!Screenshot_20251209_152144_com.huawei.hinote|690x449 [Link Silindi]
Soru:
Dik koordinat düzleminde, f fonksiyonunun türevi olan f' fonksiyonunun grafiğinin [0,8] kapalı aralığındaki görünümü verilmiştir. f fonksiyonunun grafiği üç doğru parçasından oluşmaktadır. f(0) = \frac{5}{2} olduğuna göre, f(4) \cdot f(6) çarpımı kaçtır?
Çözüm:
1. Sorunun Anlaşılması
- f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş.
- f(x) fonksiyonunun başlangıç değeri f(0) = \frac{5}{2}.
- f(x) fonksiyonunun grafiği üç doğru parçasından oluşuyor.
- f(4) \cdot f(6) çarpımı isteniyor.
2. Temel Bilgiler
- f'(x), f(x) fonksiyonunun türevidir.
- f(x)'i bulmak için f'(x)'in grafiğinin altında kalan alanları (integral) kullanacağız.
- f(x)'in herhangi bir x noktasındaki değeri, başlangıç değeri f(0)'a f'(x)'in 0 ile x arasındaki integralinin eklenmesiyle bulunur:
f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) \, dt
3. Grafik İncelemesi ve Alanların Hesaplanması
Grafikte f'(x) üç doğru parçasından oluşuyor. Bu parçaların x ekseni üzerindeki aralıkları ve yükseklikleri yaklaşık olarak:
- [0,2] aralığında f'(x) = 3.5 (yaklaşık)
- [2,5] aralığında f'(x) negatif, yaklaşık olarak -2
- [5,8] aralığında f'(x) pozitif, yaklaşık olarak 1
Grafikteki değerler yaklaşık olduğu için alanları da yaklaşık hesaplayacağız.
3.1. f(4) hesaplama
- f(4) = f(0) + \int_0^4 f'(t) dt
- \int_0^4 f'(t) dt = \int_0^2 f'(t) dt + \int_2^4 f'(t) dt
İlk parça: [0,2]
- f'(x) yaklaşık 3.5 (düz çizgi)
- Alan = yükseklik × taban = 3.5 \times 2 = 7
İkinci parça: [2,4]
- f'(x) yaklaşık -2 (düz çizgi)
- Alan = -2 \times 2 = -4
Toplam alan:
7 + (-4) = 3
Böylece:
f(4) = f(0) + 3 = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5}{2} + \frac{6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5
3.2. f(6) hesaplama
- f(6) = f(0) + \int_0^6 f'(t) dt
- \int_0^6 f'(t) dt = \int_0^2 f'(t) dt + \int_2^5 f'(t) dt + \int_5^6 f'(t) dt
İlk iki parça zaten hesaplandı:
- \int_0^2 f'(t) dt = 7
- \int_2^5 f'(t) dt = -2 \times 3 = -6
Üçüncü parça: [5,6]
- f'(x) yaklaşık 1 (düz çizgi)
- Alan = 1 \times 1 = 1
Toplam alan:
7 + (-6) + 1 = 2
Böylece:
f(6) = f(0) + 2 = \frac{5}{2} + 2 = \frac{5}{2} + \frac{4}{2} = \frac{9}{2} = 4.5
4. Sonuç
f(4) \cdot f(6) = 5.5 \times 4.5 = 24.75
Ancak seçeneklerde tam sayı var, bu nedenle yaklaşık değerleri biraz daha hassas hesaplayalım.
5. Daha Hassas Alan Hesabı
Grafikte f'(x)'in değerleri tam olarak okunamadığı için yaklaşık değerler kullanıldı. Ancak soruda seçenekler tam sayılar olduğuna göre, alanları üçgen ve dikdörtgen alanları olarak hesaplamak daha doğru olur.
Grafikte f'(x) üç doğru parçasından oluşuyor. Bu parçaların alanlarını üçgen ve dikdörtgen alanları olarak hesaplayalım.
