Resimli Soru 10-02-2026 19:39:24

YKS TYT
1

IMG_20260210_192838
IMG_20260210_192838720×960 28.7 KB

2

Resimli Soru 10-02-2026 19:39:24 Çözümü

Önemli Noktalar

  • Küme işlemleri temelinde, birleşim kümelerinin eşitliği durumunda elemanlar incelenir.
  • Doğal sayılarla kurulan kümelerde ortak ve farklı elemanların belirlenmesi önemlidir.
  • Alt küme sayısı, kümenin eleman sayısına göre hesaplanır: Bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2^n’dir.

İki soru görüntüsünde küme işlemleri ve sayma problemleri yer almakta. İkinci soruda A \cup B = A \cup C koşuluna göre en çok kaç tane C kümesi yazılabileceği sorulmuş.

İçindekiler

  1. Soru 1: Küme Birleşimi Eleman Sayısı
  2. Soru 2: A \cup B = A \cup C Koşulu
  3. Karşılaştırma Tablosu: Küme İşlemleri Temelleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Soru 1: Küme Birleşimi Eleman Sayısı

  • A = \{x \,|\, 50 \leq x \leq 123; x = 4k, k \in \mathbb{N}\}
  • B = \{x \,|\, 20 \leq x \leq 80; x = 3k, k \in \mathbb{N}\}

Amaç: A \cup B kümesinin eleman sayısını bulmak.

Adımlar

  1. A kümesinin eleman sayısı:
    En küçük değer: 52 (50’den sonra 4’ün katı) değil, çünkü 50 mod 4 = 2, 52 mod 4=0, ama 52 < 50 değil. İlk 4 katı 4 \times 13 = 52
    En büyük değer: 123
    Formül:
\text{Eleman sayısı} = \left\lfloor \frac{\text{max} - \text{min}}{4} \right\rfloor + 1

Burada:

\min = 52, \quad \max = 4 \times \left\lfloor \frac{123}{4} \right\rfloor = 4 \times 30 = 120

Eleman sayısı:

\frac{120 - 52}{4} + 1 = \frac{68}{4} + 1 = 17 + 1 = 18
  1. B kümesinin eleman sayısı:
    En küçük: 21 (20 mod 3=2, 21 mod 3=0)
    En büyük: 78 (80 mod 3=2, 78 mod 3=0)
    Eleman sayısı:
\frac{78 - 21}{3} + 1 = \frac{57}{3} + 1 = 19 + 1 = 20
  1. Ortak elemanlar A \cap B :
    Hem 4’ün, hem 3’ün katı olması gerekir. Yani 12’nin katları (LCM(3,4) = 12)
    Kontrol aralığı:
  • En küçük 12 katı: 12 × hangi tam sayı? 50 ≤ x ≤ 80 →
    Başlangıç: \lceil \frac{50}{12} \rceil = 5 , 12 × 5 = 60
    Bitiş: \lfloor \frac{80}{12} \rfloor = 6 , 12 × 6 = 72

Ortak elemanlar: {60, 72}
Toplam 2 eleman var.

  1. Birleşim kümesinin eleman sayısı:
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 18 + 20 - 2 = 36

Doğru cevap D şıkkı: 36

Soru 2: A \cup B = A \cup C Koşulu

  • Verilen:
    A = \{a, b, c, d\}
    B = \{b, c, e\}

  • Durum:
    A \cup B = A \cup C koşulunu sağlayan en çok kaç tane C kümesi yazılabilir?

Adımlar

  1. Birleşimleri bulalım:
A \cup B = \{a, b, c, d\} \cup \{b, c, e\} = \{a, b, c, d, e\}
  1. Koşul:
A \cup C = A \cup B = \{a, b, c, d, e\}
  1. A elemanları zaten birleşimde var.
  2. C kümesi A \cup C = \{a,b,c,d,e\} olmalı. Bu, A \cup C kümesinde sadece e elemanının fark oluşturduğunu gösterir.
  3. Eğer C, A’nın dışında eleman içerirse bu elemanlar A \cup C’de görünür, ki o da A \cup B kümesi olmalı. Yeni eleman eklenemez çünkü A \cup B sadece e içerir.

Sonuç: C kümesi elemanları sadece \{a,b,c,d,e\} kümesinden seçilebilir.

  1. C kümesi herhangi 0 veya daha fazla eleman seçebilir, ama tüm bu elemanlar A \cup B’nin elemanları olmalı.

Burada, A kümesi zaten var, diğerleri: e, ve Adan da a,b,c,d.

Yani C kümesi, \{a,b,c,d,e\} kümesinin bir alt kümesi olabilir.

En çok kaç tane C kümesi olabilir?

  • Eleman sayısı:
|\{a,b,c,d,e\}| = 5
  • Alt kümelerin sayısı:
2^5 = 32

Cevap: 32.

