!WhatsApp Image 2025-10-10 at 12.27.01|690x365 [Link Silindi]
Soru:
ABC ve DEF birer dik üçgen olup, |AB| = |AC|, m(∠BAC) = m(∠EDF) = 90° olmak üzere; ABC üçgeni, C → E ve B → F gelecek biçimde ötelenip Şekil 2’deki görsel elde ediliyor.
m(∠A′FD) = 15° ve |DF| = 2√6 birim olduğuna göre, |AB| kaç birimdir?
Table of Contents
- Problem Tanımı
- Çözüm Adımları
2.1. ABC üçgeninin özellikleri
2.2. DEF üçgeninin özellikleri
2.3. Açı ilişkisi ve |AB|’nin bulunması - Sonuç
- Özet Tablosu
1. Problem Tanımı
-
ABC bir dik ikizkenar üçgen:
• ∠BAC = 90°
• AB = AC = x -
DEF bir dik üçgen:
• ∠EDF = 90°
• DF = 2√6 -
Şekil 2’de ABC, C → E ve B → F gelecek şekilde ötelenmiş. Yeni A noktası A′ ile gösteriliyor.
-
Verilen: ∠A′FD = 15°.
-
Aranan: AB = x.
2. Çözüm Adımları
2.1. ABC üçgeninin özellikleri
ABC, dik ve ikizkenar olduğundan:
- Dik açı A’da ⇒ AB ⟂ AC
- AB = AC = x
- Hipotenüs BC = x√2
Ötelenince A → A′, B → F, C → E yapılıyor. Böylece A′FE üçgeni de dik ikizkenar olur:
- ∠FA′E = 90°
- A′F = A′E = x
- Hipotenüs FE = x√2
2.2. DEF üçgeninin özellikleri
DEF üçgeni dik ve:
- ∠EDF = 90°
- DF = 2√6
- FE = hipotenüs = ?
- ∠DFE = θ (bilmiyoruz)
Hipotenüs ve açı ilişkisi:
sin(θ) = karşı / hip = DF / FE ⇒ FE = DF / sin θ = (2√6) / sin θ
2.3. Açı ilişkisi ve |AB|’nin bulunması
A′F ve FD arası verilen açı 15°’dir. Şekil’de A′F, FE’ye 45°; FE ile FD arasındaysa θ var. İki ışının oluşturduğu küçük açı:
|θ − 45°| = 15°
Buna göre iki olasılık:
- θ − 45° = 15° ⇒ θ = 60°
- 45° − θ = 15° ⇒ θ = 30°
Şekil’i dikkate alarak θ > 45° durumu (θ = 60°) seçilir.
- θ = 60° ise
sin 60° = DF / FE ⇒ (√3/2) = (2√6) / FE
⇒ FE = (2√6)·(2/√3) = 4√2
ABC üçgeninden FE = x√2 eşitliğini kullanırsak:
x√2 = 4√2
x = 4
3. Sonuç
|AB| = 4 birim.
4. Özet Tablosu
| Adım | Bilgi / Formül | Sonuç |
|---|---|---|
| ABC üçgeni | AB = AC = x, hipotenüs FE = x√2 | — |
| DEF üçgeni | DF = 2√6, ∠DFE = θ, FE = DF/sinθ | FE = (2√6)/sinθ |
| Açı ilişkisi | θ − 45° | |
| FE’nin bulunması | sin60° = (2√6)/FE | FE = 4√2 |
| x’in hesabı (x√2 = FE) | x√2 = 4√2 | x = 4 |