- [0,2] aralığında f'(x) grafiği 0'dan 7'ye yükseliyor (yaklaşık 7 birim).
- [2,5] aralığında f'(x) grafiği 7'den -2'ye düşüyor.
- [5,8] aralığında f'(x) grafiği -2'den 0'a yükseliyor.
5.1. [0,2] aralığı alanı
Üçgen alanı:
\frac{1}{2} \times 2 \times 7 = 7
5.2. [2,5] aralığı alanı
Bu aralıkta f'(x) negatif ve grafikte üçgen şeklinde.
Yükseklik: 7 + 2 = 9 (çünkü 7’den -2’ye iniyor)
Alan:
-\frac{1}{2} \times 3 \times 9 = -13.5
Negatif işaret alanın x ekseninin altında olduğunu gösterir.
5.3. [5,8] aralığı alanı
Üçgen alanı:
\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3
Burada yükseklik yaklaşık 2 birim.
5.4. Toplam alanlar
- [0,4] alanı: [0,2] + [2,4]
[2,4] alanı [2,5] alanının bir kısmı. [2,5] alanı -13.5, 3 birimlik aralık için.
[2,4] için alan:
-\frac{1}{2} \times 2 \times (7 + f'(4)) \approx -\frac{1}{2} \times 2 \times (7 + 0) = -7
Burada f'(4) yaklaşık 0 kabul edildi.
Toplam:
7 + (-7) = 0
Bu durumda f(4) = f(0) + 0 = \frac{5}{2} = 2.5
- [0,6] alanı:
[2,5] alanı: -13.5
[5,6] alanı: [5,8] alanının 1/3’ü, yani 3 \times \frac{1}{3} = 1
Toplam:
7 + (-13.5) + 1 = -5.5
Böylece:
f(6) = f(0) + (-5.5) = \frac{5}{2} - 5.5 = 2.5 - 5.5 = -3
6. Son Çarpım
f(4) \cdot f(6) = 2.5 \times (-3) = -7.5
Bu da seçeneklerde yok.
7. Sonuç ve Öneri
Grafikte verilen değerler tam okunamadığı için yaklaşık hesaplama yapıldı. Ancak soruda seçenekler pozitif tam sayılar olduğuna göre, ilk hesaplama daha mantıklı görünüyor.
İlk hesaplamaya göre:
| x | f(x) değeri |
|---|---|
| 0 | \frac{5}{2} = 2.5 |
| 4 | 5.5 |
| 6 | 4.5 |
Çarpım:
5.5 \times 4.5 = 24.75 \approx 25
Seçeneklerde 28 (C şıkkı) en yakın değer olabilir.
Özet Tablosu
| x Aralığı | f'(x) Yaklaşık Değeri | Alan (İntegral) | f(x) Değeri |
|---|---|---|---|
| 0 - 2 | 3.5 | 7 | f(2) = 2.5 + 7 = 9.5 (yaklaşık) |
| 2 - 4 | -2 | -4 | f(4) = 9.5 - 4 = 5.5 (yaklaşık) |
| 4 - 6 | -1 | -2 | f(6) = 5.5 - 2 = 3.5 (yaklaşık) |
Çarpım:
f(4) \times f(6) = 5.5 \times 3.5 = 19.25
Sonuç:
Yaklaşık değerlerle f(4) \cdot f(6) çarpımı 16 ile 28 arasında bir değerdir. Sorunun seçenekleri arasında en yakın değer 28 (C şıkkı) olabilir.
Eğer grafik daha net olursa, alanlar daha kesin hesaplanabilir.
Soru:
Dik koordinat düzleminde, f fonksiyonunun türevi olan f' fonksiyonunun grafiği [0, 8] kapalı aralığında aşağıda verilmiştir.
f(0) = \tfrac{5}{2} olduğuna göre,
(\,f(4) - f(0)\,)\times\bigl(f(4) - f(8)\bigr) çarpımı kaçtır?
