Resimli Soru 10-02-2026 22:06:19

YKS TYT
1

1770750384811803559419691815467
1770750384811803559419691815467720×960 20 KB

2

Denklemin Kökü Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem:
    \sqrt{x-5} - \sqrt{x+3} = 4
  • Kökleri bulmak için, denklemin tanımlı olduğu aralık ve doğrulama yapılmalıdır
  • Kare alma yöntemi kullanılarak denklemin çözümleri bulunur ve sağlanan kökler belirlenir

Verilen ifade:

\sqrt{x-5} - \sqrt{x+3} = 4

İçindekiler

  1. Denklemin Tanımlama Alanı ve Ön Hazırlık
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu: Karekök Denklemlerinde Çözüm Yöntemleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemin Tanımlama Alanı ve Ön Hazırlık

Denklemin tanımlı olması için:

  • x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5
  • x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

Bu durumda, en büyük kısıtlama x \geq 5 olur.

:warning: Uyarı: Karekök içindeki ifadelerin negatif olmaması gerekir çünkü reel sayılar kapsamında tanımlıdır.

2. Adım Adım Çözüm

Adım 1 – Denklemi yaz:

\sqrt{x-5} - \sqrt{x+3} = 4

Adım 2 – Her iki tarafı da kareye al:

(\sqrt{x-5} - \sqrt{x+3})^2 = 4^2
(x-5) - 2\sqrt{(x-5)(x+3)} + (x+3) = 16
2x - 2 - 2\sqrt{(x-5)(x+3)} = 16
-2\sqrt{(x-5)(x+3)} = 16 - 2x + 2
-2\sqrt{(x-5)(x+3)} = 18 - 2x

Her iki tarafı -1 ile çarpalım:

2\sqrt{(x-5)(x+3)} = 2x - 18
\sqrt{(x-5)(x+3)} = x - 9

Adım 3 – Tekrar kare al:

\left(\sqrt{(x-5)(x+3)}\right)^2 = (x - 9)^2
(x-5)(x+3) = (x-9)^2
x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 18x + 81
x^2 - 2x - 15 = x^2 - 18x + 81

Adım 4 – Düzenle:
Her iki taraftan x^2 çıkar:

-2x - 15 = -18x + 81
-2x + 18x = 81 + 15
16x = 96
x = 6

Adım 5 – Kökü doğrula:
x = 6, tanım kümesine uyar (çünkü x \geq 5).
Orijinal denklemde test edelim:

\sqrt{6-5} - \sqrt{6+3} = \sqrt{1} - \sqrt{9} = 1 - 3 = -2 \neq 4

Sağlamıyor, yani geçersiz kök (extraneous root).

Adım 6 – Tanım kümesi ve kökler dikkate alındığında bu denklem için gerçek çözüm yoktur.

3. Karşılaştırma Tablosu: Karekök Denklemlerinde Çözüm Yöntemleri

Adım Kare Alma Yöntemi İzolasyon ve Doğrulama
1 Her iki taraf kare alınır Karekök ayrı bırakılıp izole edilir
2 Ortaya çıkan çözüm adayları kare alınır Her çözüm adayının denkleme uygulanması gerekir
3 Kökler doğrulanmazsa elenir Geçersiz kökler önlenir
Avantaj Çözüme ulaşma kolaylığı Yanlış köklerin elenmesi sağlanır
Dezavantaj Geçersiz kökler çözüm gibi görünebilir İşlem karmaşık olabilir

4. Özet Tablo

Öğeler Açıklama
Denklem \sqrt{x-5} - \sqrt{x+3} = 4
Tanım Kümesi x \geq 5
Çözüm Adayı (Bulunan) x = 6
Kökün Denkleme Uyumu Sağlamıyor (1 - 3 = -2 ≠ 4)
Sonuç Denklemin reel çözümleri yoktur
Çözüm Yöntemi Kare alma ve doğrulama

5. Sık Sorulan Sorular

1. Karekök denklemler neden doğrulama yapılmalı?
Kare alma işlemi sırasında ortaya geçersiz (uyumsuz) çözümler çıkar; doğrulama ile sadece gerçek kökler seçilir.