Doğru cevap B şıkkı: 32

Karşılaştırma Tablosu: Küme İşlemleri Temelleri

İşlem Tanım Örnek Özellik
Birleşim (\cup) İki kümenin tüm elemanlarının birleşimi (A \cup B = {x x \in A \text{ veya } x \in B})
Kesişim (\cap) İki kümenin ortak elemanları (A \cap B = {x x \in A \text{ ve } x \in B})
Alt Küme Bir kümenin elemanlarının tamamı başka bir kümede varsa A \subseteq B Tüm elemanlar sayılır
Alt Kümenin Sayısı n elemanlı kümenin 2^n alt kümesi vardır - Boş küme dahil

Özet Tablo

Soru İşlem Sonuç
Soru 1 Birleşim eleman sayısı 36
Soru 2 A \cup B = A \cup C için C alt kümeleri sayısı 32

Sık Sorulan Sorular

1. Küme birleşimindeki ortak elemanlar neden çıkarılır?
Ortak elemanlar her iki kümeye birden dahil olduğu için birleşimde bir kez sayılır; aksi halde çift sayılır ve toplam eleman sayısı yanlış olur.

2. Alt kümelerin toplam sayısı nasıl bulunur?
Bir kümenin n elemanı varsa, tüm alt kümelerinin sayısı 2^n olur; çünkü her eleman alt kümeye ya dahil olur ya olmaz.

3. A \cup B = A \cup C eşitliği ne anlama gelir?
Birleşimler eşitse, B ve C kümeleri A dışında aynı elemanlara sahip olmak zorundadır; yani C kümesi, B kümesindeki farklı elemanları içermeli, yeni eleman eklememelidir.

Sonraki Adımlar

Bu tip küme sorularında zorlanıyorsanız, size kümelerde temel kavramlar ve Venn diyagramları ile ilgili görsel destekli bir rehber hazırlamamı ister misiniz?

@Vedat4

3

Resimli Soru 10-02-2026 19:39:24

Temel Noktalar

  • Küme A: A=\{x\mid 50\le x\le123,\;x=4k\} → |A|=18
  • Küme B: B=\{x\mid20\le x\le80,\;x=3k\} → |B|=20
  • A∩B: Ortak elemanlar = \{60,72\} → |A\cap B|=2
  • Birleşim kuralı: |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|
  • Alt küme sayısı (üçten az): C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)=37\ \Rightarrow n=8

Hızlı Cevaplar

    1. Soru: |A\cup B|=36
    1. Soru: Verilen koşul eşitsiz/çelişkili → açıklama gerektirir
    1. Soru: Küme eleman sayısı n=8

İçindekiler

  1. 1. Soru: A ∪ B’nin Eleman Sayısı
  2. 2. Soru: A ∪ B = A ∩ C Koşulu
  3. 3. Soru: Üçten Az Alt Kümeler

1. Soru: A ∪ B’nin Eleman Sayısı

Çözüm:

  • A kümesindeki 4k biçimindeki sayılar:
    \min k = \lceil50/4\rceil=13,\quad \max k=\lfloor123/4\rfloor=30\quad\Rightarrow |A|=30-13+1=18.
  • B kümesindeki 3k biçimindeki sayılar:
    \min k=\lceil20/3\rceil=7,\quad \max k=\lfloor80/3\rfloor=26\quad\Rightarrow |B|=26-7+1=20.
  • Ortak elemanlar x hem 4’e hem 3’e bölünecek, yani 12’ye bölünecek;
    aralık 50\le x\le80 içinde bunlar 60,72 → |A\cap B|=2.
  • Birleşim:
    |A\cup B|=18+20-2=36.

Cevap: D) 36

2. Soru: A ∪ B = A ∩ C Koşulu

Verilen

A=\{a,b,c,d\},\quad B=\{b,c,e\},\quad A\cup B=\{a,b,c,d,e\}

ise

A\cap C\subseteq A

olduğundan e\in A\cap C mümkün değildir. Dolayısıyla belirtilen eşitlik sağlanamaz.
Not: Burada “en çok kaç C kümesi” sorusu, evrensel küme tanımı ve izin verilen elemanlar net olmadığından belirsizdir. Lütfen evrensel küme $U$’yu belirtiniz.

3. Soru: Üçten Az Alt Kümeler

“Üçten az elemanlı alt küme” ifadesi k<3\implies k=0,1,2 alt kümeleridir.

\sum_{k=0}^2 \binom{n}{k}=1+n+\frac{n(n-1)}{2}=37

çözümü:

n^2+n-72=0\;\Rightarrow\;n=8\ (\text{pozitif}).

Cevap: 8

Karşılaştırmalı Çizelge

Soru No Problem Türü Çözüm Stratejisi Cevap
1 Sayı teorisi Bölünebilme + birleşim formülü 36
2 Küme eşitliği Evrensel küme belirsiz → çelişki – (kl.)
3 Kombinasyon \sum C(n,k) denklem çözümü 8

Özet Tablosu

Soru Formül Sonuç
$ A\cup B $
A\cup B=A\cap C Belirsiz (evrensel küme gerek) –
Üçten az alt küme \sum_{k=0}^2 \binom{n}{k}=37 çözümü n=8

SSS

  1. “Üçten az” derken boş küme sayılır mı?
    Evet; k=0 ifadesi boş kümeyi kapsar.
  2. Formül neden |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|?
    Ortak elemanları iki kez saymamak için çıkarılır.
  3. İkinci soruda C’nin elemanlarını nereden alıyoruz?
    Evrensel küme U belirtilmeli; aksi halde belirsiz.
  4. Alt küme sayısı genel formül nedir?
    Toplam alt küme sayısı 2^n, k elemanlı alt küme sayısı \binom{n}{k}.

Başka bir soru çözmemi ister misiniz? Özellikle 2. soruda evrensel küme tanımını netleştirelim mi?
@Vedat4