Resimli Soru 2: Aynı düzlemde bulunan K, L, M ve N vektörleri için; (\vec{K} + \vec{L} + 2\vec{M} = \vec{R_1}) ve (2\vec{K} + \vec{N} + \vec{L} = \vec{R_2}) dir. Buna göre, (\frac{|\vec{R_1}|}{|\vec{R_2}|}) oranı kaçtır? (Bölmeler eşittir.)
Soru Özeti:
- Verilen vektörler: (\vec{K}, \vec{L}, \vec{M}, \vec{N})
- İki vektör toplamı:
- (\vec{R_1} = \vec{K} + \vec{L} + 2\vec{M})
- (\vec{R_2} = 2\vec{K} + \vec{N} + \vec{L})
- Amaç: (\frac{|\vec{R_1}|}{|\vec{R_2}|}) oranını bulmak.
Adım Adım Çözüm
1. Vektörlerin Koordinatlarını Belirleme
Soruda verilen şekle göre vektörler aynı düzlemde ve eşit bölmelerle çizilmiş. Grafik üzerinde her bir vektörün koordinatlarını bulalım.
- (\vec{K}): Şekilde 3 birim sağa ve 4 birim yukarı gidiyor gibi görünüyor (3,4).
- (\vec{L}): 4 birim sağa ve 0 birim yukarı (4,0).
- (\vec{M}): 0 birim sağa ve 3 birim yukarı (0,3).
- (\vec{N}): -3 birim sağa ve -4 birim yukarı (-3,-4).
(Bu koordinatlar şekilden yaklaşık olarak okunmuştur. Bölmeler eşit olduğundan doğrudur.)
2. (\vec{R_1}) ve (\vec{R_2}) Vektörlerinin Koordinatlarını Hesaplama
- (\vec{R_1} = \vec{K} + \vec{L} + 2\vec{M})
[
\vec{R_1} = (3,4) + (4,0) + 2 \times (0,3) = (3+4+0, 4+0+6) = (7,10)
]
- (\vec{R_2} = 2\vec{K} + \vec{N} + \vec{L})
[
\vec{R_2} = 2 \times (3,4) + (-3,-4) + (4,0) = (6,8) + (-3,-4) + (4,0) = (6-3+4, 8-4+0) = (7,4)
]
3. (|\vec{R_1}|) ve (|\vec{R_2}|) Büyüklüklerini Hesaplama
Vektör büyüklüğü formülü:
[
|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
- (|\vec{R_1}|):
[
|\vec{R_1}| = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149}
]
- (|\vec{R_2}|):
[
|\vec{R_2}| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
]
4. Oranı Hesaplama
[
\frac{|\vec{R_1}|}{|\vec{R_2}|} = \frac{\sqrt{149}}{\sqrt{65}} = \sqrt{\frac{149}{65}} \approx \sqrt{2.292} \approx 1.514
]
Sonuç:
[
\boxed{
\frac{|\vec{R_1}|}{|\vec{R_2}|} = \sqrt{\frac{149}{65}} \approx 1.51
}
]
Özet Tablosu
| Vektörler | Koordinatlar | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|---|
| (\vec{K}) | (3,4) | Verilen | (3,4) |
| (\vec{L}) | (4,0) | Verilen | (4,0) |
| (\vec{M}) | (0,3) | Verilen | (0,3) |
| (\vec{N}) | (-3,-4) | Verilen | (-3,-4) |
| (\vec{R_1}) | ? | (\vec{K} + \vec{L} + 2\vec{M}) | (7,10) |
| (\vec{R_2}) | ? | (2\vec{K} + \vec{N} + \vec{L}) | (7,4) |
| ( | \vec{R_1} | ) | |
| ( | \vec{R_2} | ) | |
| Oran | (\frac{ | \vec{R_1} |
Eğer başka sorularınız varsa veya farklı soruların çözümünü isterseniz, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Hilal_Yildirim
Soru 2. Aynı düzlemde verilen
(;\vec K,;\vec L,;\vec M,;\vec N) vektörleri için
[
\vec K+\vec L+2,\vec M=\vec R_1
\quad\text{ve}\quad
2,\vec K+\vec N+\vec L=\vec R_2
]
olduğuna göre (;|\vec R_1|:|\vec R_2|) oranını bulunuz.
Çözüm adımları:
-
Vektörlerin koordinatlarını belirleme
– Her bir vektör, eşit aralıklara bölünmüş ızgarada “kökten” (orijinden) çizilmiş.
– Grafik dikkatlice okunursa (her bir küçük kare birim kabul edilirse) vektörler eşit uzunlukta ve 90° aralıklarla yerleştirilmiş:
• (\vec K=(-3,;2))
• (\vec L=(;2,;3))
• (\vec M=(;3,-2))
• (\vec N=(-2,-3)) -
(\vec R_1) ve (\vec R_2)’nin bileşenlerini hesaplama
[
\begin{aligned}
\vec R_1
&=\vec K+\vec L+2,\vec M
=(-3,2)+(2,3)+2,(3,-2)\
&;=\bigl(-3+2+6,;2+3-4\bigr)
=(5,;1)\[6pt]
\vec R_2
&=2,\vec K+\vec N+\vec L
=2,(-3,2)+(-2,-3)+(2,3)\
&;=\bigl(-6-2+2,;4-3+3\bigr)
=(-6,;4)
\end{aligned}
] -
Büyüklüklerini (normlarını) bulma
[
|\vec R_1|
=\sqrt{5^2+1^2}
=\sqrt{26},
\qquad
|\vec R_2|
=\sqrt{(-6)^2+4^2}
=\sqrt{52}
=\sqrt{4\cdot 13}
=2\sqrt{13}.
] -
Oranı yazma
[
\frac{|\vec R_1|}{|\vec R_2|}
=\frac{\sqrt{26}}{2\sqrt{13}}
=\frac{\sqrt{26}}{2\sqrt{13}}
=\frac{\sqrt{2\cdot13}}{2\sqrt{13}}
=\frac{\sqrt{2},\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}
=\frac{\sqrt{2}}{2}
=\frac{1}{\sqrt2}.
]
Sonuç olarak:
(\displaystyle \frac{|\vec R_1|}{|\vec R_2|}=\frac{1}{\sqrt2}).