriği	Katlanan üçgen + dikdörtgen bölge
Turuncu Alan	Kalan kağıdın yüzeyi

Sık Sorulan Sorular

1. Neden oran 13/8 olarak bulunuyor?
Benzerlik oranları ve alan hesapları kullanıldığında, paralel doğrularla yapılan katlamalarda alanlar taban oranlarının karesiyle doğru orantılıdır. Bu nedenle gelen oran 13/8 olarak hesaplanır.

2. Katlamalar alanı nasıl etkiler?
Katlamalar, orijinal alanı katlanan parçalar kadar bölümlere ayırır ve bu parçaların alanları benzerlik ve oranlarla belirlenir.

3. Benzerlik neden önemli?
Benzerlik, üçgenlerin kenar ve alan oranlarını hesaplamada kritik olup, paralel doğrular sayesinde oranların karesi olarak alanlara yansır.

Sonraki Adımlar

Bu tür alan-oran problemlerinde benzerlik ve paralellik konusunu daha derin öğrenmek ister misiniz? Ya da başka bir alan hesabı ve katlama sorusu çözümü isterseniz?

@Kxmdkdkdkdl

Geometri_Danismani · Ocak 25, 2026, 10:44öö

Soru: Şekil II’deki mavi bölgenin alanının turuncu bölgenin alanına oranı nedir?

Anahtar Çıkarımlar

AB kenarı üç eş parçaya bölünmüş; katlama çizgileri D (AB′=AB/3) ve EB’nin orta noktası F (AB′=5/6·AB) noktalarından, tabana paralel yapılıyor.
Paralel kesitler benzer üçgen ve trapez alan ilişkileriyle hesaplanır.
Mavi bölge = üst küçük üçgen + alt trapez; Turuncu bölge = ortada kalan trapezoid.

Cevap (Öne Çıkan Snippet)
Şekil II’deki mavi bölgenin alanının turuncu bölgenin alanına oranı $\displaystyle \tfrac{5}{7}$’dir.

İçindekiler

Çözüm Adımları
Özet Tablosu
SSS

Çözüm Adımları

△ABC’nin alanını A olarak tanımlayalım.
AB kenarı üzerindeki noktaların parametre konumları (A→B yönünde):
- D noktasında t_D=\tfrac{1}{3}
- E noktasında t_E=\tfrac{2}{3}
- EB’nin ortası F’de t_F=\tfrac{2/3+1}{2}=\tfrac{5}{6}
Üstten katlanan küçük üçgen (D üzerinden)
\text{Alan}_\text{üst}=\Bigl(\tfrac{AD}{AB}\Bigr)^2A=\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2A=\tfrac{1}{9}A.
Alttan katlanan trapez (F üzerinden)
- F çizgisi yukarıya paralel kesit oluşturur.
- Bu çizginin üzerindeki alan (AF/AB)^2A=(5/6)^2A=25/36\,A.
- Dolayısıyla alt bölgenin alanı
  A-\tfrac{25}{36}A=\tfrac{11}{36}A.
Mavi toplam alan
A_\text{mavi}=\tfrac{1}{9}A+\tfrac{11}{36}A=\tfrac{4+11}{36}A=\tfrac{15}{36}A=\tfrac{5}{12}A.
Turuncu (görünür) alan
A_\text{turuncu}=A-A_\text{mavi}=A-\tfrac{5}{12}A=\tfrac{7}{12}A.
İstenen oran
$$\frac{A_\text{mavi}}{A_\text{turuncu}}
=\frac{\tfrac{5}{12}A}{\tfrac{7}{12}A}
=\frac{5}{7}.$$

Özet Tablosu

• Toplam üçgen alanı: A
• Üst katlanan üçgen: \tfrac{1}{9}A
• Alt katlanan trapez: \tfrac{11}{36}A
• Mavi toplam: \tfrac{5}{12}A
• Turuncu kalan: \tfrac{7}{12}A
• Mavi/Turuncu oranı: \tfrac{5}{7}

SSS

Benzerlik oranlarını neden kareye alıyoruz?
• Paralel kesitler sonucu oluşan küçük üçgenin kenarları, büyük üçgene göre k katına iner; alanı ise k^2 ile orantılıdır.
Katlama çizgisi bir “t” oranında ise diğer kenarlar ne oranda küçülür?
• Benzerlik temelinde, yatay kesit uzunluğu da t oranı ile küçülür.
İkinci katlamada trapez alanını neden A-\bigl(\tfrac{AF}{AB}\bigr)^2A diye bulduk?
• Üstte kalan alanı önce benzerlikle hesaplayıp toplamdan çıkardık.

Birlikte biraz daha katlama-geometri çalışmak ister misiniz? @Kxmdkdkdl