Table of Contents
- Grafiğin Yorumu ve Temel Yaklaşım
- Adım Adım Alan Hesapları
2.1 0 ≤ x ≤ 4 aralığındaki alan (Pozitif Bölge)
2.2 4 ≤ x ≤ 8 aralığındaki alan (Negatif Bölge) - f(4) ve f(8) Değerlerinin Bulunması
- İstenen Farkların ve Çarpımın Hesaplanması
- Özet Tablosu
1. Grafiğin Yorumu ve Temel Yaklaşım
- f'(x) grafiği, f fonksiyonunun türevidir.
- f(x) değerlerini bulmak için
$$f(x) ;=; f(0);+;\int_{0}^{x} f’(t),dt$$
formülünü kullanırız. - Dolayısıyla,
- f(4)-f(0)=\displaystyle\int_{0}^{4}f'(t)\,dt
- f(8)-f(0)=\displaystyle\int_{0}^{8}f'(t)\,dt
- Bizden istenen ise
$$(f(4)-f(0))\times (f(4)-f(8))$$
ve burada f(4)-f(8) = -\bigl[f(8)-f(4)\bigr] olarak dikkate alınabilir.
2. Adım Adım Alan Hesapları
2.1 0 ≤ x ≤ 4 aralığındaki alan (Pozitif Bölge)
- Grafikten okunuyor ki f'(x), x=0 noktasından başlayıp x=4 noktasına kadar pozitif üçgen şekli oluşturuyor.
- Üçgenin taban uzunluğu 4 birim, yüksekliği 7 birim.
- Bu bölgedeki alan
$$A_1 ;=;\frac12;\times;4;\times;7;=;14$$ - Dolayısıyla
$$f(4)-f(0);=;\int_{0}^{4} f’(t),dt;=;14$$
2.2 4 ≤ x ≤ 8 aralığındaki alan (Negatif Bölge)
- Grafikte $x=4$’ten $x=8$’e kadar türev negatif düzlemde, tam bir üçgen şekli çiziyor.
- Üçgenin taban uzunluğu 8-4=4 birim, derinlik (yükseklik) 2 birim.
- Bu bölgedeki negatif alanın mutlak değeri
$$A_2 ;=;\frac12;\times;4;\times;2;=;4$$ - Ancak işaret negatif olduğu için
$$\int_{4}^{8} f’(t),dt;=;-,4$$
3. f(4) ve f(8) Değerlerinin Bulunması
- Bildiğimiz f(0)=\frac52.
- f(4) için:
$$f(4);=;f(0);+;\int_{0}^{4}f’(t),dt;=;\frac52 ;+;14;=;\frac{5+28}{2};=;\frac{33}{2}$$ - f(8) için:
$$f(8);=;f(0);+;\int_{0}^{8}f’(t),dt
=;\frac52 ;+;(14-4);=;\frac52 ;+;10;=;\frac{5+20}{2};=;\frac{25}{2}$$
4. İstenen Farkların ve Çarpımın Hesaplanması
- İlk terim:
$$f(4)-f(0);=;14$$ - İkinci terim:
$$f(4)-f(8)
=;\frac{33}{2};-;\frac{25}{2}
=;\frac{8}{2}
=;4$$ - Çarpım:
$$\boxed{%
(f(4)-f(0))\times(f(4)-f(8))
=14\times4
=56
}$$
5. Özet Tablosu
| Bölge | Aralık | Alan İşareti | Alan (mutlak) |
|---|---|---|---|
| Pozitif (üçgen) | 0\le x\le4 | + | 14 |
| Negatif (üçgen) | 4\le x\le8 | - | 4 |
| Değer | Hesap | Sonuç |
|---|---|---|
| f(4)-f(0) | \int_0^4 f'(t)\,dt =14 | 14 |
| f(4)-f(8) | \frac{33}{2}-\frac{25}{2}=4 | 4 |
| Çarpım | 14\times4 | \;56\; |
Cevap: \displaystyle 56