Resimli sorudaki problem şu şekilde özetlenebilir:
• O merkezli çemberde C noktası, DE doğrusuna teğet noktadır.
• ∠CAB = x – 10° ve ∠COB = x + 40° olarak verilmektedir.
• Buna göre, teğet DC ile kiriş BC’nin oluşturduğu ∠DCB = y açısı soruluyor.
Aşağıda adım adım çözümü inceleyelim.
1. Temel Geometri Bilgisi
- Bir çemberde, merkez açı (örnek: ∠COB) ile onu gören çevre açısı (örnek: ∠CAB) aynı yayı gördüklerinde, çevre açısı merkez açının yarısı kadar olur:m(\widehat{\text{ÇevreAçısı}}) = \frac{1}{2}\,m(\widehat{\text{MerkezAçısı}})
- Ayrıca teğet-kiriş açısı teoremi (Alternate Segment Theorem) gereği, bir noktadaki teğet ile kirişin oluşturduğu açı, o kirişi aynı çemberde gören çevre açısına eşittir.
2. Verilen Açıların İlişkisi
Verilerimize göre:
- ∠CAB = x – 10°
- ∠COB = x + 40°
Bir çemberde merkez açı (∠COB) aynı yayı gören çevre açıya (∠CAB) göre iki katı olmalıdır. Bu durumda:
Denklemi çözelim:
Dolayısıyla:
- ∠CAB = x – 10 = 60 – 10 = 50°
- ∠COB = x + 40 = 60 + 40 = 100° (merkez açı)
3. Teğet-Kiriş Açısı (∠DCB)
Teğet-kiriş açısı kuralına göre, C noktasındaki teğet DC ile kiriş BC’nin yaptığı ∠DCB açısı, aynı kiriş (BC) üzerinden görülen çevre açısı (burada ∠CAB) ile eşittir. Yukarıda bulduğumuz gibi:
Bu nedenle,
4. Sonuç ve Cevap
Böylece soruda aranan y açısı 50° bulunur (Seçenek A).
Çözüm Özeti Tablosu
| Adım | İşlem/İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Merkez ve Çevre Açısı İlişkisi | x - 10 = (x + 40) / 2 | x = 60 |
| 2. ∠CAB ve ∠COB Değerleri | ∠CAB = 60 - 10 = 50°, ∠COB = 60 + 40 = 100° | 50°, 100° |
| 3. Teğet-Kiriş Açısı | ∠DCB, ∠CAB açısına eşittir (teğet-kiriş açısı teoremi) | 50° |
| 4. Nihai Cevap | ∠DCB = 50° (A Seçeneği) | 50° |
Kısaca: Merkez açı (100°) ve çevre açısı (50°) ilişkisini bulduktan sonra, teğet-kiriş açısının (∠DCB) çevre açısı (∠CAB) ile aynı ölçüde olduğunu kullanarak y = 50° elde ederiz.
Soruyu Çözmek İçin Adım Adım Çözüm
Soruda bir çember üzerinde açıların ölçüleri verilmiştir ve istenen şey, m(DCB) açısının kaç derece olduğunu bulmaktır.
Verilenler:
- m(∠CAB) = x − 10°
- m(∠COB) = x + 40°
- DE doğrusu çembere C noktasında teğet.
Teğet doğrular ve çember üzerindeki açıların ilişkileri temel geometrik özelliklere dayanır. Çözüm sırasında bu ilişkiler kullanılacaktır.
Adım 1: Çember üzerinde merkezi açı ile çevresel açı ilişkisi
Bir çemberde merkezi açı, aynı yayı gören çevresel açının iki katıdır.
Yani:
m(∠COB) = 2 × m(∠CAB)
Adım 2: Verileri ilişkilendir
Verilenleri kullanarak:
m(∠COB) = x + 40
ve
m(∠CAB) = x - 10
Merkezi açı çevresel açının iki katı olduğundan:
Adım 3: Denklemi çöz
x + 40 = 2x − 20
40 + 20 = 2x − x
x = 60
Adım 4: ∠CAB ve ∠COB değerlerini bul
- m(∠CAB) = x − 10 = 60 − 10 = 50°
- m(∠COB) = x + 40 = 60 + 40 = 100°
Adım 5: m(∠DCB)'yi bul
Çemberde teğet ile oluşturulan açı, çevresel açının ölçüsüyle aynıdır.
Yani:
m(∠DCB) = m(∠CAB)
Bu durumda:
m(∠DCB) = 50°
Sonuç:
Doğru cevap: A) 50
Özet Tablo
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Çevresel-Merkezi açı | m(∠COB) = 2 × m(∠CAB) | Denklem kuruldu |
| 2. Denklemi çöz | x + 40 = 2(x − 10) | x = 60 |
| 3. Değerleri bul | m(∠CAB) = 60 − 10 ve m(∠COB)=100 | CAB=50° , COB=100° |
| 4. Teğet özelliği | m(∠DCB) = m(∠CAB) | DCB=50° |