Resimli Soru 10-02-2026 19:42:00

YKS TYT
1

IMG_20260210_192842
IMG_20260210_192842720×960 25.1 KB

2

Resimli Soru 10-02-2026 19:42:00 Çözümü

Önemli Noktalar

  • A ve B kümeleri verildiğinde, A \cup B = A \cup C eşitliğini sağlayan C kümeleri bulunacak.
  • Üçten az elemanlı alt kümelerin sayısı 37 olan bir kümenin eleman sayısı soruluyor.
  • Güç kümesi sayısı ve kombinasyonlar bu tür problemlerde sıkça kullanılır.

Soruları MODÜL gibi inceleyelim:

1. Soru Çözümü: A = \{a,b,c,d\} ve B = \{b,c,e\} için,

A \cup B = A \cup C koşulunu sağlayan en çok kaç tane C kümesi yazılabilir?

  • A \cup B = \{a,b,c,d,e\}
  • A \cup C = A \cup C ifadesinde A \cup C kümesinin sonucu da \{a,b,c,d,e\} olmalı.

Bu durumda A \cup C = \{a,b,c,d,e\} olabilmesi için A \cup C kümesinin elemanları A \cup B ile aynı olmalıdır.

Burada kritik nokta:
A \cup C = A \cup B \Rightarrow A \cup C = \{a,b,c,d,e\}
Ama A = \{a,b,c,d\} zaten A içinde olmayan ve bu birleşime yeni elemanlar ekleyen tek yer C olabilir.

Yani A \cup C = A \cup B ise:

  • C , \{a,b,c,d,e\} elemanlarından seçilebilir.
  • Ancak A zaten a,b,c,d elemanlarını içeriyor.
  • Bu nedenle, A \cup C = A \cup B olması için C kümesi mutlaka e elemanını içermelidir; aksi takdirde birleşim e yi içermez.

Sonuç:

  • C kümesinde e olmalı.
  • Diğer elemanlar \{a,b,c,d\} 'dan istediğimiz kadar olabilir.

Dolayısıyla, C öğelerinin olabileceği elemanlar \{a,b,c,d,e\} 'dir,
Ama e kesin var.

Öyleyse C bir alt kümesi:

  • e kesin var → 1 seçenek
  • Diğer 4 eleman a,b,c,d her biri olabilir veya olmayabilir → 2^4 = 16 seçenek

Toplam C kümesi sayısı = 1 \times 16 = 16 .

Doğru cevap: E) 16

2. Soru Çözümü:

Bir kümenin üçten az elemanlı alt kümelerinin sayısı 37 ise, kümenin eleman sayısı kaçtır?

  • Genel olarak n elemanlı kümenin alt kümelerinin sayısı 2^n 'dir.
  • Üçten az elemanlı alt kümeler ise, boş küme (0 eleman), 1 elemanlı ve 2 elemanlı alt kümeler anlamına gelir.
  • Bu sayı:
    \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = 37

Şimdi deneme yapalım:

\binom{n}{0} = 1
\binom{n}{1} = n
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

Bunların toplamı:

1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 37

Denklemi çözelim:

1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 37
\Rightarrow 1 + n + \frac{n^2 - n}{2} = 37
\Rightarrow Multiply \; both \; sides \; by \; 2:
2 + 2n + n^2 - n = 74
\Rightarrow n^2 + n + 2 = 74
\Rightarrow n^2 + n + 2 - 74 = 0
\Rightarrow n^2 + n - 72 = 0

Bu bir ikinci derece denklemdir.

Köklerini bulalım:

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 72}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 \pm 17}{2}

Pozitif çözüm:

n = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8

Kümenin eleman sayısı 8’dir.

Doğru cevap: E) 8

Özet Tablo

Soru Konu Sonuç Doğru Seçenek
1 A \cup B = A \cup C eşitliği, C kümeleri sayısı 16 E
2 Üçten az elemanlı alt kümeler sayısı = 37, küme eleman sayısı 8 E

Sık Sorulan Sorular

1. |A \cup B| nedir?

  • İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı, ortak olanlar bir defa sayılarak hesaplanır.

2. Alt kümelerin sayısı nasıl hesaplanır?

  • n elemanlı kümenin alt kümelerinin sayısı 2^n dir.

3. Üçten az elemanlı alt kümeler nelerdir?

  • Eleman sayısı 0 (boş küme), 1 veya 2 olan alt kümelerdir.

Sonraki Adımlar

Bu iki temel küme işlem sorusu üzerine, üzerine daha fazla örnek ve çözümler ister misiniz?
Ya da kombinasyon ve permütasyon türü başka sorulara geçelim mi?

@Vedat4

3

Soru:

A = {a, b, c, d} ve B = {b, c, e} olduğuna göre, A∪B = A∪C koşulunu sağlayan en çok kaç tane C kümesi yazılabilir?
Üçten az elemanlı alt kümelerinin sayısı 37 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

Önemli Noktalar

  • A∪B = A∪C eşitliği ancak C kümesi, A∪B kümesinde A’da olmayan tüm elemanları (burada e) içeriyorsa sağlanır.
  • n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2^n, k elemanlı alt kümelerin sayısı ise \binom{n}{k} formülüyle bulunur.
  • Üçten az elemanlı (k<3) alt kümelerin sayısı
    1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 37 denklemiyle çözümlenir.

Doğrudan Cevap

Birinci sorunun cevabı E) 16, ikinci sorunun cevabı E) 8’dir.

İçindekiler

  1. Birinci Sorunun Çözümü
  2. İkinci Sorunun Çözümü
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Birinci Sorunun Çözümü

A∪B = {a, b, c, d, e} kümesidir. C kümesinin A∪C = A∪B eşitliğini sağlaması için A’da olmayan eleman e mutlaka C’de bulunmalıdır.
C ⊆ {a,b,c,d,e} ve e ∈ C ise, geriye kalan 4 eleman (a,b,c,d) için her birini seçme/seçmeme özgürlüğümüz vardır.
Toplam C sayısı = 2^4 = 16.

2. İkinci Sorunun Çözümü

Üçten az elemanlı alt kümeler k<3 olduğuna göre sayımız

\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 37.

Bu denklemi çözersek

n^2 + n - 72 = 0 \quad\Longrightarrow\quad n = 8.

3. Özet Tablosu

Soru No Formül Sonuç
1 $2^{ A∪B
2 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 37 \,\Rightarrow\,n=8 8

4. SSS

Q1. “Neden yalnızca e elemanı zorunlu?”
A1. A∪C kümesine yeni bir eleman eklemek için, A’da olmayan tüm ortak elemanlar C’de olmalı. Burada tek eksik e.

Q2. Tüm alt kümeler formülü neden 2^n?
A2. Her eleman için “var/​yok” iki seçeneğimiz olduğundan toplam 2\times2\times…=2^n.

Q3. İkinci soruda k<3 kümülatif toplam nasıl alındı?
A3. k=0,1,2 için \binom{n}{k} değerleri toplandı.

Çözümleri nasıl buldunuz? Benzer kombinatorik sorular üzerinde pratik yapmak ister misiniz?
@Vedat4