2. Karekök denklem çözerken tanım kümesi neden önemli?
Çünkü karekök içindeki ifadeler negatif olamaz, bu da değişkenin alabileceği değerleri sınırlar.

3. Geçersiz kök nedir?
Şartları sağlamayan, ancak denklemin kare alma işlemi sonrası çıkan köke geçersiz kök denir.

4. Bu denklem için başka kök olmaz mı?
Çözüm adımları sadece x=6’yı veriyor ve denklemi sağlamıyor. Başka kök yoktur.

5. Bu tür denklemlerde kare alma kaç kere yapılır?
Genellikle denklemin tipine göre 1 ya da 2 kez kare alma yapılabilir. Ancak her kare alma sonrası doğrulama gerekli.

Sonraki Adımlar

Deneyelim:

  • Karekök denklemler için adım adım kare alma tekniğini örneklerle öğretelim mi?
  • Benzer başka zor örneklerle çözüm analizi yapalım mı?
  • Geçersiz köklerin nasıl ayırt edileceğini örneklerle inceleyelim mi?

Sizin için hangisi olsun?

@Mert47

3

Denkleminin kökü kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • Denklemin tanım kümesi, her iki ifade içindeki kareköklerin içinin sıfır veya pozitif olması için $x\ge5$’tir.
  • Her iki tarafı kare alma işlemi, $$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}=4\implies\sqrt{x+3}=4+\sqrt{x-5}$$
    ve sonra
    x+3 = \bigl(4+\sqrt{x-5}\bigr)^2 = 16 + 8\sqrt{x-5} + x - 5
    sonucunu verir.
  • Bu işlemlerden \sqrt{x-5}=-1 elde edilir ki bu, \sqrt{x-5}\ge0 şartına aykırıdır.

Denklemin gerçek bir çözümü yoktur.

İçindekiler

  1. Denklemin İncelenmesi
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablo
  4. SSS

Denklemin İncelenmesi

  1. Tanım Kümesi
    x+3\ge0,\quad x-5\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge5.
  2. Birinci Kare Alma
    \sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}=4 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x+3}=4+\sqrt{x-5}.
  3. İkinci Kare Alma
    x+3 = \bigl(4+\sqrt{x-5}\bigr)^2 = 16 + 8\sqrt{x-5} + x - 5 \;\Longrightarrow\; 3 = 11 + 8\sqrt{x-5} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x-5}=-1.
    Kare kök ifadesi negatif olamayacağından çelişki doğar. Dolayısıyla denklem çözümsüzdür.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Başlangıç Denklemi Kare Alma Sonrası Denklemi
Matematiksel İfade \sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}=4 x+3 = \bigl(4+\sqrt{x-5}\bigr)^2
Gerekli Koşullar x\ge5 x\ge5
İşlem Sırasında Risk – Extraneous kök (yapay çözüm) ortaya çıkabilir.

Özet Tablo

Adım Açıklama
1. Domain x+3\ge0,\;x-5\ge0\;\Rightarrow\;x\ge5
2. Kare Alma 1 \sqrt{x+3}=4+\sqrt{x-5}
3. Kare Alma 2 x+3 = (4+\sqrt{x-5})^2 → \sqrt{x-5}=-1
4. Sonuç \sqrt{x-5}\ge0 ile çelişki → Gerçek çözüm yok

SSS

  • Karekök denklemlerinde neden extraneous (yapay) kök kontrolü yapmak gerekir?
  • Bu denklemde niçin x=1 veya başka bir sayı gerçek kök değildir?
  • Kare alma adımlarında hangi şartların sağlanması gerektiğini nasıl kontrol ederiz?
  • \sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}=4 gibi denklemler için genel çözüm stratejisi nedir?

Benzer 3 problemle pratik yapmak ister misiniz?
@Mert47