12. Resimli Soru: 3·s(A)=5·s(B), s(A∪B)=26 ve s(A∖B)=14 olduğuna göre s(A∩B) kaçtır?
Yerel Anahtar Noktalar
- 3·s(A) = 5·s(B) ilişkisi, |A| ve |B|’yi bir parametreye göre orantılayarak ifade eder.
- s(A∪B)=26 ve s(A∖B)=14 bize birleşim ve fark kümesi formülleriyle ek denklem sağlar.
- |A∩B|’yi bulmak için
- farktan, |A|–|A∩B|=14
- birleşimden, |A|+|B|–|A∩B|=26
denklemleri birlikte çözülür.
Doğrudan Cevap
|A∩B| = 6.
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
- Orantı kur:3\cdot|A| = 5\cdot|B|\;\implies\;|A|=5k,\;|B|=3k
- Fark kümesi formülü:
$$|A\setminus B| = |A| - |A\cap B| = 14
;\implies;5k - |A\cap B| = 14
;\implies;|A\cap B| = 5k - 14$$ - Birleşim kümesi formülü:
$$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 26
;\implies;5k + 3k - (5k - 14) = 26
;\implies;8k -5k +14 = 26
;\implies;3k = 12
;\implies;k = 4$$ - Kesiti yerine koy:|A\cap B| = 5k - 14 = 20 - 14 = 6.
2. Karşılaştırmalı Tablo
| Özellik | A∪B | A∩B | A∖B |
|---|---|---|---|
| Eleman sayısı formülü | $ | A | + |
| Mantık | Birleşim (Özlem + Çakışma) | Ortak elemanlar | A’da olup B’de olmayanlar |
| Bu sorudaki değer (k=4) | 26 | 6 | 14 |
3. Özet Tablo
| Değişken | Değer |
|---|---|
| k | 4 |
| A | |
| B | |
| A∩B |
4. SSS
S1: |A∩B| genel formülü nedir?
C1: $$|A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|.$$
S2: Fark kümesi formülünü nasıl kullanırız?
C2: $$|A\setminus B| = |A| - |A\cap B|.$$
S3: Orantı verilen sorularda k nasıl bulunur?
C3: Eleman sayıları |A|=ak,\;|B|=bk şeklinde yazılır, başka bir denklemle k değeri belirlenir.
Bu adımları başka bir birleşim-kesişim örneği üzerinde uygulamamı ister misiniz?
@Vedat4
Sorunun Çözümü: s(A∩B) Değerini Bulma
Önemli Noktalar
- Küme eleman sayısı s(·) ile gösterilir.
- Verilen denklemler:
- 3 \cdot s(A) = 5 \cdot s(B)
- s(A \cup B) = 26
- s(A \setminus B) = 14
- Amaç: s(A \cap B) değerini bulmak.
İçindekiler
Verilenler ve Temel Kavramlar
- s(A) : A kümesinin eleman sayısı
- s(B) : B kümesinin eleman sayısı
- s(A \cup B) : A ve B kümelerinin birleşimindeki toplam eleman sayısı
- s(A \cap B) : A ve B kümelerinin kesişimindeki ortak eleman sayısı
- s(A \setminus B) : A kümesinde olup B kümesinde olmayan eleman sayısı
Temel formüller:
Adım Adım Çözüm
- Denklem 1’den s(A) ve s(B) arasındaki ilişkiyi yazalım:
- Denklem 2’yi açalım:
Burada s(A) = \frac{5}{3} s(B), yerine koyarsak:
- Denklem 3’e göre:
- Denklem 3’ten s(A \cap B) çıkaralım:
- Bu ifadeyi Denklem 2’de yerine koy:
- Buradan s(B) bulunur:
- s(A) hesaplansın:
- s(A \cap B) sonucu:
Özet Tablo
| Eleman | Değer |
|---|---|
| s(B) (B kümesindeki eleman) | 12 |
| s(A) (A kümesindeki eleman) | 20 |
| s(A \cap B) (Kesişim kümesinin eleman sayısı) | 6 |
| s(A \cup B) (Birleşim kümesinin eleman sayısı) | 26 |
| s(A \setminus B) (A’da olup B’de olmayan) | 14 |
Sık Sorulan Sorular
1. s(A \cap B) neden önemli?
Kesişim, iki kümenin ortak eleman sayısını gösterir. Küme işlemlerinde temel kavramdır ve birleşim gibi işlemleri anlamaya yardımcı olur.
2. s(A \setminus B) nasıl hesaplanır?
Bu, A kümesinde olup B kümesinde olmayan eleman sayısıdır ve s(A) - s(A \cap B) olarak bulunur.
3. Verilen ilişki 3 \cdot s(A) = 5 \cdot s(B) , ne anlama gelir?
Bu, A ve B kümelerinin eleman sayıları arasında oran verilmiştir. Örneğin A’nın eleman sayısı B’nin eleman sayısının \frac{5}{3} katıdır.
Sonraki Adımlar
Benzer küme problemlerinde, birleşim, kesişim ve fark işlemlerini kullanarak başka örnekler çözmek ister misiniz? Ya da Venn diyagramlarıyla görselleştirmeyi öğrenelim mi?